מהי מתמטיקה?

[atheist22]

מהי מתמטיקה?

למדתי הרבה מתמטיקה באוניברסיטה. תמיד פיתחנו דברים חדשים, אך מעולם לא דננו במהות המתמטיקה עצמה. כולנו יודעים לכאורה למה קוראים מתמטיקה, אך מעולם לא יצא לי לפגוש הגדרה ברורה. למישהו יש רעיונות? האם הגדרה כזאת קיימת? האם הגדרה כזו תתכן? הייתכן כי אין הגדרה כיוון שהגדרה כזו תצטרך להשתמש בכלים מתמטיים בעצמה? אין לי שום בעיה לתת הגדרה מדוייקת לפיסיקה, כימיה, ביולוגיה(טוב ביולוגיה זה קצת יותר מורכב מפיסיקה, אבל עדיין אפשר לתת הגדרה), היסטוריה או כל דבר אחר. הבעיה היא עם ההגדרה של המתמטיקה.

 

[Fingertip]

מתמטיקה היא שפה.

השפה מורכבת ממשפטים שכולם אמת. מצרפים משפטים חדשים לשפה על ידי הוכחות. בהרבה מקרים, ניתן לתאר מקרים מ"העולם האמיתי" על ידי תרגומם ל"מתמטיקה" ואז ניתן להשתמש בכל המשפטים בשפה ולהסיק מסקנות על "העולם האמיתי". אהד.

 

[Mycroft]

מתמטיקה

ניתן לומר שמתמטיקה היא ספר החוקים של העולם. כל תופעה מתנהגת לפי חוקים אלה. מצד אחד ניתן לומר שהמתמטיקה היא כלי בידי המדע כדי להסביר תופעות טבע, המתמטיקה משועבדת לו. מצד שני, ניתן להגיד שהמדע הוא שמשועבד למתמטיקה, ל"חוקים", כי הוא חייב לפעול על-פיהם.

 

[פייד-ראותא]

המתמטיקה...

היא ממש לא ספר החוקים של העולם... פייד!

 

[Mycroft]

היא בהחלט כן.

למה אתה חושב שלא?

 

[איגור קרסיק]

....

היא בהחלט לא. נסה להסיק משפט של הפיזיקה מהמטמתיקה... תראה שאתה לא מצליח. כמו כן, למה אתה חושב שהיקום חייב להתנהל בצורה לוגית, אולי היקום בסופו של דבר לא לוגי...

 

[Mycroft]

אבל ברור

שאי אפשר להסיק משפטים פיזיקליים מהמתמטיקה, כי פיזיקה זה מדע ומתמטיקה לא. בשביל להרחיב את ידיעותינו בפיזיקה חייבים לערוך תצפיות וניסויים על העולם. אבל הפיזיקה, כמדע, חייבת לפעול לפי המתמטיקה, לכל התופעות יש הסבר מתמטי. אני באמת לא יכול להיות בטוח במאה אחוזים שהיקום מתנהל בצורה לוגית, אבל לדעתי, לפי הפיזיקה והמתמטיקה, הוא כן לוגי.

 

[איגור קרסיק]

אם כן

למה אתה אומר שהמתמטיקה היא ספר החוקים של העולם? רק בגלל שבני אדם מסוימים מתארים את העולם באמצעות מתמטיקה אין זה אומר שהמתמטיקה היא ספר החוקים של העולם....

 

[atheist22]

זה לא כל כך פשוט

השאלה היא ממה זה מתחיל? מהן האקסיומות? האם נוספות אקסיומות חדשות כל הזמן? האם ניתן לפתח את כל המתמטיקה ממספר קטן(לא יותר מ-10) אקסיומות?

 

[alon14]

לא יודע אם 10...

...בגיאומטריה יש ארבע (ועוד אחת שמשתנה בהתאם לסוג הגיאומטריה) ובאלגברה יש אאל"ט 11.

 

[איגור קרסיק]

....

בגיאומטריה יש הרבה יותר מ-4... יש לי בבית איפשהו רשימה חלקית והיא די גדולה! כמו כן יש גם אקסיומות לוגיות ואקסיומות לכל תורה מתמטית.... בסופו של דבר יש ממש הרבה...

