שרשור שאלות ובקשות 8/1/2002

[טלמון סילבר]

הדרך לפתרון

הגובה מחולק לשני חלקים: xh ו-(h(1-x, כאשר x בין 0 ו-1. לפי משפט טלס קל להביע את אורך צלעות המלבן, כלומר גם את שטחו, באמצעות שני קטעים אלה ו-a ו-h, ואח"כ לחקור את הפונקציה (פרבולה הפוכה) של יחס שטח המלבן לשטח המשולש (צריכה להיות פונקציה מסוג (x(1-x ).

 

[assafus]

../images/Emo51.gif

 

[אלוהים1980]

אינטגרלים (במה חטאתי?)

אני צריך למצוא את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה הבאה: G של X שווה לאינטגרל מאפס ועד (X בריבוע +6X) של (2 + סינוס (T בריבוע)) DT. אז גזרתי... אם לא טעיתי, אז הנגזרת שווה לאפס עבור X=-3. מה הלאה? איך אני מחליט אם זו מקסימום או מינימום? האם יש לפונקציה הזאת נקודות קיצון מוחלטות? איך בכלל מחשבים אינטגרל של 2 ועוד סינוס של T בריבוע?

 

[טלמון סילבר]

בלי להיכנס לפרטים, כל הרעיון הוא,

שבכלל לא צריך לחשב נגזרת או אינטגרל! הנגזרת של הפונקציה G היא בדיוק הפונקציה שבפנים האינטגרל, רק צריך להציב X במקום T.

 

[pallidfool]

זה לא אינטגרל לא מסויים!

גבולות האינטגרציה אינם 0 ו-x. ובנוגע לפתרון: הגזירה היא פשוטה! אם נסמן:

f(x)=I(0,x)((2+sin^2(t))dt)​

(כלומר האינטגרל כפי שכתבת אותו, אך גבולות האינטגרציה הם 0 ו-x) אז עלינו לגזור את הפונקציה המורכבת:

f(x^2+6x)​

נגזרת f היא:

f´(x)=2+sin^2(x)​

(ברור למה?) ולכן, ע"פ נוסחה לגזירה של פונקציה מורכבת:

(f(x^2+6x))´=f´(x^2+6x)*(x^2+6x)´=(1+sin^2(x^2+6x))*(2x+6)​

הסוגריים הראשונים לא מתאפסים ותמיד חיוביים כי סינוס הוא תמיד בין מינוס אחד לאחד. הסוגריים השניים מתאפסים, כמו שאמרת, ב-x=-3. ההמשך: במקום לגזור שוב, או משהו כזה, ניתן לראות (כיוון שהסוגריים השמאליים תמיד חיוביים) שסימן הנגזרת הוא בדיוק הסימן של הסוגריים השניים, כלומר הנגזרת חיובית עבור איקסים גדולים ממינוס שלוש, ושלילית עבור איקסים קטנים ממינוס שלוש. לכן הנקודה היא נקודת מינימום. בנוגע לעניין החישוב: למרות שאפשר, בלי קושי רב, למצוא נוסחה מפורשת עבור האינטגרל, אין צורך לעשות זאת בתרגיל זה... מקווה שלא טעיתי ושהיה ברור.

 

[טלמון סילבר]

נכון, לא שמתי לב. אבל קרוב.

 

[אלוהים1980]

אוקי...תודה

אז יש נקודת מינימום (ערך הפונקציה שם הוא אפס) במינוס , ואין נקודות מקסימום?

 

[pallidfool]

אין נקודות מקסימום

מקומיות... כלומר אין מקסימום ב-R. ערך הפונקציה בנקודת המינימום הוא לא אפס אלא שלילי!

 

[אלוהים1980]

מה?

זה לא ממש עוזר לי. את זה אני כבר יודע, אבל לא יודע כיצד להמשיך הלאה.

 

[אלוהים1980]

ועוד אחד (אם אפשר)

אני צריך לחשב את הגבול כאשר X שואף לאפס שהאינטגרל מאפס עד איקס בריבוע, של סינוס של שורש של T לפי T, ואת כל האינטגרל הזה לחלק באיקס בשלישית. ניסיתי על פי לופיטל, לגזור את המונה והמכנה (שכן שניהם שואפים לאפס). קיבלתי במונה סינוס של שורש של איקס בריבוע, כפול שני איקס, פחות אפס... ובמכנה שלושה איקס בריבוע. לאחר צימצום אני נשאר עם 2 סינוס איקס חלקי שלושה איקס, וזה שואף באפס כמובן, ל 2/3, מכיוון שסינוס איקס חלקי איקס שואף לאחד כשאיקס שואף לאפס. האם זה נכון?

 

[אלוהים1980]

ועכשיו משהו ממש נוראי:

Y של X מוגדרת על פי המשוואה הבאה: האינטגרל מאפס עד Y של שורש שלישי של (1 + T בריבוע) DT ועוד האינטרגל מאיקס עד אפס של ((2T +1) בחזקת 5) DT שווה אפס. אני צריך למצוא את משוואת המשיק לגרף בנקודה X=0. רעיונות?

 

[איגור קרסיק]

עיין בקישור המצורף

ובתגובות...

 

[אלוהים1980]

תודה לכולכם, הצלחתי בסוף לבד.

 

[לימור הגאונה]

נשר............./images/Emo2.gif

עזרה דחוף בתרגיל. 1.איך גוזרים

y=x^3-x+4 ----- x​

2. איך נראה מבחן אקסטרני?

 

[לימור הגאונה]

שוב

y=x^3-x+4 ------ x​

 

[הנשר הנובח]

הנגזרת ../images/Emo107.gif

אני אשמח אם להבא לא תפני את השאלה דווקא אלי, אלא לכולם. אם אני אהיה כאן אני תמיד אשמח לעזור !

לגבי התרגיל - דבר ראשון כדאי לחלק כל אחד מן הגורמים שבמונה ב x . x³ לחלק ל x זה x² . x לחלק ל x זה 1 . 4 לחלק ל x אין משהו מיוחד. נקבל :

y=x²-1+4/x y´=2x-0-4/x²​

(השלב האחרון מסתמך על הנוסחה שהנגזרת של 1 חלקי x היא מינוס 1 חלקי x² )

 

[לימור הגאונה]

למה 1 ?זה היה x

 

[לימור הגאונה]

נשר....

 

[הנשר הנובח]

הנה קובץ תמונה ../images/Emo107.gif

 

[freedom rider]

איך נראה מבחן אקסטרני?

כמו חתיכת נייר, אני חושב.