שרשור יום ב'

[1ca1]

לא הוא לא

אפשר להראות שהוא איזומורפי לקטע סגור למשל

[0,2pi) ע"י ההתאמה f(t):[0,2pi)->R^2 t|->(cos(t),sin(t)) או יותר נכון f(t):[0,2pi)->T כי לפעמים מסמנים את מעגל היחידה ב T (חבורת המספרים המרוכבים עם מודול ששווה 1)​

 

[טלמון סילבר]

השאלה היתה

להעביר את (a,b) ו-(c,d) (שהם זרים, ושניהם פתוחים) ל-(0,1), חח"ע. באמצעות פונקציות של ישרים בלבד לא תצליח לעשות את זה! "פשוט לתקן" זה טוב. אם מותר להם להסתמך על זה ש"אפשר לתקן", על זה שקטעים שונים שקולים, אז די להסתמך על זה מבלי להסתבך עם פונקציות. ואם אתה מציג פונקציות, אז תציג גם את "התיקון".

 

[1ca1]

הם למדו את המשפט על שקילות...

קטעים פתוחים וסגורים (וגם חצי סגורים זה אותו רעיון) ולכן גם בכלל אין צורך בהצגת הפונקציות (עם סידור הרציונאליים בכל קטע וכו'), פשוט (a,b) שקול ל (0,0.5),נניח ע"י פונקציה f (c,d) שקול ל(0.5,1], נניח ע"י g כעת ניקח פונקציה h מהאיחוד לתוך (0,1) כך שאם x שייך ל(a,b) אז x|->f(x) אחרת x שייך ל(c,d) (כי הקטעים זרים) ולכן x|->g(x) קל להראות שh חח"ע ועל

 

[טלמון סילבר]

זה בדיוק מה שאמרתי:

אין צורך בהצגת הפונקציות.

 

[Vlad5]

לגבי 1

לגבי 1. נסמן בB את קבוצת האיחוד הבן מנייה. ראשית, נשים לב שהקבוצות An מסודרות בסדר מסויים לפי האינקדסים שלהם. ברור מאליו שקיימת התאמה חח"ע מN לB (התאמת איבר בN לאינדקס כלשהו). נוכיח את הכוון השני. נשים לב דבר ראשון שהקבוצה: 1 {n טבעי |-} = С שקולה לN, והן כל קבוצה מהצורה n {Dm={m+x|xEC כאשר m מספר טבעי כלשהו. כיוון שנתון שכל An סופית או בת מנייה, הרי ש: אם An בת מנייה, קיימת התאמה fn חח"ע בינה לבין Dn. (הגדרת שקילות) אם An סופית, אז ברור שקיימת התאמה fn חח"ע בינה לבין Dn. (תשימי לב לאינדקסים). עכשיו, נגדיר התאמה h מB לQ (קבוצת הרציונלים), באופן הבא. לכל x ב B, נבחר את הn הראשון עבורו xEAn, ונאמר: (h(x)=fn(x. נוכיח שהתאמה זו חח"ע. יהיו x,yEB. ויהיו m,n האינדקסים של הAים הראשונים המכילים בהתאמה את X ו Y. נניח שx שונה מy. אם m=n,אז fn=fm ואז (fn(x)<>fm(y, מפני שfn חח"ע. אם m<>n אז ברור כי (fn(x)<>fm(y כי לכל m וn שונים, Dn זרה ל Dm. הוכחנו אפוא שh חח"ע. מכאן, מצאנו התאמה חח"ע מB לQ, אבל כיוון שQ גם בת מנייה, קיימת התאמה חח"ע ועל בין Q לN, ולכן, קיימת התאמה חח"ע מB לN. אבל בהתחלה ציינו שקיימת התאמה חח"ע מN לB. מכאן, ע"פ משפט שרדר-ברנשטיין, B~N. משל.

 

[Vlad5]

