שאלה מסובכת קצת

[vvv1234]

שאלה מסובכת קצת

רוצים ליצור איזומטריה שמסובבת את המישור בזוית 45 מעלות נגד כיוון השעון סביב הנקודה ששעור הX שלה הוא 2 ושעור הY שלה הוא מינוס 2 ואחר"כ משקפת סביב ציר הX 1. מה האיזומטריה המתאימה? 2.לאן תעבור הנקודה אפס אפס? 3. לאן יעבור ציר הY? תודה מראש

 

[Prince of Wales]

עבור וקטור שרירותי במישור

1. טרנסלציה של הראשית ל- (2-,2). 2. קח מכפלה עם מטריצת סיבוב 2X2 |cos pi/4 -sin pi/4| |sin pi/4 cospi/4| 3. הכפל במטריצה 2X2 |0 1| |1- 0| לקבלת הרפלקציה בציר X. 3 הטרנספורמציות האלו הן בעלות דטרמיננטה=1 ולכן משמרות נורמה אויקלידית.

 

[vvv1234]

אתה יכול להסביר לי שוב?

אני פשוט לא הבנתי!!

 

[Prince of Wales]

או-קיי באיזו רמת לימודים אתה ?

תיכון, אוניברסיטה ? ומה למדתם על טרנספורמציות לינאריות ?

 

[inbar86]

פתרון

מי אתה? אתה מבר אילן נכון? עם אלי בגנו? טוב, השאלה ממש פשוטה אתה יוצא בהתחלה איזומטריית סיבוב שהיא: (f=(xcos45-ysin45,xsin45+ycos45 אחר כך בשביל איזומטריית השיקוף אתה מוצא את וקטור הכיוון של ציר האיקס שהוא למשל (2,0) ואז האיזומטריה היא: (s=(x,-y ואז אתה פשוט מציב את האיזומטריה הראשונה בשניה ויוצא לך בסוף: (xcos45-ysin45,-xsin45-ycos45)אחרכך אתה מציב את הנקודה (0,0) ורושם מה שיוצא לך.

 

[vvv1234]

כן כן... הבנתי את זה... פתרתי את זה

כבר... סתם הסתבכתי...

 

[inbar86]

מי אתה?

אוקי. אבל מה השם שלך?

 

[טלמון סילבר]

אהלן!

1. בשאלה הנ"ל נדמה לי שאתה משתמש בחומר, שהשואלים עוד לא עברו. 2. על מה, בכל זאת, ניסיתָ לדבר אתי אז, באתיאיזם ודת, בעניין העוצמות?

 

[Prince of Wales]

אהלן, על מה דיברנו שם תזכיר לי ?

 

[טלמון סילבר]

היה שם (ועדיין ישנו)

אחד MASORTI שדיבר על העוצמה האינסופית של האל, שזה האינסוף בעל העוצמה הגדולה ביותר "שתוכל להעלות בדעתך". ומכיוון שהוא ניסה לעשות רושם שהוא מדבר במונחים של מתימטיקה, אז אמרתי לו שאין דבר כזה "העוצמה הגדולה ביותר שהנסיך מוולס יכול להעלות בדעתו", או משהו כזה, ושאם נתונה קבוצה כלשהי A בעלת עוצמה מסויימת, אז קבוצת כל תת-הקבוצות של A היא בעלת עוצמה יותר גדולה. אחרי זה התחלתָ לומר שם משהו בקשר לעוצמת 2 בחזקת א1, שלא הצלחתי להבין, ואח"כ נעלמתָ.

 

[Prince of Wales]

אין לנו ויכוח בעניין ה-POWER SET

ואין לנו ויכוח שקבוצת התת-קבוצות של הישר הממשי היא בעלת עוצמה גבוהה יותר מעוצמת הישר הממשי. השאלה האם יש עוצמה יותר גבוהה מ- א1^2 ?

 

[איגור קרסיק]

???

כמובן שיש, שכן לכל עצמה קיימת עצמה גדולה ממנה ממש. אגב, מה העצמה של קבוצת כל העצמות? [לי זה נראה שהתשובה היא א, אבל אין לי מושג איך להוכיח זאת...].

 

[Prince of Wales]

טוב היות ותורת הקבוצות

היא לא המומחיות שלי אסתפק בתשובתך.

 

[איגור קרסיק]

התכוונתי לאלף אפס...

 

[pallidfool]

