שרשור יום ג - 11/2/2003

[1ca1]

אתה לא צודק

תשים לב שנקבל

z1*z2=-m z1+z2=-m וזה בדיוק מחזיר אותנו להתחלה....​

 

[freedom rider]

שרשור יום ג - 11/2/2003../images/Emo42.gif

 

[Escova]

אמירת תודה

לנשר הנובח ! אחי אתה מלך !!!

תודה על: - הפתרון.בחיים לא הייתי מגיע לרעיון של S4 (טוב כי גם לא למדתי את זה, אבל החזקה יכולה להחשב כגורם משותף, ואת זה למדתי גם למדתי...) -תשומת הלב.לטעויות בחתימה שלי, תוקן !

 

[pallidfool]

שאלה

מה הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית

f''(x)=-1/f(x)​

תנאי ההתחלה הם:

f(0)=1 f'(0)=0​

? תודה.

 

[איגור קרסיק]

....

יש כאן שיטת פתרון נורא נחמדה! ראשית נציב

z = y'; z' = y''​

ומתקבל:

z'=1/y​

הצבה זו נראת כחסרת ערך, אבל שם לב לשיקול הבא: קיימת פונקציה יחידה z שפותרת את המשוואה תחת האילוצים (לפי משפט הקיום והיחידות) אם כן, z היא פונקציה של x וכך גם y אבל משום שהנגזרת של y שונה מאפס, מוגדרת הפונקציה ההפוכה (וכן גזירה!):

x​

ולכן מתקים גם:

dz/dy = dz/dx * dx/dy = dz/dx * 1/z dz/dx = z*dz/dy​

נציב זאת ונקבל את המשואה:

z*z'=1/y​

זו היא מד"ר כאשר מחפשים את z כפונקציה של y. נפתור לפי הפרדת משתנים:

0.5(z^2)=ln(abs) + c​

ולכן נקבל:

0.5(y')^2 = ln(abs) + c​

אם נציב את תנאי ההתחלה נקבל ש- c = 0 ולכן יש לפתור את:

y'/(sqrt (ln (y^2)) = 1​

מפה ניתן להגיע לפתרון סתום עם פונקציה שכתובה ע"י אינטגרל... לצערי אני לא יכול להגיע למשהו אחר ולרוב מקבלים תוצאות כאלו...

 

[1ca1]

בעיה במרוכבים

מצא על מעגל היחידה 2 מספרים מרוכבים כך שמכפלתם שווה לסכומם... טוב אם הם על מעגל היחידה אז R=1 עכשיו איך פותרים את זה? ניסיתי לפתח את השיוויון ולא יצא לי כלום

 

[איגור קרסיק]

....

שם לב שלכל 2 מספרים צמודים על המעגל - מכפלתם היא 1. מכאן קל לראות שיש לבחור מספרים שהחלקים הממשיים שלהם הם 1/2. ולכן ניקח:

z1=0.5+sqrt(3)/2*i ; z2=0.5-aqrt(3)/2i​

 

[1ca1]

למה?

מי אמר לך שהמספרים הם צמודים (הפתרון שלך בהחלט נכון אבל עדיין) אני מעוניין בדרך... או לפחות בהסבר...

 

[איגור קרסיק]

סתם אינטואיציה...

אולי התשובה הזאת מעצבנת, אבל כדאי שתתרגל לזה... כי באוניברסיטה ברוב הקורסים במתמטיקה תגיע למצב שבו לא תהיה שיטה לפתרון תרגילים אלא אינטואיציה וזהו (בהנחה שתלמד מתמטיקה באוניברסיטה)... אם תטען שמדובר רק בתרגיל תיכוני, אז פה ושם יש תרגילים כאילו (אומנם זה נדיר מאוד).

 

[איייייל]

פתרון כללי

z1 = exp(it) z1z2 = z1+z2 z2 = z1/(z1-1) (*) 1/z2 = (z1-1)/z1 = 1 - 1/z1 1=|1/z2|^2=|1-exp(-it)|^2=2-2cos(t) cos(t)=0.5 sin(t)=+-sqrt(3)/2 =>z1,2 = 0.5 +- sqrt(3)/2​

הערה: אם z1=1 אז במשוואה (*) חילקנו ב 0. במקרה זה:

z1 = 1 z1+z2 = z1z2 1 + z2 = z2​

וזוהי סתירה.

