שורש 9

[david1710]

שורש 9

שלום! אני מורה מתחיל ונתקלתי בטעות תפיסתית אצל מורה מרכזת במתמטיקה. לדעתה, שורש של מספר חיובי הוא תמיד 2 מספרים (חיובי ושלישי) בדיוק כמו פתרון של משוואה ריבועית. אני מחפש מאמרים או חומר עדיף בעברית כי אין לה זמן להתעמק באנגלית שיראו שהיא טועה. תודה מראש

 

[snogal]

אין לי מאמר

אבל זה מתחיל ממשהו יותר בסיסי נראה לי. וזו הבנה של הגדרת פונקציה. צריך להסביר לה שפונקציה יכולה לתת לכל ערך בתחום ערך אחד בלבד בטווח (ואז כמובן לא יכול להיות ששורש יתן 2 תשובות שונות). אגב זה ממש מזעזע שמרכזת מתמטיקה חושבת ככה..

 

[טלמון סילבר]

גם לי אין מאמר.

הבעיה הרבה יותר חמורה. אם חסרה למרכזת הבנה בסיסית, והיא גם בטוחה בעצמה ומסרבת ללמוד, אז הבעיה כבר אינה מתמטית, אלא... פוליטית. הבעיה היא, איזה דפוס התנהגות כדאי לך לבחור, החל מהצד המעשי, וכלה בצד המוסרי עם כל ההשלכות האפשריות של מצב זה... אם הבנתי לא נכון, והיא תסכים ל"משפט אובייקטיבי", אז אפשר, למשל, להעלות את השאלה אפילו כאן בפורום, ולהציג לה את חוות הדעת שלנו, ואם צריך אנסה לגייס אפילו את רון חשבון - שהוא גם מתמטיקאי, וגם מורה למתמטיקה מהשורה הראשונה.

 

[david1710]

כמה ציטוטים מן הספרים

אם אני הולך להגדרה של אקדמיה אז שם ממש אין דילמה - שורש 9 זה רק 3. לעומת זאת סתכלו מה מצאתי בספרי לימודי, ציטוטים: 1. בני גורן, אלגברה 4-5 יח"ל, עמ 62 מספר B הוא שורש ריבועי של מספר A אם B*B=A. הערה: למספר חיובי ישנם 2 שורשים מסדר זוגי. אם לדוגמא X הוא שורש של 9 אז לפי הגדרת השורש הריבועי מתקיים X*X=9, הפתרונות הם 3 ו3-. לעומת זאת למשוואה X=שורש 9,(כתיב מתמטי) היא 3 בלבד. 2. גבי יקואל, מתמטיקה במבנה הצבירה 4 יח"ל, עמ 88 "...נזכיר רק שתחום ההצבה של שורש A הוא כל המספרים האי שליליים וכן גם התוצאה עצמה של שורש A הוא מספר אי שלילי שריבועו A. 3. בני גורן, אלגברה חלק ב', עמ 353 "מספר B הוא שורש ריבועי של מספר A אם B*B=A. אם B>=0 אז B זה שורש A אם B<0 רושמים B = מינוס שורש A. למספר חיובי ישנם שני שורשים ריבועיים אחד חיובי ואחד שלילי. אותה דוגמא עם 9 כמו מקודם. נשים לב: שורש 9 (כתיב מתמטי) = 3 אך לא שווה 3-. נסביר זאת: למעשה מה שקובע זה ניסוח הבעיה. אם הניסוח הוא :"חשב את ערך ביטוי שורש 9 (כתיב מתמטי) התשובה היא 3 בלבד. אם הניסוח הוא "חשבו את השורש הריבועי של 9" אז יש 2 תשובות... מה דעתכם? מה אתם אומרים?

 

[טלמון סילבר]

הניסוחים אכן מבלבלים.

צריך להפריד בבירור בין השורש החשבוני, שיש רק למספרים ממשיים שאינם שליליים, ויש רק אחד, והוא ממשי לא שלילי, לבין קבוצת השורשים האלגבראיים - כל המספרים המרוכבים העונים למשוואה המדוברת. הייתי מייעץ לך לשאול את רון חשבון אישית: הוא גם יודע הכל, וגם מכיר לעומק את הדרישות בבתי הספר, ו...מעבר לזה. נסה למצוא אותו בחיפוש מתקדם בפורום לימודים (321) לפי הניק.

