טלמון סילבר
New member
בבקשה פתרון
נשתמש במספר נוסחאות בסיסיות, ובמידה שלא כולן מוכרות - אין בעיה להוסיף גם הוכחות שלהן.
נשתמש במספר נוסחאות בסיסיות, ובמידה שלא כולן מוכרות - אין בעיה להוסיף גם הוכחות שלהן.
A. :a שטח משולש שווה-צלעות שצלעו שווה S = a² sqrt(3) / 4 B. :C ,B ,A וזוויותיו בהתאם ,c ,b ,a שטח משולש שצלעותיו שוות S = b c sin(A) / 2 = a² sin(B) sin(C) / 2 sin(A) (השוויון האחרון נובע ממשפט הסינוסים) C. sin(α) sin(β) = [ cos(α-β) - cos(α+β) ] / 2 D. 1 + cos(α) = 2 cos²(α/2)
עכשיו אפשר להציג את ההוכחה.AB = BC = CA = a DE = EF = FD = a/2 :שטח המשולש שווה הצלעות S(DEF) = (a/2)² sqrt(3) / 4 = a² sqrt(3) / 16 KM = MN = NK = x :שטח המשולש שווה-הצלעות S(KMN) = x² sqrt(3) / 4
המפתח לפתרון התרגיל החביב נעוץ במשולשים החופפים: DEM EFK FDN היות ושטחי המשולשים הבאים מקיימים: S(KMN) = S(DEF) - [ S(DEM) + S(EFK) + S(FDN) ] = S(DEF) - 3 S(DEM)
זוויות המשולש DEM שוות:<EDM> = α - 60° <DEM> = 120° - α <DME> = 120° S(DEM) = DE² sin(<EDM>) sin(<DEM>) / 2 sin(<DME>) = = (a/2)² sin(α - 60°) sin(120° - α) / 2 sin(120°) = = a² [ cos(180° - 2α) - cos(60°) ] / 8 sqrt(3) = = a² ( - 2 cos(2α) - 1 ) / 16 sqrt(3) (לא להיבהל מהמינוסים! הקוסינוס שלילי, והשטח חיובי) 3 S(DEM) = - a² sqrt(3) (2 cos(2α) + 1) / 16 S(DEF) - 3 S(DEM) = = [ a² sqrt(3) / 16 ] + [ a² sqrt(3) (2 cos(2α) + 1) / 16 ] = = [ a² sqrt(3) / 16 ] * (2 cos(2α) + 2) = = a² sqrt(3) cos²(α) / 4 S(KMN) = S(DEF) - 3 S(DEM) x² sqrt(3) / 4 = a² sqrt(3) cos²(α) / 4 x² = a² cos²(α) x = a cos(α)
סוף.