טעות קטנה

לגבי ההתאמה מN ל B יש לי פה טעות. צריך לפרק פה לשני מקרים. אם לפחות אחת מהAn היא בת מנייה, אז ברור שקיים התאמה חח"ע מN אליה, ולכן גם לאיחוד - B. אם כל הAn הן סופיות, ולא מתקיים, שהחל מאיזשהו n כל An מוכלת באיחוד הAnים שלפניה, הרי שלכל n, קיים m>=n כך שבAm יש איבר שלא נמצא באיחוד לפני זה. (1) אז נבנה את הפונקציה באופן הבא: נגדיר: (Fn=An-B(n-1 (כאשר (B(n-1 זה איחוד כל הAnים לפני n). נשים לב שכל m>n מתקיים Fn זר לFm, או שFm פשוט קבוצה ריקה. נוכיח שיש אינסוף Fnים כאלה וכך נוכיח שיש התאמה מN לB. נמצא את הFi הראשון שלא ריק, ונסמן אותו H1. ע"פ (1) עבור אותו i, קיים j>i כך ש בAj יש איבר שאין באיחוד על אליו, ולכן Fj לא ריק, וכמו שאמרנו קודם זר לFi. וסמן Fj ב H2. אבל שוב ע"פ (1) קיים k>j כך שבAk יש איבר שאין באיחוד לפניו, ולכן שוב Fk לא ריק, וזר לכל קודמיו, ולכן נסמן H3=Fk. באינדוקציה נוכל להוכיח שלכל בנייה של n קבוצות Hn, ניתן לבנות עוד קבוצה כזאתי, ולכן {Hi| i natural} היא אינסופית. כמו כן, האיחוד של כל ה Hi זהה לB, פשוט כי Hi היא מעין חלוקה של B לקבוצות זרות. מכאן, שנוכל בקלות למצוא התאמה מN לאיחוד של ה Hiים, (כל אחת מהHiים סופית ולכן פשוט נוכל לעבור איבר איבר - להתאים לאיבר בN איבר באיחוד. אבל מכיוון שאיחוד זה זהה לB, הרי שמצאנו התאמה מN לB. במקרה השלישי, אם קיים n שממנו ואילך כל An מוכל בקודמיו, (וכל הקבוצות סופיות) בקלות ניתן להוכיח שאז B קבוצה סופית.

 

[Vlad5]

הערה קטנה

תכלס, בהוכחת כל כוון השתמשנו באותה חלוקה לHi שהגדרנו בכוכחת הכוון שני. תשימי לב שהבחירה הזאת של n ראשון שבו x נמצא הוא בדיוק כמו יצירת Hi, פשוט בחלק הראשון, היה יותר נוח לנסח את זה ככה

 

[Vlad5]

לגבי 4

השאלה מזכירה מאוד את ההוכחה של קאנטור שהקטע (0,1) לא שקול לR. נניח בשלילה שהקבוצה המדוברת בת מנייה. לכן נוכל למצוא איזשהו סידור: a11,a12,a13,a14,...... a21,a22,a23,a24,...... a31,a32,a33,a34,....... a41,a42,a43,a44,..... אשר יכיל את כל הסדרות הנ"ל. נגדיר סדרה b1,b2,b3,b4,.... באופן הבא: b1=1 אם a11<>1 ו b1=4 אם a11=1. b2=1 אם a22<>1 ו b2=4 אם a22=1. ........... bn=1 אם ann<>1 ו bn=4 אן ann=1. ........... עכשיו, אם נניח שאותה סדרה אכן מוכלת בסידור לעיל, נקבל שלפחות איזשהו bn זהה לאחד ה ann בסתירה להגדרתה.

 

[טלמון סילבר]

בשביל מה היה צורך לחזור על זה?

ועל השאלות האחרות שכבר נענו?

 

[Vlad5]

לגבי 2

במקום מה שכתוב לך שם נוכיח טענה חזקה יותר. בהינתן a<b<c<d מספרים ממשים, (a,b)U(c,d)~(0,1). אז יהיו a<b<c<d מספרים ממשים. ממשפט השקילות על קטעים נקבל : (a,b) שקול ל [a,b], ולכן קיימת פונקציה f חח"ע ועל מהאחד לשני. (c,d) שקול ל [b,d), ולכן קיימת ונקציה g חח"ע ועל מהאחד לשני. נגדיר פונקציה h מ (a,b)U(c,d) ל [a,d] באופן הבא: לכל (xE(a,b, (h(x)=f(x לכל (xE(c,d, (h(x)=g(x. הפונקציה מוגדרת כמובן, ומהגדרת f ו g חח"ע ועל. מכאן (a,b)U(c,d) שקול ל [a,d] אבל, זה שקול ל (0,1) (ע"פ משפט שקילות קטעים). משל. סעיף ב', הוא אינדוקציה פשוטה על n. עבור n=2 הוכחנו בא. אם נניח שהטענה נכונה עבור n, אז נקבל שעבור n+1, האיחוד של כל הקטעים עד לn שקול ל(0,1) ובוודאי גם ל (0,1/2). הקטע המתאים לn+1 שקול ל (1/2,1]. באותו אופן שעשינו בסעיף א, נוכל לבנות התאמות מתאימות ולהוכיח את השקילות.

 

[Vlad5]

2ג

את זה מאוד פשוט להוכיח בעזרת משפט שרדר-ברנשטיין. מR-{0}XR ל R^2, ההתאמה החח"ע המבוקשת היא ההתאמה הזהותית. מ R^2 ל {R-{0 נבנה את הפונקציה הבאה: לכל a,b)ER^2) מותאם (e^a,b), כאשר e - מספר אוילר. הפונקציה e^a היא חח"ע ולא מתאפסת באף נקודה. (אם יש לך איזשהי בעיה עם e, במקומו אפשר לקחת גם את המספר 2, זה ממש לא מהותי). מכאן השקילות ע"פ משפט שרדר - ברנשטיין.