 

[atheist22]

זה בדיוק העניין

אי אפשר להגיד שלמתמטיקה נוספים רק דברים מוכחים כי כל הזמן מוסיפים אקסיומות. מי החליט שאקסיומה מסויימת טובה ואחרת לא? ואנחנו אגב עדיין בלי הגדרה של מתמטיקה.

 

[איגור קרסיק]

זה פשוט

מערכת אקסיומות היא "טובה" אם היא עיקבית וכל אקסיומה לא נובעת מהאחרות במערכת. וזה מבחינה עקרונית. "אי אפשר להגיד שלמתמטיקה נוספים רק דברים מוכחים" זה תלוי איך אתה מבין את המושג "אקסיומה"...

 

[atheist22]

אגב

רק מתמטיקאי ישים את "העולם האמיתי" בגרשיים.

האמת היא, אני מבין את הכוונה, ואף די מסכים.

 

[mikevil]

מסכים

קודם כל שמח להצטרף לסביבתכם! אז אני אכן מסכים שמתמטיקה היא שפה, אך לא סתם שפה, שפה מיוחדת במינה בעלת אינטלגנציה גבוה מאד.(עם אפשר להגיד כך על שפה) אני לא מסכים שהיא סתם אוסף של פסוקי אמת, קודם כל כי היא באמת לא סתם אוסף של טענות(אם היה כך, אז היא לא הייתה שונה בכלום משפת הלשון הרגילה) אלה הרבה יותר מכך, ושנית לא כל טענותיה נכונת, חלקן שואפות להיות נכונת נגיד כך...

 

[Mycroft]

המתמטיקה-שפה?

אני בכלל לא בטוח שניתן להגיד על המתמטיקה שהיא שפה. המתמטיקה עצמה, ביסודה, איננה שפה כי היא לא נוצרה כאמצעי תקשורת או כדי להעביר מסר כלשהו. האדם המציא שפת סימנים מיוחדת כדי שיוכל לייצג את המתמטיקה, להעביר אותה למושגים אנושיים. סימנים אלה הם השפה. אבל במהותה, המתמטיקה איננה שפה.

 

[Fingertip]

הממ...

אני חושב שהיא שפה, אבל די מיוחדת. והיא כן נועדה לתקשורת, פחות או יותר. היא נועדה להעביר בצורה כמה שיותר אוייקטיבית רעיונות. המילים או המושגים בשפה הם המשפטים, ההגדרות והאקסיומות. המטרה במתמטיקה היא להעשיר את השפה בכמה שיותר מילים. אם תנסה לתת למתמטיקה תיאור אחר, רק תהרוס את הכלליות שלה. למשל, אם תאמר שהמתמטיקה מתארת את העולם, אז מה ההבדל בין מתמטיקה לפיסיקה? להיות מתמטיקאי זה להיות בלשן - בצורה המדוייקת ביותר שאפשר. אהד.

 

[Fingertip]

ריאלי? הומני? שניהם? אף אחד?

האם המתמטיקה היא באמת מקצוע "ריאלי"? האם קרה לכם פעם שנתקלתם בהוכחה "יפה" במתמטיקה? האם קרה לכם משהו דומה באחד התחומים ה"ריאלים" האחרים? (פיסיקה, ביולוגיה וכדו´) אחד הדברים המעניינים במתמטיקה הוא שלפעמים דרושה יצירתיות לא פחות מאשר תחומים הומניים אחרים. או אולי אני סתם מקשקש בגלל השעה. אהד.

 

[Mycroft]

אני לא חושב כך.

המשפטים, ההגדרות והאקסיומות נוצרו ע"י בני אדם כדי לתאר את המתמטיקה. הם השפה, ולא המתמטיקה. הם מעבירים את הרעיונות. המתמטיקה איננה מתארת את העולם, זו אכן הפיסיקה שמתארת אותו. אבל הפיסיקה היא רק מימוש של המתמטיקה, היא המעשה בעוד המתמטיקה היא התאוריה, החוקים. המטרה בחקר המתמטיקה היא אכן להעשיר אותה בעוד מילים, כדי שיהיה לנו ידיעות עליה, כדי שנוכל להבין אותה יותר. למרות שאני חושב שלעולם לא נצליח להבין באופן מוחלט את המתמטיקה.

 

[arifell]

בעוד שמהנדס יגיד שהפיזיקה היא

התיאוריה וההננדסה היא המעשה ארי- שלומד פיזיקה והנדסת חשמל