שרשור ש.ב. 4/1/02

[tal b]

לא הבנתי מה מציין הX?

 

[tal b]

d * n/2 = 15 (1).d = 30/n ????

 

[tal b]

האם אפשר לקבל עזרה כאן....../images/Emo10.gif

נתתי שאלה בסדרות, והתשובה שנתנו היא לצערי לא נכונה ולא הגיונית. מישהו יכול להסביר לי בבקשה מה לעשות?

 

[freedom rider]

עזרה../images/Emo185.gif

נסמן ב-N את מספר האיברים בסדרה, נסמן ב-T את סכום האיברים האי זוגיים, וב-S את סכוםה האיברים הזוגיים. לפי הנתון:

S-T=(a2+a4+....)-(a1+a3+...)=(a2-a1)+(a4-a3)+....=(N/2)*d​

כאשר d הוא הפרש הסדרה. לכן, על פי הנתון הראשון: 15=N/2)*d). כמו כן על פי הנתון השני

aN=a1+(N-1)*d=a1+27.5​

ולכן 27.5=N-1)*d). קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, ואם נפתור אותן נקבל כי N=30.

 

[tal b]

אני מודה לך מאוד../images/Emo36.gif

 

[tal b]

רק חבל שזה לא כל כך נכון....../images/Emo128.gif

פתרנו את זה בכיתה היום : נסמן את האי זוגייים בt ואת הזוגיים בs ידוע ש t+15 = s וגםa2n = a1 +27.5 ידוע שבסדרה מספר זוגי של איברים מהמשוואה הראשונה : n/2{2a1 + 2d(n-1)} +15 = n/2{2(a1 +d) +2d(n-1} 1 n{2a1 +2dn -2d} + 30 = n{2a1 +2d +2dn -2d} 1 2a1n + 2dn^2 - 2dn + 30 = 2a1n + 2dn^2 2dn = 30 1 2 a2n = a1 +27.5 נתון לנו שבסדרה יש מספר זוגי של איברים a1+d(2n-1)= a1 + 27.5 2dn = 27.5 +d נשווה בין השתיים : d+27.5=30 d = 2.5 n = 6 מספר האיברים בסדרה הוא 12

 

[freedom rider]

אז כמה נקודות מורידים על טעות

בפתרון של מערכת המשוואות הסופית?

 

[איגור קרסיק]

תלוי

אצלי בבית הספר זה נע מ-50 אחזו עד 100 אחוז [תלוי בהרבה גורמים כגון: טעם הקפה בבוקר, רוגע, האם המורה למתמטיקה ראה אותי בשבוע האחרון [שני הגורמים האחרונים קשורים במידת מה] וכו].

 

[tal b]

סתם צחקתי...../images/Emo13.gif

 

[freedom rider]

אכן - טעיתי

הגעתי לשתי המשוואות: 15=N/2)*d). 27.5=N-1)*d). הבה ונפתור אותן באופן מסודר: N*d=30 27.5=N-1)*d). ועל ידי חלוקת האגפים נקבל:

N/(N-1)=30/27.5 27.5*N=30*(N-1) 27.5*N=30*N-30 30=2.5*N N=30/2.5 N=12​

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

לפני הפתרון אני רק אעיר שלמען הפורמליות צריך בשאלות כאלה דבר ראשון להוכיח, שבכלל ניתן לחסום מעגל במרובע הזה, אני אשאיר לך לחשוב למה זה נכון למרות שלא ביקשו את זה במפורש בשאלה... לעצם הפתרון : מצא את DQ מתוך המשולש CDQ . מצא את DO מתוך המשולש DOQ (רמז : שים לב ש DO , QO הם חוצי זוויות במרובע, יודע למה ?) מצא את הרדיוס המבוקש מתוך המשולש DOG (כאשר GO הוא הרדיוס).

 

[שאלתיאל קוואק 2003]

תודה רבה

 

[freedom rider]

שרשור ש.ב. 4/1/02

אנא שרשרו!

 

[dubby250]

כמה שאלות בקשר לאינדוקציה

בס"ד 1) לא הצלחתי לפתור את השאלה הבאה. (אני אמור לפתור אותה באינדוקציה) יהיו n מספרים ממשיים וחיוביים, המקיימים

