שרשור יום ג - 21/3/03

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

הפונקציה היא שליש כפול x³ . הנגזרת של x³ היא 3x² (יודעת למה ?) שליש הוא מספר קבוע, לכן אנחנו "לא נוגעים" בו, הוא נשאר ואנו נכפול בו את התוצאה :

y´=⅓·3x² y´=x²​

 

[lettuce]

תודה

ועוד תרגיל בבקשה מינוס 3 חלקי 2 כפול X בריבוע

 

[lettuce]

שאלה

איך עושים X ברביעית=8X? כלומר איך פותרים את זה?

 

[1ca1]

זה פשוט מאד

מאחר שזהו למעשה פולינום חסר

x^4=8x x^4-8x=0 x(x^3-8)=0 קל לראות ש x1=0 ו x^3=8 ואז עם שורש שלישי מקבלים x2=2​

 

[1ca1]

בבקשה

f(x)=(-3/2)*x^2 אז f´(x)=(-3/2)*2x=-3x​

 

[דורבה]

נילפוטנטיות בלינארית...

היי, איך ניתן להוכיח כי למטריצה ריבועית מסדר N , אשר גם נילפוטנטית, מתקיים כי A^N = 0 . כלומר מטריצה נילפוטנטית "מתאפסת מקסימום בסדר שלה"? יש לציין שעלי להמנע משיקולי פולינום אופייני וכיוב´ (עדיין לינארית 1)

 

[איגור קרסיק]

תשובה

אם N=1 אז סיימנו בכל מקרה אחר נסמן ב-s את החזקה המינמלית של A שבה A^s=0. כמו כן נסמן ב-Ker A את מרחב הפתרונות של Ax=0... ראשית קל להוכיח שמתקיים: {0}<=Ker A <=Ker A^2 <=...<=ker A^s אם כן A^[s-1] d איננו אפס ולכן קיים v כך ש:

A^[s-1]v<>0​

. נוכיח כעת שההכלה היא הכלה ממש. יהי i בין 1 ל-s. נסמן

w=A^[s-i]v​

אזי:

A^w=0 amd A^[i-1]w<>0​

לפיכך מצאנו ווקטור שנמצא ב-Ker T^i ולא ב-Ker T^[i-1] h... אם כן, נקבל s<=n שכן לא יכול להיות שבמרחב הפתרונות יהיו יותר מ-n וקטורים בלתי תלויים.

 

[דורבה]

תודה, אבל...

בשלב זה לא למדתי עדיין KER כך שסביר להניח שיש פתרון עם כלים פשוטים יותר... נאמר לי להשתמש בעובדה הבאה : נניח כי אינדקס הנילפוטנטיות הוא S אזי קיים ווקטור V כך ש 0<>A^S-1*V יש להוכיח כי הקבוצה V,AV,A^2V,...,A^S-1V היא בת"ל. פתרון של דלעיל אמור "לסלול" לי את הפתרון לשאלה המקורית בשרשור סליחה על הניג´וס...

 

[איגור קרסיק]

תראה

את הסימון Ker במקרה של מטריצה אני המצאתי בעצמי ... עקרונית רציתי סימון למרחב הפתרונות של Ax=0... הסימון שהכי התאים היה Ker... אני בטוח שלמדת על "מרחב פתרונות"... חבל שלא כתבת את הרמז שכן זו שאלה קשה... לפי הרמז, יהי צירוף לינארי של הווקטורים הנ"ל:

a1v+a2Av+...+anA^[s-1]v=0 נכפיל ב-A בחזקת s-1 ונקבל ש-a1=0... ולכן נשארנו עם:

a2Av+...+anA^[s-1]v​

.. נכפיל ב-A בחזקת s-2 ונסיק ש-a2=0 וכך הלאה... אם כן בהכרח כל המקדמים שווים ל-0 ולכן הקבוצה הנ"ל בת"ל. לפיכך s חייב להיות קטן שווה ל-n שכן אחרת תהיה קבוצה בת"ל בעלת n+1 אברים...​

 

[איגור קרסיק]

אוף זה התבלגן....

אני מקווה שתבין...

 

[דורבה]

היכן הסתירה?

הבנתי מדוע הקבוצה הנ"ל בת"ל, אבל למה S קטן שווה מ - N ? למה לא יכול להיות שהקבוצה מכילה N+1 איברים ועדיין תישאר בת"ל??

 

[דורבה]

ברור - כי המימד הוא N , תודה ..

 

[איגור קרסיק]

....

כשכתוב ברמז שקיים v כך ש-Av<>0 מאיזה מרחב לינארי נלקח v? ממרחב כל ה-n-יות מעל שדה F יחד עם הפעולות חיבור וכפל הרגילות [שכן אחרת אין משמעות למכפלה Av]... אגב, היה צריך להיות כתוב דבר זה לפני שאומרים שקיים v כך ש... שכן יש להגדיר מה זה v = מאיזה מרחב הוא נלקח... אותו מרחב הוא כמובן n ממדי ווקטורים הנמצאים במרחב וקטורי n ממדי.

 

[symptoms]

מישהו יכול לעזור לי

יש לי מבחן ביום חמישי ואני לא מצליחה כלום בטירגו אז מישהו יכול להגיד לי איך מוכיחים את אי השוויון הבא בבקשה? sin^3x+cos^3x בין 1- ל-1 תודה רבה

 

[טלמון סילבר]

הוכחה (כנראה באיחור...)

| sin³x + cos³x | ≤ | sin³x | + | cos³x | = = | sin x |³ + | cos x |³ ≤ ≤ | sin x |² + | cos x |² = sin²x + cos²x = 1 -1 ≤ sin³x + cos³x ≤ 1​

 

[dana44]

שאלה על פונקציות רציונליות?

אם פונקציה רציונלית האם ניתן לומר כי הנגזרת שלה היא רציונלית?אם כן כיצד מוכיחים זאת?

 

[איגור קרסיק]

כן

פונקציה רציונלית היא P/Q כאשר P ו-Q פולינומים. לכן לכל x בו Q איננו 0 נוכל לגזור. השתמשי בנגזרת מנה בשביל לראות שמקבלים מנה של פולינומים...

 

[dana44]

ובכל זאת.....

אם גוזרים פונקציה רציונלית מתקבל במונה מכפלה של רציונלי באי רציונלי (חיבור של שתי מכפלות כאלו)ואזי התוצאה היא בלתי רציונלית?!

 

[איגור קרסיק]

למה?

ממתי הנגזרת של P ושל Q אינם פולינומים?

 

[fibonachi]

איגור...

איזה קורסים אתה עושה עכשיו . ?