אממ.. ננסה משהו בקשר ל- tanx=x
נגדיר פונקציה
f(x) = tanx - x
ברור כי פתרון המשוואה tanx=x שקול לפתרון המשוואה f(x)=0. נוכיח את קיום הפתרון בקטע. הפונקציה (f(x רציפה בכל הקטעים הפתוחים המתוארים בשאלה מהצורה
Ik = (πk-π/2, πk+π/2)
מתקיים:
lim f(x) = -Infinity x->[πk-π/2]+ lim f(x) = Infinity x->[πk+π/2]-
בגלל רציפות f בקטע Ik קיימים ε,δ>0 עבורו:
f(πk-π/2+ε) < 0 f(πk+π/2-δ) > 0
ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים לפונקציה f שורש בקטע
(πk-π/2+ε,πk+π/2-δ)
ולכן גם קיים שורש בקטע Ik המכיל את הקטע הנ"ל. נוכיח את יחידות הפתרון. קודם כל:
f'(x) = 1/cos²x - 1
נניח בשלילה שקיים יותר מפתרון אחד בקטע Ik. בגלל שבשני קצוות הקטע הסימנים מנוגדים אזי חייב להיות מספר אי זוגי של פתרונות. ולכן נניח בשלילה שקיימות שלוש נקודות a,b,c השייכות לקטע כך ש:
f(a) = f(b) = f(c) = 0
נניח בלי הגבלת הכלליות כי a<b<c. אזי לפי משפט רול קיימות נקודות p בין a ל-b ו-q בין b ל-c (שונות זו מזו) כך ש:
f'(p) = 0 f'(q) = 0
אם נפתור את המשוואה f'(x) = 0 נגלה כי:
1/cos²x - 1 = 0 1-cos²x = 0 sin²x = 0 sinx = 0 x = πk
כלומר הנגזרת מתאפסת רק פעם אחת בקטע, בסתירה לכך שלפי משפט רול קיימות שתי נקודות בהן הנגזרת מתאפסת. מש"ל.
a|²+|a|b*a cos(c,a) = c*a / |c||a| = (|b||a|²+|a|b*a)/|c||a| = (|b||a| + b*a) / |c| c*b = (|b|a + |a|b)*b = |b|a*b + |a|b*b = |b|a*b + |a||b|² cos(c,b) = c*b / |c||b| = (|b|a*b + |a||b|²) / |c||b| = (a*b + |a||b|) / |c| ==> cos(c,a) = cos(c,b)