הנה משהו ממקור מוסמך

אני מצטט את איתי הר-אבן. שאלתי אותו אם יש לו רעיון לקבוצה בעלת עוצמה גדולה מעוצמת הממשיים שקל לדמיין (כשלמדתי לפני כמה סמסטרים במתימטיקה דיסקרטית באו"פ). הוא עונה גם על השאלה שלך. דניאל שלום, אני חושש שאין דוגמאות לגמרי יום-יומיות לקבוצות כאלו (אם כי מתימטיקאים יאמרו שקבוצת התת-קבוצות של R היא חפץ שגרתי למדי). המחשבה הראשונה להמחשה של קבוצה כזו עשויה להיות קבוצת כל הפונקציות של R ל- R, או של קטע מסוים לקטע מסוים. עוצמת קבוצה זו היא כעוצמת P(R). לכאורה אנו יכולים לראות בעינינו את הגרפים של הפונקציות וכך לחשוב על קבוצת כל הגרפים הללו, נאמר בקטע נתון, וזו קבוצה שאנו כמעט "רואים" אותה. אך זה אינו באמת כך: מה שאנו מדמיינים כך הוא בדר"כ פונקציות רציפות, או לכל היותר בעלות קצת "קפיצות". אך כמות הפונקציות הרציפות היא רק כעוצמת R. התרומה האמיתית לעוצמת קבוצת הפונקציות באה מפונקציות שהן מאד לא רציפות, ואותן אנו לא ממש "רואים בעין". למרות זאת, מתימטיקאים העוסקים בתורת הקבוצות מדברים על עוצמות גדולות מאד, הרבה מעבר לעוצמות האינסופיות הראשונות. התיאור שלהן לרוב אינו דרך קבוצות של מספרים, אלא בעזרת בניות מופשטות יותר, הנעזרות בסוג מסוים של סדר, הקרוי סדר-טוב. אבל חייבים לומר, שתחום זה נפרד מרוב התחומים המתימטיים האחרים, כלומר שאלתך בהחלט במקום. אגב - כידוע לכל עוצמה יש עוצמה גדולה יותר. מכאן ברור שיש לפחות אלף-0 עוצמות אינסופיות שונות. האם זה הכל? מסתבר שלא - כמות העוצמות האינסופיות השונות גדולה מאלף-0, גדולה מ- C , ולמעשה כמות העוצמות האינסופיות גדולה מכל עוצמה אינסופית נתונה שניקח! אם תרצו ללמוד עוד על נושא זה אתם מוזמנים להירשם לקורס "תורת הקבוצות" 20281. איתי. ואם כבר העלנו את זה - כיצד להוכיח כי עוצמת הפונקציות הרציפות היא כעוצמת הממשיים?

 

[טלמון סילבר]

הרשו לי להוסיף הערה קטנה,

אם כי עברתי רק קורס בסיסי בנושא, וגם זה היה ממש מזמן. אזכיר את הבעייה הגדולה והמפורסמת - "בעיית קונטינום": האם קיימת עוצמה, גדולה מעוצמת סדרת המספרים הטבעיים, אך קטנה מעוצמת קונטינום (R)? בעייה זו נפתרה רק במחצית השנייה של המאה ה-20, סופית ע"י מתימטיקאי ישראלי בשם כהן. התשובה לשאלה המנוסחת "בפשטות" - האם קיימת? כן או לא? - היא מאוד "מעצבנת" ומאכזבת אותנו, בני תמותה רגילים, שקשה לנו "לחוש" את הנושא. התשובה היא, שתחליטו איך שאתם רוצים, שזוהי אקסיומה (איך שתחליטו), שאיך שתחליטו זה לא יסתור את שאר האקסיומות. לאור זאת אני שואל, האם "קבוצת כל העָצְמות" היא בכלל מוגדרת? אולי אתה לא זוכר, נסיך, אבל הבאתי לך את הדוגמה של קבוצת כל הפונקציות המוגדרות על קונטינום כלשהו, שהעוצמה שלה גדולה מעוצמת קונטינום, וגם את ההערה, שקבוצת הפונקציות הרציפות היא בעלת עוצמת קונטינום בלבד.

 

[aaa123]

פשוט הפונקציות הרציפות נקבעות על

סמך ערכיהן במספרים הרציונלים כך שעוצמת קבוצת הפונקציות מהרציונלים לממשים לפחות אותו דבר כמו עוצמת קבוצת הפונקציות הרציפות 2 בחזקת א0 היא עצמת קבוצת המספרים הממשים. א0 היא עצמת קבוצת הרציונלים(אין לי בעיה לחזור על ההוכחה של התאמה חד חד ערכית אבל אני מניח שזה ידוע) מכאן שעצמת הפונקציות מהמספרים הרציונלים לממשים היא 2 בחזקת א0 כל זה בחזקת א0. זה שוה ל2 בחזקת א0 כפול א0 ובגלל שא0 כפול א0 הוא א0 זה שווה ל2 בחזקת א0 וזה שווה לעוצמת המספרים הממשים. למדתי תורת הקבוצות באוניברסיטה מזמן אבל פתרתי את זה תוך מספר דקות. אגב אם אתם(ן) לא מאמינים(ות) לחוק של חזקה לעוצמות אינסופיות אני יכול גם לעשות התאמה חד חד ערכית בין קבוצת הסדרות האינסופיות של קבוצות חלקיות לטבעים לקבוצת הקבוצות החלקיות לקבוצה בעוצמה זהה לטבעים בלי מאמץ.

 

[טלמון סילבר]

ניקח שאלה פשוטה יותר: איך אתה

עושה התאמה חד ערכית בין כל המספרים הממשיים בקטע [0,1] עם הקצוות, ובין כל המספרים הממשיים בקטע (0,1) בלי הקצוות?

 

[aaa123]

פשוט

את המספרים הלא רציונלים אני מתאים לעצמם. את המספרים הרציונלים אין לי בעיה לסדר ואת המספר במקום הn אני מתאים למספר במקום הn. סידור של המספרים הרציונלים בקטע הסגור יכול להתחיל עם שני האיברים הראשונים שהם 0 ו1 סידור של המספרים הרציונלים בקטע הפתוח יכול להעשות לפי הסכום של המונה והמכנה בשבר המצומצם כאשר שברים עם אותו סכום אפשר לסדר לפי הגודל מהקטן לגדול.

 

[טלמון סילבר]

כמובן שזו הדרך. אפשר גם במקום

המספרים הרציונליים, "להוציא" סתם סדרה אינסופית כלשהי, למשל כל החזקות השלמות השליליות של 2.