 

[1ca1]

חבל

להשתמש כאן בקנטור-שרדר-ברנשטיין, זהו משפט מאוד חזק, במיוחד שפונקציות השקילות כאן היא דיי פשוטה ומיידיית (מעין הפעלה של רעיון המלון של הילברט) ד"א אם כבר רוצים קנטור שרדר ברנשטיין, אפשר לפתור איתו בקלות את השאלה על האיחוד קטעים עם ההתאמה הלינארית פשוט מ0,1 יעברו למשל לa,b, ומa,b יעברו ל0,0.5 ומc,d ל0.5,1 (כולם כאן קטעים פתוחים)

 

[Vlad5]

אתה צודק במאחוז אבל

מאז שלמדתי את משפט שרדר ברנשטיין אני כבר לא מנסה לחפש התאמות שקילות, אלה פשוט חח"ע לכל כוון - לדעתי זה יותר קל.

 

[pdib]

מרוכבים.. תרגיל ממש ממש קשה..../images/Emo26.gif

חשב את הסכום הבא:

(1/1)+(1/i)+(1/i^3)+(1/i^6)+(1/i^10)+...+(1/i^4950)​

 

[ד נ ה3]

יצא לי 0

עכשיו, זה תרגיל ממש חמוד ובכלל לא קשה סתם יש בו מלכודת קטנה. קודם כל ידוע כי (ללא קשר לתרגיל המסויים הזה בכלל למרוכבים.) 1 שווה לi בחזקת (0+4K). 1- שווה לi בחזקת (2+4K). i שווה לi בחזקת (1+4K). i- שווה לi בחזקת (3+4K). כאשר K מספר שלם. עכשיו לתרגיל. העברתי את הכל לצורה של i בחזקת משהו ולא אחד חלקי ואני פשוט מוסיפה מינוס לפני. זה יוצא סדרת הפרשים חשבונית עם 100 איברים. מיישרים לשמאל ויוצא: הכי שמאלי - באיזה חזקת i באצמע באיזה חזקה i מהצורה של 0,1,2,3 ועוד 4*K רק שK מוצב. הכי שמאלי יוצאת התוצאה של i בחזקת אותו המספר. 0=0+4*0=1 -1=3+4(-1)=-i -3=1+4(-1)=i -6=2+4(-2_=-1 -10=2+4(-3)=-1 -15=1+4(-4)=i -21=3+4(-6)=-i -28=0+4(-7)=1 -36=0+4(-9)=1 -45=3+4(-12)=-i -55=1+4(-14)=i -66=2+4(-14)=-1 חילקתי את זה לרבעיות שיהיה יותא ברור. סכום כל רבעיה זה 0. ויש המשכיות- רואים כי ברבעיה הראשונה זה מסודר בסדר מסויים ברבעיה השניה אותו סדר רק מהסוף להתחלה וברבעיה השלישית כמו בראשונה. כיוון שיש 100 איברים 100 מתחלק ב4 ויוצא 25. כלומר: יש 25 רבעיות שסכומם 0. ולכן סכום כל הביטוי הוא 0.

 

[pdib]

את האמת לא הבנתי כל כך ../images/Emo26.gif

מה הרעיון של הרביעיות? איפה מתחילה כל רביעיה ואיפה היא מסתיימת, ואיך את יודעת שבאמת החוקיות נמשכת, על סמך מה את מסתמכת?

 

[pdib]

אני אחדד את השאלה ../images/Emo26.gif

מי אמר לך שהחוקיות הזו תמיד תימשך? מי אמר שתמיד בכל קבוצה של 4 מספרים, תהיה החזקה הזו שבסופו של דבר תגרום לאיפוס הרביעיה? אפשר להוכיח את זה באינדוקציה? אם כן, אז איך?

 

[ד נ ה3]

אף אחד לא אמר

אבל. כיוון שניסיתי על 3 רבעיות ויצא את אותה חוקיות הנחתי כי זה מתמשך. אני לא אתחיל לבדוק על 100 מספרים.

 

[pdib]

אי אפשר להניח, ../images/Emo26.gif

מתמטיקה זה מדע מדיוק, אם היו עוסקים כל הזמן בלהניח, כל האינדוקציה הייתה מיותרת. היינו בודקים ל-3 איברים ראשונים וזהו... נראה לך שאפשר להוכיח את זה באינדוקציה או משהו כדי שזה יהיה כביל?

 

[ד נ ה3]

אז היום בשיעור פיסיקה

היה לי מאד משעמם אז פרתי לך את זה. האיבר הכללי של החזקה זה N פחות N בריבוע כל זה חלקי 2. N מתחלק ב4 כי יש לך 100 איברים - מתחלק ל4. והכל ברבעיות אז לוקחים רבעיה. ויוצא לך סכום שווה לאפס.