שרשור שבת 9/10/04

[1ca1]

לא נכון

אם אין לביטוי נקודת חיתוך עם ציר האיקס אזי יש לו 2 שורשים מרוכבים וצמודים (בהנחה שa,b,c ממשיים) אז אפשר לפרק אותו ל

c(x-z)(x-z^) כאשר z^ מסמל z צמוד ד"א גם אם יש לו 2 שורשים ממשיים (או אפילו שורש אחד ממשי מריבוי 2) אז הוא מפורק לצורה c(x-m)(x-n) (מי אמר לך שהפולינום מתוקן???)​

 

[rainbow16]

הנחתי שהוא לא יודע את זה...

לא חשבתי שהוא מדבר גם על המרוכבים. חשבתי שהוא מדבר רק על הממשיים.

 

[sb007]

תשובה

פתח סוגריים בצורה רגילה.

 

[yokidotcom]

תודות לכולכם

 

[יעקוב השכן]

מישהו יכול להסביר לי שניה?

מה זה מחזור מינימלי?

 

[1ca1]

המחזור המינימלי

שים לב כי בכל פונקציה מחזורית, אם t הוא המחזור שלה, אז גם tk כאשר k מספר שלם הוא מחזור שלה (בערך כמו למשל בתנועה מעגלית, אם למשל יש לה זמן מחזור של 2 שניות בו החלקיק ישלים סיבוב, אז גם ב4 שניות הוא ישלים סיבוב (למעשה 2 אבל מגיע לאותו ערך במקום) וכו') אז במחזור מינימלי בד"כ מתכוונים לt החיובי הכי קטן כך ש f(x)=f(x+t)

 

[Halfbaked]

והנה בעיה נושנה

1. הוכיחו שלכל פונקציה רציפה ומחזורית שאינה קבועה קיים מחזור מינימלי. 2. הראו (ע"י דוגמה) שדרישת הרציפות הינה הכרחית לנכונות הטענה ב-1.

 

[1ca1]

הנה 2

ניקח את פונקציית דיריכלה, 1 ברציונאליים, 0 באי-רציונאליים, בוודאי שלא רציפה באף נקודה אם ניקח f(x) אז גם Q וגם R\Q צפופות בR, לכן לכל מחזור t כך ש f(x)=f(x+t) אפשר לבחור t' קטן יותר (בערכו המוחלט) כך ש f(x)=f(x+t')

 

[Calius]

קודם כל, זה לא תנאי מספיק

למשל פונקציה הקבועה -- רציפה ומחזורית, אך אין לה מחזור מינימלי.

 

[Calius]

אה, כמובן ששכחתי להגיד מהו תנאי

מספיק: נראה לי שפונקציה רציפה, מחזורית, שאינה קבועה, היא תנאי מספיק (והכרחי ע"פ הדוגמא הנגדית שהבאתי קודם). את טענת העזר שלי בהודעה הבאה ניתן להוכיח ע"ס ההנחה שהפונקציה אינה קבועה.

 

[טלמון סילבר]

התנאי הוצג בשאלה.

 

[Calius]

וחוצמיזה, הנה נסיון

אבל אני מודה מראש -- אני חלש באינפי. ראשית טענת עזר: אם יש לפונקציה מחזור מינימלי, אזי כל מחזור של הפונקציה הוא כפולה שלמה של המחזור המינינלי. ההוכחה פשוטה: אם יש מחזור מינימלי t ומחזור אחר k שאינו כפולה של t, השארית מהחלוקה השלמה של k ב- t "מפירה" את היות t מחזור. אני מקווה שאני ברור פה... אם מסכימים לטענת העזר, אזי התוצאה כמעט מיידית: קיים מחזור לפונקציה המדוברת. לוקחים את קבוצת כל החלוקות של המחזור הנ"ל במספרים שלמים חיוביים. הקבוצה אינה ריקה (קיים מחזור), ברת-מניית וחסומה מלמטה. לכן יש לה מינימום.

 

[Halfbaked]

הטיעון לא ברור

1. לא לכל קבוצה לא ריקה, בת מנייה וחסומה מלרע יש איבר מינימלי. דוגמה המוכיחה זאת היא קבוצת המספרים "1 חלקי n" עבור n טבעי חיובי. 2. אפילו אם לקבוצה שהגדרת קיים איבר מינימלי, איך ניתן להסיק מכך שלפונקציה יש מחזור מינימלי? האם אתה מניח שכל המחזורים של הפונקציה נמצאים בקבוצה? מדוע? לגבי הערתך הקודמת: הדרישה שהפונקציה אינה קבועה אכן הכרחית, ומופיעה בניסוח השאלה.

 

[Calius]

טעות שלי...

1. אכן לא לכל קבוצה כזו יש איבר מינימלי. הדוגמא שנתת היא בדיוק הדוגמא שאני נתתי, למעשה (חלק את t בכל הטבעיים...) והייתי צריך לעלות על זה. 2. אכן הדרישה מופיעה בניסוח. סליחה. ... ובכל מקרה: אני טוען שהמחזור הקטן ביותר מופיע בקבוצה המדוברת, מכיוון שכל המחזורים הם כפולה של המחזור הקטן ביותר (וזאת טענת העזר שלי). לא *כל* איברי הקבוצה הם מחזורים -- רק חלקם. אבל אחד מאותם "חלקם" הוא הקטן ביותר, ומופיע שם. מודה -- צריך עוד עבודה. אחשוב על זה בערב.

 

[Calius]

נסיון נוסף, קצת שונה

שוב התנצלויות מראש על כל טעות אינפי שתיעשה. מצורף קובץ WORD. את הלמה כבר "הוכחתי" בהודעה קודמת, אבל אעשה זאת בקרוב בצורה טובה יותר. רציתי כבר להגיע לעבודה, לכתוב ולעשות POST.

