שלום לכולם

[פנטה ריי]

שלום לכולם

אני מקווה שזה הפורום הנכון לפנות אליו בעניין הבא: במהלך קריאת ספר שעסק בסקירה המתמטיקה להדיוטות, נתקלתי, כנראה שלא בפעם הראשונה (אבל מי זוכר?) - במספרים מדומים. נטען שם, שאלה הומצאו כדי לפתור איזו בעיה שנבעה משורשים ריבועיים של מספרים שליליים. ועכשיו שאלה: האם יש היגיון בצידם של המספרים המדומים? האם יש להם ביטוי כשלהו במציאות? האם יש להם ערך ממשי כלשהו? והאם המצאתם אינה יותר ממילוי נוח של איים לא ברורים, כי לא נוח להתמודד? אני די בטוחה שיש הסבר שחמק ממני.

 

[טל ר]

מתמטיקה ומציאות

המתמטיקה אינה צריכה להיות קשורה למציאות. המספרים המדומים והמרוכבים הומצאו על מנת לכסות את אותם "איים" במספרים הממשיים, בדיוק כפי שהממשיים הומצאו על מנת לכסות "איים" במספרים הרציונליים. לאחר שאמרתי את זה, ראוי להזכיר שלמספרים המרוכבים שימושים רבים, כגון פונקציות גל בפיסיקה, חישובי זרם חילופין באלקטרוניקה, ועוד.

 

[פנטה ריי]

זה בדיוק מה שלא ברור לי

אם יש למספרים האלה שימושים בחישוב תופעות שקיימות במציאות - איך הם יכולים להיות היפותטיים? אם אפשר, אני אשמח לקבל הסבר בהיר - כזה שהיית משתמש בו לילד שרק החל את צעדיו הראשונים בשיעורי חשבון

 

[טל ר]

דוגמא

פעם הרומאים נהגו לכתוב מספרים על ידי כתב ערכי, כלומר לכל אות היה ערך אחר. אחד סומן ע"י I, חמש ע"י V, עשר ע"י X, חמישים ע"י L, וכו'. באו המתמטיקאים (ערבים במקרה זה אם אני זוכר נכון), והמציאו את הכתב הפוזיציוני בו אנו משתמשים כיום. כבונוס הגיע ה-"0" - ביטוי של העדר כמות כלשהי. האם הכתב הפוזיציוני קיים במציאות? האם הוא היפותטי בלבד? ניתן לומר שכל ההפשטות המתמטיות הן היפותטיות בלבד, אולם זה לא אומר שלא ניתן להשתמש בהן לתאור תופעות הקיימות במציאות. מתמטיקה הוא תחום במדעים בו מניחים הנחות (מתמטיות) ומנתחים את השלכותיהן. פיסיקה הוא התחום במדעים המשתמש בכלים מתמטיים לתאור המציאות. אני מקווה שהצלחתי להבהיר את כוונתי. טל.

 

[פנטה ריי]

הכתב הפוזיציוני

הוא ביטוי סמלי לרעיון. סימון הרעיון בספרות או באותיות לא משנה את מהותו. אני לא בטוחה שאני יודעת להסביר את הקושי שלי. אולי כך: מספרים שלמים אני יכולה להבין, כי אני יודעת שאם אני מוסיפה תפוח אחד לתפוח נוסף - יהיו לי שני תפוחים. גם מספרים שליליים אני יכולה להבין, כיוון שאני יכולה לקשר אותם למחסור או לגרעון - אני יכולה לקשר אותם לתופעות. אבל מספרים מדומים אני לא יכולה לקשר לכלום - או אולי כן?

 

[טל ר]

בדיוק

כל המתמטיקה היא ביטויים סמליים לרעיונות. למשל, למה את מקשרת את המספרים הממשיים? העניין הוא כי הרעיונות מתחילים כרעיונות מופשטים. ההבנה האינטואיטיבית מגיעה לאחר שמבינים משהו היטב. אני מסכים בהחלט שמספרים מרוכבים הינם פחות אינטואיטיבים ממספרים שליליים.

 

[פנטה ריי]

מספרים ממשיים

אני יכולה להבין רק בקירוב - יש שם איזו משיכה לאינסוף, שאני גם לא ממש מצליחה לעכל. המספרים מדומים, לעומת זאת, אניגמטיים לי לחלוטין. אררר... אני מבינה שלא תבוא לי בקלות התובנה הזו - תודה לך בכל מקרה

 

[טל ר]

נסי את זה

חשבי על המספרים הממשיים כעל ישר. עתה חשבי על המספרים המדומים כעל ישר נוסף, ניצב לראשון, וחותך אותו בנקודת האפס. כל מספר מרוכב הוא נקודה במישור שנוצר ע"י שני הישרים. חיבור שני מספרים הוא פשוט - חיבור וקטורי של שני הוקטורים המייצגים אותם. כעת בואי נדבר על כפל. כפל של שני וקטורים ייוצג על ידי מכפלת גדליהם, אולם הכיוון של המכפלה יהיה סכום הזויות של כל אחד מהווקטורים אל מול הציר הממשי (ראה שרטוט). שימי לב שהגדרה זו עובדת יופי למספרים ממשיים (חיוביים ושליליים) - הזוית של וקטור של מספר חיובי היא 0, ושל מספר שלילי היא 180, ולכן מכפלת שני מספרים חיוביים או שני מספרים שליליים תהיה חיובית, אולם מכפלת מספר חיובי במספר שלילי תיתן מספר שלילי. מכאן מגיעה שאלת השורש - מה יהיה השורש של מינוס 1? האם את רואה ש-i או מינוס i בריבוע יהיו מינוס 1? טל.