 

[השם שבחרתי אינו חוקי]

תנסה בדרכי נועם

בקש ממנה לגזור את הפונקציה שורש x. ותצייר את מה שהיא קוראת לו פונקציית שורש. תראה לה שהיפוע יצא חיובי, למרות שיש ענף שאמור לספק תשובה שלילית. אם זה לא עובד, אלימות. אבל כשהילדים לא רואים. זה חינוך רע.

 

[DarkCrystal]

../images/Emo6.gif תשאל אותה

אם כך מדוע יש צורך בפלוס/מינוס במשוואה הריבועית? הרי השורש מחזיר שני ערכים!!!

 

[omrimamo]

או שפשוט

תשאל אותה כמה זה שורש 9 ועוד 2 (5 או 1-) זה הרי מספר.

 

[1קישקשתה]

תגיד לה

שהיא מבלבלת בין ההגדרה של שורש ריבועי לבין השימוש בסימון בו. שורש ריבועי של מספר טבעי, אכן תמיד מניב שתי תוצאות - האחת חיובית והשנייה שלילית. אבל כאשר מסמנים שורש (כלומר, מציירים את הסימון עצמו), אזי הוא תמיד מייצג ביטוי חיובי. אחרי שציירנו את סימון השורש ומתחתיו כתבנו מספר או ביטוי, הרי שבשביל לציין שכל הביטוי (כולל השורש) הוא שלילי, עלינו להוסיף את סימן המינוס לשמאלו. אם ברצוננו לציין שהביטוי יכול להיות גם חיובי וגם שלילי, הרי שעלינו להוסיף את הסימון +- (פלוס/מינוס) לשמאלו. אם משאירים את הביטוי כמות שהוא, הרי שהוא תמיד יהיה אי-שלילי. בהגדרת השורש הריבועי, אין ספק שהיא צודקת, אבל ההסכמה המוחלטת היא שסימון השורש עצמו, לאחר שנכתב, מייצג רק ביטוי אי-שלילי. ומכאן הטעות שלה.

 

[1קישקשתה]

הוספתי תרשים קטן ../images/Emo13.gif

לילה טוב ובשורות טובות

 

[david1710]

זאת הבעיה - זה לא נכון

למרות בני גורן ודומיו, התיעצתי עם מרצים בטכניון וספרות אקדמית מקצועית אמינה: שורש של A זה ערך מוחלט של מספר B כך ש B*B=A. חד וחלק,

 

[1קישקשתה]

נו, זה בדיוק מה שכתבתי

כאשר אתה כותב שורש ריבועי הוא מייצג רק את השורש האי-שלילי (ערך מוחלט) של המספר/ביטוי. זה לא סותר את העובדה ששורש ריבועי של מספר חיובי מורכב משתי תוצאות ממשיות, האחת שלילית והשנייה חיובית. הביטוי מתחת לשורש הוא תמיד אי-שלילי (חיובי או 0), כמו גם שכל הביטוי עצמו (כולל השורש) הוא אי-שלילי. ולכן,

אם בכ"ז אתה רוצה להתייחס רק לשורש השלילי - עליך להוסיף את סימן המינוס משמאלו של סימן השורש.

אם בכ"ז אתה רוצה להתייחס לשני השורשים (גם לשילי וגם לחיובי) - עליך להוסיף את סימן ה +/- (פלוס/מינוס) לשמאלו של סימן השורש, בדיוק כמו שעושים בנוסחה למציאת שורשיה של משוואה ריבועית. הנה דוגמה בעניין: יהי X מספר ממשי, פתור את המשוואה הבאה:

X^2 = 9​

מכיוון ששני האגפים חיוביים, הרי שאתה יכול להוציא שורש משני האגפים. מכיוון שאתה יודע ש- X יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (הוא הרי ממשי), הרי שלשמאלו של סימן השורש עליך להוסיף +/-. כך זה ייראה:

X = +/- SQRT(9) = +/- 3​

השורש של המספר 9, לאחר שכתבת את סימונו, הוא תמיד חיובי ושווה ל- 3 בלבד, אך מכיוון ש- X הוא מספר ממשי, הרי שיש לנו 2 פתרונות ועלינו להוסיף לשמאלו של סימן השורש "+/-" , כדי שנוכל לדעת שגם פתרון שלילי תקף. התשובה הסופית היא אפוא: 3 או מינוס 3 .