 

[1ca1]

תודה על הפתרון

אבל השתמשת ב e^(it ואיך זה מוגדר? כאילו אני יודע איך מעלים מספר מרוכבים בחזקת ממשי... אבל כיצד מעלים ממשי בחזקת מרוכב? (כאילו להסתדר עם החלק הממשי של המרוכב זה לא בעיה אבל מה עושים עם החלק המרוכב של המרוכב, ועכשיו נסה להגיד את זה 3 פעמים במהירות )

 

[איגור קרסיק]

....

המשמעות של e בחזקת it זה cis t.

 

[1ca1]

זה פשוט הגדרה או ?

כאילו זה עוזר להעלות כל מספר בחזקת מרוכב נגיד a^n=e^(blna) אבל כאילו יש היגיון מאחורי זה או שסתם ככה הגדירו את זה?

 

[איייייל]

זאת הגדרה

אבל זאת הגדרה שיש מאחוריה המון הגיון, כי היא מסתדרת עם חוקי החזקות ה"רגילים" של מספרים ממשיים. למשל,

exp(i(a+b))=exp(ia)exp(ib)​

וגם הנגזרת של exp(it) היא iexp(it) וכו'.... במילים אחרות, בעזרת ההגדרה הזאת ניתן להכליל את פעולת החזקה כך שתתאים גם למספרים קומפלקסיים, ועדיין יתקיימו כל התכונות של החזקה ה"רגילה".

 

[טלמון סילבר]

וגם טור טיילור יוצא!!

 

[איגור קרסיק]

אגב

בקשר לרעיון של לעלות בחזקה... במקרה המרוכב זה הרבה יותר מורכב... בין היתר מהסיבה שישנם הרבה ענפים לפונקצית ה-log [=יש הרבה פונקציות שונות שמקיימות e בחזקתן = z]... כמובן שיש פתרון חמוד לבעית ריבוי הלוגים...

 

[טלמון סילבר]

דרך נוספת

z1 = exp(it1) z2 = exp(it2) | z1 z2 | = | z1 | | z2 | = 1*1 = 1 | z1 + z2 | = 1 = | z1 | = | z2 |​

שורת השוויונים האחרונה מראה לנו, שהמקבילית שצלעותיה z1 ו-z2 כווקטורים, וסכומם - אלכסון המקבילית - שווה להם באורכו, ומחלק את המקבילית לשני משולשים שווי צלעות.

t2 = t1 + 120° (או להיפך, לא חשוב) t2 + t1 = t1 + t1 + 120° = t1 + 60° + 360°k t1 = -60° t2 = 60°​

 

[dubby250]

שאלה

בס"ד יש לי מערכת משוואות. אני צריך למצוא מתי יש: 1) פתרון יחיד. 2) אין פתרון. 3) אינסוף פתרונות. 4) למצוא את כל הפתרונות. צריך לעשות את זה בשיטת האלימינציה של גאוס. הבעיה שלי היא, שכשאני מתחיל לדרג, אז יש מצבים שבהם אני צריך לחלק, ובמכנה מופיע a. איך אני יודע שהמכנה אינו 0? (חשבתי אולי לחלק את זה למקרים שונים, זאת אומרת, לבדוק מה קורה כאשר המכנה 0, ומה קורה כאשר הוא לא 0, אבל זה רק סירבל לי את כל התרגיל והתשובה לא יצאה כמו בספר). האם מישהו יכול להראות לי הדרך לפתרון הבעיה? המערכת:

2ax - 23y + 29z = 4 7x + ay + 4z = 7 5x + 2y + az = 5​

תודה רבה מראש

 

[איגור קרסיק]

אתה צדקת בשיטה...

הייתי פותר לך, אבל זה נהיה מסורבל מאוד! בדוק אם אין לך שגיאות...

 

[תומר שי]

הבעיה היחידה

מאוד קשה פה בפורום לכתוב דטרמיננטים. הדרך פשוטה כפי שכתבתי בהודעה מתחת. הכל תלוי בדלתא. שלב א': דלתא שונה מאפס ==> פתרון יחיד שלב ב': לכל a שמצאנו בשלב א', שנותן פתרון יחיד, נציב אותו במערכת ונגלה האם לפנינו מערכת שאין לה פתרון או אינסוף פתרונות.