 

[Calius]

תיקון... אוף

הלמה הראשונה צ"ל מנוסחת כך: עבור פונקציה ללא מחזור מינימלי, בהניתן מחזור t, קיים n טבעי גדול שווה ל- 2, כך שגם t/n הוא מחזור. למה זו אומרת שיש מחזור קטן כרצוננו, ומשם ממשיכים הלאה.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo58.gif ניסיון לפתרון

1. נניח שאין מחזור מינימלי. נתון, שקיים מחזור כלשהו t_1. מכיוון שהוא אינו מינימלי, קיים מחזור קטן ממנו t_2. וכך נבנה סדרה אינסופית: עבור מחזור t_n קיים מחזור קטן ממנו (t_(n+1. סדרה זו יורדת מונוטונית וחסומה מלמטה ע"י המספר 0, משמע יש לה גבול כלשהו t גדול או שווה 0. מכאן:

t_(n+1) - t_n​

שואף ל-0. עם זאת, ההפרש בין שני מחזורים מהווה גם הוא מחזור:

f(x + (t_m - t_n)) = = f((x + t_m) - t_n) = = f(x + t_m) = = f(x)​

משמע, קיימים מחזורים קרובים ל-0 "כמה שאנחנו רוצים". ההמשך כמו שכתב CALIUS: ערך הפונקציה ב"נקודה שניה" שונה מערכה ב"נקודה ראשונה"; בגלל הרציפות ב"נקודה השניה", ערך הפונקציה בסביבה של ה"נקודה השניה" שונה מערך הפונקציה ב"נקודה הראשונה", מה שעומד בסתירה עם קיום מחזור "קטן כמה שרוצים", המחדיר את ערך הפונקציה ב"נקודה הראשונה" גם לכל סביבה של ה"הנקודה השניה". 2. מצטרף לפתרון של 1CA1. פונקצית דיריכלה מיד עולה במחשבה. עבור כל מספר טבעי n, המספר 1 חלקי n מהווה מחזור.

 

[Calius]

יפה!

מעקף אלגנטי לנסיון להוכיח שהגבול t_n עצמו שואף ל- 0. אני אגב מאמין שזה נכון, אך עוד לא הוכחתי.

 

[טלמון סילבר]

נחכה לאישור

במקרה הכללי t_n לאו דווקא שואף ל-0. כלומר, דווקא קל מאוד לבנות סדרה "כזאת", שאינה שואפת ל-0. אנסה לפענח את המילה "כזאת", המתבססת על הנחת השלילה שלנו. ובכן: נתונה קבוצה של מספרים ממשיים חיוביים, ש: 1. הקבוצה אינה ריקה. 2. לא קיים מספר קטן ביותר בקבוצה זו. 3. סכום שני מספרים השייכים לקבוצה, שייך גם הוא לקבוצה (אינני בטוח שהתנאי הכרחי). 4. הערך המוחלט של ההפרש בין שני מספרים השייכים לקבוצה, שייך גם הוא לקבוצה. טענה: קיימת סדרה אינסופית יורדת מונוטונית של מספרים מהקבוצה, השואפת לגבול שונה מ-0. הוכחה. נבנה את הסדרה t_n היורדת מונוטונית ושואפת לגבול מסויים t, ממספרים של הקבוצה, כמו שציינתי בהודעה הקודמת. הטור:

t_1 + (t_2 - t_1) + (t_3 - t_2) + (t_4 - t_3) + . . .​

מתכנס, ושווה t. לכן גם הטור:

t_1 + (t_3 - t_2) + (t_4 - t_3) + . . .​

(השמטתי את האבר השני) מתכנס, ושווה:

t - (t_2 - t_1) > t​

(אני מזכיר ש-t_n סדרה מונוטונית יורדת). סדרת הסכומים החלקיים של הטור השני מורכבת כולה ממספרים השייכים לקבוצה, ושואפת לגבול שונה מ-0. אם היינו בוחרים מראש בסדרה זו, היינו מקבלים גבול t שונה מ-0.

 

[Calius]

נכון, אבל

בחידה לעיל לא מדובר על *סתם* סדרת מספרים ממשיים, חיובים, ללא ערך מינימלי, וכו'. מדובר על מחזורים של פונקציה *רציפה*. אני *מנחש* שזהו נתון שעוזר, כלומר בעזרתו ניתן להראות שהחסם מלרע הוא אפס ולא אחר. האינטואיציה אומרת כך: קח מחזור שאינו מינימלי, וקח אחר קטן ממנו (שקיים בוודאי). האחר חייב להיות חלוקה שלמה של הראשון אחרת ה- "שארית" מהווה סתירה למחזוריות של הקטן, בגלל ש... (יש להשלים, אבל הכיוון הוא שניתן "להמשיך" את החלק של הפונקציה באורך השארית לתוך המחזור הגדול, ומכיוון שהם אינם בהכרח שווים אז סתירה). מה שרשמתי למעלה טוען ש- *כל* המחזורים בפונקציה רציפה הם חלוקות שלמות של המחזור הגדול מהם (ובפרט הנחתי שהקבוצה ברת-מנייה!). ניתן גם להסתפק ב- "לכל מחזור קיים מחזור קטן ממנו שהוא חלוקה שלמה שלו". אני לא בטוח אם זה קל יותר להוכחה. במקרה כזה אני מרשה לפונקציה יהיו קבוצות שקילות של מחזורים, כאשר בכל קבוצה כ"א מהמחזורים הוא חלוקה שלמה של זה הגדול ממנו (שוב -- כל קבוצה היא ברת-מנייה).