a1a2a3......an = 1​

צריך להוכיח שמתקיים

a1+a2+a3+......+an >= n​

מישהו יודע איך? 2) זאת שאלה שקשורה להבנה של ההוכחה. אני קודם אכתוב את מבנה ההוכחה, ואחר-כך אני אכתוב את מה שאני לא מבין. טענה: הוכח שלכל n טבעי, מתקיימת טענה מסויימת. (הטענה היא, אי שיויון המשולשים, אבל לשאלה שלי, לא כל כך חשוב מהי הטענה). מבנה ההוכחה: קודם נוכיח באינקדוקציה פשוטה שהטענה מתקיימת לכל n שהוא חזקה של 2. (2,4,8....) כעת, נניח שהטענה מתקיימת עבור n=m+1 ונוכיח שהטענה מתקיימת עבור n=m. את ההוכחה הבנתי, אבל יש משהו אחר שאני לא מבין. האמיתות של הוכחה בשיטת האינדוקציה, מסתמכת על אקסיומת האינדוקציה שאומרת ש"כל קבוצה שבה, לכל אבר יש אבר עוקב, היא קבוצת המספרים הטבעיים". כעת, ההוכחה הנ"ל עובדת בצורה הפוכה, שקודם מניחים נכונות עבור מספר מסויים ואח"כ מוכיחים למספר הקודם, אז איך זה יכול להיות הוכחה? (חשבתי אולי להסתמך על זה, שלכל מספר טבעי n, יש מספר שהוא חזקה של 2, שגדול ממספר n זה, אבל עדיין זה לא מסביר את העובדה שלא משתמשים באסיומת האינדוקציה) 3) שאלה שדומה לשאלה הקודמת רק בסגנון אחר. (זה קשור לאלגורימתים) נניח שיש לי את נוסחת הנסיגה הבאה:

T = 2*T(|_ n/2 _|) + n​

(הסימן הזה, הכוונה לערך תחתון). אחת השיטות להוכיח את זה, זו שיטת ההצבה. מניחים באינדוקציה שזה נכון עבור n/2 ומסתמכים על זה, להוכיח שזה נכון עבור n. השאלה כאן דומה, שהרי לא משתמשים באקסיומת האינדוקציה, ואיך זה יכול להיות הוכחה? תודה רבה מראש

 

[איגור קרסיק]

....

התשובה ל-1 בקובץ המצורף. 2. תנסח את מה שכתבת שוב, שכן ממה לא ברור לי מה האיבר שלגביו בודקים את נכונות ההשערה [=בהרבה מיקרים בודקים עבור n=1, אבל פה...]. בקשר לשאלה השלישית, אם הבנתי נכון אז מוכחים ע"י אינדוקציה שלמה. דהיינו: המעבר הוא "נניח שהטענה נכונה לכל מספר טבעי קטן מ-n ונוכיח שהטענה נכונה ל-n". זה בערך מה שעשו בתרגיל שלך. את העיקרון הזה ניתן להוכיח מאכסיומת האינדוקציה.

 

[טלמון סילבר]

2. זה פטנט נחמד, ראיתי אותו

פעם, אינני זוכר איפה. אתה מוכיח שטענה מסויימת: A. נכונה עבור 1, 2, 4, 8, ..., 2 בחזקת n, ... B. שאם היא נכונה עבור מספר טבעי כלשהו n+1 הגדול מ-1 (או מ-3) אז היא נכונה גם עבור n. וכך, בשיטת "אינדוקציה הפוכה", הוכחתָ את נכונות הטענה עבור כל n טבעי.

 

[dubby250]

לא הבנתי משהו

בס"ד את ההוכחה הזאת הבנתי. היא כמובן הגיונית. אבל מה שאני לא הבנתי, זה העובדה שהטענה מוכחת בעזרת אינדוקציה, כאשר אקסיומת האינדוקציה טוענת שצריך להוכיח שלכל אבר גם האבר "העוקב" נמצא בקבוצה ולא האבר שלפניו. אותו דבר בקשר לשאלה השלישית, ששם מוכיחים שאם הטענה נכונה עבור n/2 אזי היא נכונה עבור n. השאלה שלי כאן היא אותו דבר. תודה רבה לאיגור על התשובה של השאלה הראשונה

 

[טלמון סילבר]

1. אינני יודע

מה זה "אקסיומת האינדוקציה". איך היא מנוסחת? ומדוע "אקסיומה"? גם לא חשוב איך אתה קורא להוכחה שלך, אם היא נכונה. אתה לא חייב לקרוא לה "אינדוקציה" אם זה מפריע לך. דוגמה אחרת: חידה. הוכח, שבכל קבוצה של 2n-1 מספרים שלמים ניתן למצוא תת-קבוצה של n מספרים שסכומם מתחלק ל-n. ההוכחה קשה מאוד, ואני גם לא זוכר אותה טוב, אבל הרעיון הוא: A. מוכיחים, שהטענה נכונה עבור כל n ראשוני. B. מוכיחים, שאם הטענה נכונה עבור n ועבור m טבעיים כלשהם, אז היא נכונה גם עבור המספר הטבעי nm. ובכך מוכיחים את הטענה כֻּלה! 2. האם הבנתָ את החידה ההיא עם שתי המשוואות, שלאחת יש פתרון ולשנייה אין?