 

[david1710]

עדיין לא מסכים

שורש של מספר הוא תוצאה אחת בלבד ולא מורכב מ-2 תוצאות אלא תוצאה אחת. כאשר אתה עושה שורש ל-2 אגפים של משוואה אז יוצא לך ערך מוחלט של X = שורש 9 =3 בלבד ואז X מקבל 2 תוצאות.

 

[1קישקשתה]

נכון

שורש ריבועי של מספר נותן אך ורק תוצאה אחת ואי-שלילית. זה לא סותר את העובדה שאם יש שני שורשים אז פשוט צריך גם להראות זאת. איך מראים זאת? מוסיפים "+/-" לשמאלו של סימן השורש. הערך המוחלט בא להראות לך שכל פעם שמופיע הסימון שורש מול העיניים, הוא תמיד ייצג את ערך אי-שלילי, לא יותר מזה. זכותך להוסיף לשמאלו מה שבא לך, אם זה אכן מתאים לבעיה או לשאלה.

 

[1קישקשתה]

אולי מכאן נובע הבלבול

יש "שורש" שהוא פתרון (שורשים של משוואה ממעלה כלשהי) ויש "שורש" שהוא הסימן המוכר לנו. נקרא לו לצורך ההבדלה: "שור"

כאשר שור מופיע הוא ייצג ביטוי אי-שלילי (שור של 9 הוא תמיד 3). במשוואה x^2 = 9 , כאשר x ממשי, יש ל- x שני שורשים: 1. שור של 9 2. מינוס שור של 9

 

[david1710]

סבבה, אני אסכם תגיד אם מסכים:

1. שורש ריבועי של A הוא B אם ורק אם B>=0 וB בריבוע זה A. 2. שורש זאת לא פעולה הפוכה לריבוע. 3. מסקנה מ-2: פתרון משוואה ריבועית מסוג X^2=A>0 לא שקולה למשוואה X=שורש A

 

[1קישקשתה]

לא מסכים

1. שורש ריבועי של A הוא B אם ורק אם B*B = A . 2. שורש הוא כן פעולה הפוכה לריבוע (ראה הגדרה 1). 3. המשוואה X^2 = A אינה שקולה למשוואה X = שורש A מסיבה אחת פשוטה: כאשר הסימון של השורש מופיע לך מול העיניים הוא תמיד ייצג ביטוי אי-שלילי (זוהי המוסכמה), ולכן, במשוואה השנייה X יכול להיות אי-שלילי בלבד. לעומת זאת, במשוואה הראושנה לא מופיע שום סימן של שורש, ולכן, אם X מוגדר גם למספרים שליליים, ומכיוון שלמשוואה ריבועית יש שני פתרונות, הרי ששם נקבל גם פתרון חיובי וגם פתרון שלילי. אין פה מה לסבך בכלל, ולפי איך שהצגת את טענת המרכזת למתמטיקה, היא פשוט טעתה.

 

[DallyLama]

שאלה

אפשר להסביר זאת, לפי ידעתי ע"י משפט ערך הבינייםג€.ג€ אם t הוא מס` חיובי אז למשוואה יש x^n=t יש פתרון אחד חיובי.

 

[1קישקשתה]

רק אם n אי-זוגי

כאשר n זוגי, כמו במקרה שלנו, יש למשוואה גם פתרון שלילי. ולא הבנתי איך משפט ערך הביניים קשור לכאן.

 

[DallyLama]

למען האמת לא גם n זוגי

ומוכיחים זאת ע"י הסתכלות בקטע סגור שקצותיו 0 ו b כאשר b=t+1 אני יכול להביא לך את ההוכחה אם אתה רוצה