אפשר להוכיח עם טור טיילור
צריך לעשות קצת עבודה מוקדמת, ולהעזר בתכונה של מספרים רציונאליים, אבל אחרי זה, זה דיי פשוט.... כמו כן Rn(x) בהוכחה, זה השארית של טור טיילור (כאן לקחתי שארית לגרנז של טור טיילור)
טור טיילור של e^x מפותח סביב x=0 (טור מקלורין) הוא e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+...1/n!+Rn(x) כאשר Rn(x) השארית של הטור Rn(x)=e^c(x)^n/(n+1)! עבור איזשהו 0<c<1 נציב x=1 ונקבל e=1+1+1/2+1/6+...+1/(n!)+R1(x) R1(x)=e^c/(n+1)!<e/(n+1)! כי e^c<e לכל c המקיים 0<c<1 אם p/q,m/n שני מספרים רציונאלים שונים אז מתקיים |1/qn|<=|p/q-m/n| עכשיו e=1+1/2+1/6+...+1/n!+R1(x) 1+1/2+1/6+..+1/n! הוא מספר רציונאלי שמכנהו הוא n! לכן נניח בשלילה כי e=p/q עבור p,q שלמים כלשהו ואז |1/qn!|<|R1(x)|=|p/q-(1+1/2+1/6+...+1/n!)|=|p/q-m/n!|<e/(n+1)! => 1/qn!<e/(n+1)! (n+1)/q<e לכל n טבעי, והרי lim (n+1)/q=אינסוף כאשר n->אינסוף לכן e אינו רציונאלי...