בדרך שהיצעתי יוצא די פשוט
נניח ששלושת המישורים הנתונים הם:
a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3
והמישור שאנו מחפשים הוא:
A x + B y + C z = D
נניח ששני המישורים הראשונים אינם מקבילים. אזי, כפי שהסברתי קודם, הדרגה (Range) של המטריצה:
a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 A B C D
שווה 2, כלומר הווקטור השלישי (שבעצם אותו אנו מחפשים) הוא קומבינציה לינארית של שני הראשונים, כלומר:
A = λ a1 + μ a2 B = λ b1 + μ b2 C = λ c1 + μ c2 D = λ d1 + μ d2
ונשאר לנו רק למצוא את λ ו-μ, וליתר דיוק - את היחס ביניהם. הווקטורים המנחים של המישורים המאונכים, גם הם מאונכים, ומכפלתם הסקלרית שווה 0:
a3 A + b3 B + c3 C = 0 a3 (λ a1 + μ a2) + b3 (λ b1 + μ b2) + c3 (λ c1 + μ c2) = 0 λ (a1 a3 + b1 b3 + c1 c3) + μ (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3) μ = - λ (a1 a3 + b1 b3 + c1 c3) / (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3) A = λ a1 + μ a2 = = λ a1 - λ a2 (a1 a3 + b1 b3 + c1 c3) / (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3)
ניקח:
λ = (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3) :ואז A = a1 (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3) - a2 (a1 a3 + b1 b3 + c1 c3) B = b1 (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3) - b2 (a1 a3 + b1 b3 + c1 c3) C = c1 (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3) - c2 (a1 a3 + b1 b3 + c1 c3) D = d1 (a2 a3 + b2 b3 + c2 c3) - d2 (a1 a3 + b1 b3 + c1 c3) A = a3 (a1 a2 - a2 a1) + b3 (a1 b2 - a2 b1) + c3 (a1 c2 - a2 c1) B = a3 (b1 a2 - b2 a1) + b3 (b1 b2 - b2 b1) + c3 (b1 c2 - b2 c1) C = a3 (c1 a2 - c2 a1) + b3 (c1 b2 - c2 b1) + c3 (c1 c2 - c2 c1) D = a3 (d1 a2 - d2 a1) + b3 (d1 b2 - d2 b1) + c3 (d1 c2 - d2 c1) A = b3 (a1 b2 - a2 b1) + c3 (a1 c2 - a2 c1) B = a3 (b1 a2 - b2 a1) + c3 (b1 c2 - b2 c1) C = a3 (c1 a2 - c2 a1) + b3 (c1 b2 - c2 b1) D = a3 (d1 a2 - d2 a1) + b3 (d1 b2 - d2 b1) + c3 (d1 c2 - d2 c1)
סוף.
