טלמון סילבר
New member
יש לי עוד "חידה" בנושא הזה:
אני "מוכיח" ש-0 גדול או שווה 1, וצריך למצוא איפה שיקרתי. את "החידה" הזאת המצאתי בעצמי. הבעייה היא שלמדתי בזמנו את החומר הזה, ומתימטיקה בכלל, לא בעברית, אז אם חלק מה"סיפור" שלי יכיל מונחים לא מוצלחים, תנסו בבקשה לנחש למה הכוונה. בסדר? ובכן, קיימת הוכחה פשוטה ביותר לכך, שהמשקל(?) של קבוצת המספרים הרציונליים למשל בקטע (0,1), כמו של כל קבוצה בעוצמת N, שווה 0. ההוכחה היא, שעוטפים (מקיפים?) את המספר הרציונלי ה-k בְקטע פתוח באורך 1 חלקֵי אפסילון בחזקת k, ואז כל המספרים הרציונליים מכוסים בקטעים פתוחים שסכום המשקלות שלהם קטו או שווה אפסילון, כלומר קטן "כמה שצריך". זו ההוכחה הפשוטה מספר הלימוד. עכשיו ההמשך שלי. כידוע, חיבור (OR) של קבוצות פתוחות בציר המספרי יוצר קבוצה פתוחה. כנ"ל, כל הקטעים שדיברנו עליהם בהוכחה, יוצרים ביחד קבוצה פתוחה. המשקל שלה קטן מאפסילון. עכשיו, יש משפט כזה, אני זוכר שההוכחה שלו היתה די מסובכת, אבל בזה אני לא משקר - המשפט הזה נכון: כל קבוצה פתוחה בציר המספרי ניתן להציג כסכום של קטעים פתוחים נפרדים (שאין להם נקודות משותפות). בואו נראֶה עכשיו, מה קורה עם הקטעים האלה שהתקבלו (שאין להם נקודות משותפות, ושה-OR שלהם זהה ל-OR של הקטעים הפתוחים מההתחלה עם המשקל הכולל הקטן מאפסילון). אני טוען, שהם מכסים את כל הקטע (0,1) חוץ מנקודות בדידות המהוות גבול בין כל שני קטעים סמוכים. הוכחה: ניקח שני קטעים סמוכים. הם יכולים להיות או צמודים, או לא צמודים. אם הם לא צמודים, אז יש ביניהם קטע סגור שלֵם, שמלכתחילה לא כוּסָה, למרות שהוא בוודאי חייב להכיל גם מספרים רציונליים! אם כך, יוצא שהקבוצה הפתוחה שלנו מכילה את כל הקטע (0,1) חוץ מהגבולות המשותפים של הקטעים הפתוחים החדשים. משקלן הכולל של נקודות בדידות אלו שווה כמובן 0, אז המשקל של הקבוצה הפתוחה שלנו גדול או שווה 1, אבל... קטו או שווה אפסילון! איפה שיקרתי?
אני "מוכיח" ש-0 גדול או שווה 1, וצריך למצוא איפה שיקרתי. את "החידה" הזאת המצאתי בעצמי. הבעייה היא שלמדתי בזמנו את החומר הזה, ומתימטיקה בכלל, לא בעברית, אז אם חלק מה"סיפור" שלי יכיל מונחים לא מוצלחים, תנסו בבקשה לנחש למה הכוונה. בסדר? ובכן, קיימת הוכחה פשוטה ביותר לכך, שהמשקל(?) של קבוצת המספרים הרציונליים למשל בקטע (0,1), כמו של כל קבוצה בעוצמת N, שווה 0. ההוכחה היא, שעוטפים (מקיפים?) את המספר הרציונלי ה-k בְקטע פתוח באורך 1 חלקֵי אפסילון בחזקת k, ואז כל המספרים הרציונליים מכוסים בקטעים פתוחים שסכום המשקלות שלהם קטו או שווה אפסילון, כלומר קטן "כמה שצריך". זו ההוכחה הפשוטה מספר הלימוד. עכשיו ההמשך שלי. כידוע, חיבור (OR) של קבוצות פתוחות בציר המספרי יוצר קבוצה פתוחה. כנ"ל, כל הקטעים שדיברנו עליהם בהוכחה, יוצרים ביחד קבוצה פתוחה. המשקל שלה קטן מאפסילון. עכשיו, יש משפט כזה, אני זוכר שההוכחה שלו היתה די מסובכת, אבל בזה אני לא משקר - המשפט הזה נכון: כל קבוצה פתוחה בציר המספרי ניתן להציג כסכום של קטעים פתוחים נפרדים (שאין להם נקודות משותפות). בואו נראֶה עכשיו, מה קורה עם הקטעים האלה שהתקבלו (שאין להם נקודות משותפות, ושה-OR שלהם זהה ל-OR של הקטעים הפתוחים מההתחלה עם המשקל הכולל הקטן מאפסילון). אני טוען, שהם מכסים את כל הקטע (0,1) חוץ מנקודות בדידות המהוות גבול בין כל שני קטעים סמוכים. הוכחה: ניקח שני קטעים סמוכים. הם יכולים להיות או צמודים, או לא צמודים. אם הם לא צמודים, אז יש ביניהם קטע סגור שלֵם, שמלכתחילה לא כוּסָה, למרות שהוא בוודאי חייב להכיל גם מספרים רציונליים! אם כך, יוצא שהקבוצה הפתוחה שלנו מכילה את כל הקטע (0,1) חוץ מהגבולות המשותפים של הקטעים הפתוחים החדשים. משקלן הכולל של נקודות בדידות אלו שווה כמובן 0, אז המשקל של הקבוצה הפתוחה שלנו גדול או שווה 1, אבל... קטו או שווה אפסילון! איפה שיקרתי?