 

[dubby250]

תשובה

בס"ד הנושא של אקסיומת האינדוקציה, הוא קשור לפילוסופיה של המתמטיקה. אנחנו רגילים כל הזמן להשתמש בקבוצת המספרים הטבעיים, אבל נשאלת שאלה. מי אמר שהקבוצה קיימת? (לכאורה לשאלה הזאת אין מקום, כי אנחנו כל הזמן משתמשים במספרים, ומה זאת אומרת "מי אמר שהקבוצה קיימת". אבל באמת יש כאן משהו מטעה. תחשוב על אנשים שמשתמשים עם המושג שטח בלי שהם יודעים מה ההגדרה של שטח, ואותו דבר, אנחנו משתמשים עם מספרים בלי שאנחנו יודעים "מה" הם המספרים, ולכן אנחנו שואלים "מה הם מספרים? מי אמר שקבוצת המספרים הטבעיים קיימת? ". אפשר אולי להבין את השאלה קצת יותר, ע"י שנשאל שאלה דומה. ידועה ההוכחה ששורש 2 הוא לא מספר רציונלי. אבל אפשר לשאול, "מי אמר שהמספר שורש 2 קיים בכלל?". התשובה לשאלה האחרונה היא פשוטה. נסתכל על משולש ישר זוית ששני צלעותיו שוים ל - 1 ונראה שהיתר שוה לשורש 2 , ע"פ משפט פיתגורס). בכל אופן, נחזור למה שכתבתי מקודם בקשר לשאלה על קבוצת המספרים הטבעיים. אני ראיתי שתי גישות לטפל בבעיה הזאת. הראשונה נקראת, שיטת פרגה (שם של מתמטיקאי) שמגדיר מספרים טבעיים כעצמות של קבוצות סופיות. השניה, שיטת פאנו (שם של מתמטיקאי) שמתייחס למספרים טבעיים כמושג יסוד, ומגדיר אקסיומות שקובעות יחסים בין מספרים. (אני שם לב שהדיון מתחיל להיות קצת מופשט, אז אני בנתיים לא ארחיב, אלא אם תבקש). בכל מקרה, אחד מהאקסיומות טוענת, שקבוצה שבה לכל אבר יש אבר עוקב, היא קבוצת המספרים הטבעיים. (זאת לא כל האקסיומה, וישנם עוד שלש אקסיומות, אבל אני לא רוצה להסיט את הדיון). בכל אופן, עד כמה שאני הבנתי, שיטת ההוכחה באינדוקציה, מסתמכת על אקסיומה זאת. ההוכחה באינדוקציה מוכיחה, שאם הטענה נכונה למספר מסוים, אזי למספר העוקב, היא גם מתקיימת. ולכן לכל אבר בקבוצת המספרים שמקיימת את הטענה, יש אבר עוקב באותה קבוצה, ולכן הקבוצה שווה ל - N. לכן אני שאלתי, שלכאורה ההוכחה שהבאתי לא משתמשת עם אקסיומה זו. את ההגיון שבהוכחה הבנתי, אבל רציתי להבין איך זה מתקשר לאקסיומת האינדוקציה. בקשר לחידה ששלחת עכשיו, אני מקוה שאני זמן לשבת על זה קצת, לפחות לקבל תחושה של הבעיה. בקשר לשאלה ששאלת עם שתי המשוואות. אני לא הצלחתי לפתור, אז הלכתי למתרגל באינפי, והוא טען שאם נשים ln משני הצדדים, נוכל להוכיח שבהנתן המשוואה בצורה הכללית הבאה

x^x^x..... = L​

מתקיים

x = L^ (1/L)​

בכל אופן, זה ודאי לא נכון, כי אם זה כך יוצא הדבר הבא:

(2^(1/2))^(2^(1/2))^(2^(1/2))..... = 2 (4^(1/4))^(4^(1/4))^(4^(1/4))..... = 4​

אבל

4^(1/4) = 2^(1/2)​

בכל אופן, הלכתי אתמול למישהו אחר, והוא אמר לי להוכיח שאם

x > 2^(1/2)​

אזי הסדרה לא חסומה. אז הבנתי מדוע אין פתרון למשוואה השנייה, אבל אני עדיין צריך להוכיח את הטענה האחרונה. תודה רבה

 

[טלמון סילבר]

הערות, בלי להיכנס ל"פילוסופיות".

1. קיימת הגדרת מספרים אי-רציונליים באמצעות ההרחבה של דֶדֶקִינְד. 2. הגדרה כלשהי של קבוצת המספרים הטבעיים אינה מטילה הגבלה על שיטת האינדוקציה, שאתה חייב ללכת רק קדימה ולא יכול ללכת אחורה. אם ההגדרה אינה מרוקנת את קבוצת המספרים מתוכנה ומתכונותיה הרבות, אז מן הסתם היא מאפשרת גם ללכת אחורה, לצדדים ואיך שאתה רוצה. יהיה זמן, תביא את האקסיומות, את הפיתוחים הנובעים מהן, ונראה אם קיים המושג הזה "מספר קודם", N בחזקת M, מוגבלוּת מספר המספרים הטבעיים הקטנים ממספר נתון. 3. הבאתי בזמנו ניתוח מלא של התרגיל, כולל הדוגמה של שורש רביעי של 4. במיוחד בשבילך. לא ראיתָ? ההגבלה היא לא על

2^(1/2)​

אלא על

e^(1/e)​

והראתי את ההוכחה לכך. בתרגיל הזה לא צריך לגלות את אמריקה, אלא בסה"כ לבצע את הפעולות הסטנדרטיות בזהירות.