 

[ailag]

ולפי אותו הגיון (תגובה קצת מפוזרת)

אפשר להגדיר כפל. את מבינה אינטואיטיבית כפל ומספרים שליליים, למה שלא תביני כפל של מספר בעצמו שנותן מספר שלילי? כמו שאמרו, "1" הוא ביטוי שמסמל משהו. גם i. מספרים מרוכבים אפשר לעקוף על ידי כך שנכתוב חישובים ארוכים שלא יהיה בהם במפורש שורש שלילי. זה די דבילי

יש להם שימושים: למשל, בתנועה הרמונית מרוסנת: אם היא מרוסנת חזק (קפיץ נמתח בתוך נוזל סמיך, עוזבים אותו, והוא זז קצת ונעצר בלי ללכת הלוך ושוב) - יש לה תדירות מרוכבת. במתמטיקה: e^x הוא מספר ממשי נחמד מאוד, אבל נוח לפעמים לבטא אותו בתור cos(ix) - isin(ix). המספרים המדומים עוזרים לנו כמו שמספרים שליליים עוזרים לנו. איך את רואה מחסור? למשל, את יכולה לראות בור באדמה כמחסור בגבעות. אבל זה לא שחסר משהו - יש לך המון אדמה. פשוט פחות ממה שהיה לו היא היתה ישרה. עדיין - יש לך כמות חיובית של אדמה, ובכל זאת היה לך נוח להשתמש במונח של מספר שלילי. כך גם לפעמים נוח בהרבה לתאר משהו בעזרת מספרים מרוכבים (אולי יש גם מקרים שבלעדיהם זה בלתי אפשרי..) אגב, עכשיו אני בדיוק לומדת (מתמטיקה לפיזיקאים, שנה ב') על שיטות למצוא ערכים של אינטגרלים מסובכים בעזרת מספרים מרוכבים. במקום לעשות אינטגרל מנקודה אחת לשניה על הציר הממשי - אנחנו עושים מסלול שלם וסגור על המישור של הממשי + המרוכב (נוהגים להוסיף לציר המספרים הממשי הנוסף ציר "y" למרוכבים, כמו שטל הסביר) ואז מקצצים איפה שצריך ומקבלים את התשובה שרצינו. האינטגרלים האלה נראים מפחידים בלי מספרים מרוכבים.

 

[אמִיר]

איזה יופי

באתי לכאן כדי להתחמק קצת משיעורים על תנועה הרמונית מרוסנת, ואני מקבל שירשור שלם שמסביר לי למה אני פותר לא נכון

 

[ailag]

../images/Emo6.gif

 

[Palass]

האפס -

הוא לא רק משהו שממביע לא כלום.. האפס הוא מספר שמקפיץ! הרי אי אפשר להגיד ש10 זה 1+כלום זה הקפצה זה המס' 1.

 

[טל ר]

אפס

אפס הוא שני דברים: - מספר (המביא לא כלום או איבר ניטרלי לחיבור). - ספרה (אשר בכתב הפוזיציוני אכן "מקפיצה" כלשונך). בכל מקרה כמספר הוא אינו "מקפיץ", הוא "מקפיץ" כספרה.

 

[Palass]

כן.. לא ידעתי איך להגיד את זה...

לא ידעתי שיש הבדל בין מספר לספרה...

 

[טל ר]

מביא צ"ל מבטא

 

[mili999]

כן,

הגיון ברור שיש זה הופך את המתמטיקה ליותר שלמה. אבל יש גם שימושים במציאות, משתמשים בזה להרבה סוגים של חישובים מדעיים ומקבלים תוצאות אמיתיות, לרוב זה שימושי רק בזמן החישוב והתוצאות הרצויות חוזרות להיות במספרים ממשיים. דוגמאות: התמרת פוריה שדובר עליה קצת בפורום. העברת נתונים ממישור הזמן למישור התדר. משתמשים בזה ל-JPEG, למשל. כשעושים סימולציות עם מטריצות - הרבה פעמים משתמשים בערכים עצמיים של מטריצות שהם לרוב מדומים. יש לזה הרבה מאוד שימושים "אמיתיים".

 

[2_be]

מספרים מרוכבים

ראשית, ברוכה הבאה

ההודעה שלך הזכירה לי שבדיוק השבוע באחד הקורסים שלי (מי אמר שלא כדאי ללכת לקורסים שלא כל העולם הולך אליהם?

) כשלמדתי קצת על שדות של מספרים ראיתי את הנושא מעוד נקודת מבט. השדה הקומפלקסי בעצם בא להתמודד עם הבעיה בה פולינום שנחשב לא פריק (אי אפשר להפוך אותו למכפלת 2 פולינומים) בשדה הממשי יכול להחשב כפריק בשדה אחר כמו השדה הקומפלקסי .

 

[ailag]

כלומר

את בעצם אומרת שצריך את המספרים המרוכבים כדי שלפולינום ממעלה n יהיו n שורשים (גם אם חלקם מנוונים)

 

[טל ר]

ואיך אף אחד

עוד לא אמר "רזידיום"? (אבל זה באמת ליודעי ח"ן).

 

[ailag]

רזידיום!

מה זה רזידיום? או ח"ן?