הנה בלי אינדוקציה
דרך יותר אלגנטית לפי דעתי רק צריך להכיר איזה משפט שאומר שבשדה סופי עם Char(F)=p אז מתקיים עבור a,b שייכים לשדה,
(a+b)^p=a^p+b^p זה נראה לי ההומומורפיזם של פרובניוס, אותו אפשר להוכיח באינדוקציה
ואפשר לעבוד בחשבון מודלוס,ברור שאם הוא מתחלק 3 אז (5^n-2^n+1) mod 3= 0 ככה אם הוא לא מתחלק ב3 הוא מהצורה
3^k+1 3^k+2 עבור k שייך ל Z כלשהו עכשיו 5^n-2^n+1 5~=2 כי char(Z3)=3 לכן 5^n=2^n כי לפי איזה משפט (נראה לי ההומומורפיזם של פרובניוס, שאיתו מוכיחים את משפט פרמה הקטן) (a+b)^p=a^p+b^p עבור שדה סופי עם char(F)=p ואז 5^n=(2+3)^n=2^n+3^n והרי char(Z3)=0 ולכן 3^n=0 ב Z3 ואז נקבל 1+3^n-3^n=1 לכן הוא לא מתחלק ב3
ד"א הדרך הראשונה מערבת אינדוקציה, ההוכחה כאן לא מערבת אינדוקציה (ובכלל בבגרות רושמים, הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת, ככה שהוכחה כמו שהבאתי כאן, אפשרית בהחלט...)