שאלה להבהרה...

[זה שאינו יודע]

שאלה להבהרה...

אני שואל ברצינות - מה זו נקודה?

 

[טלמון סילבר]

שאלה לא פשוטה

בדרך כלל אין ל"דברים כאלה" הגדרה ישירה, אלא נתונה מערכת אקסיומות (כלומר הגדרות) בה מעורבים מספר סוגי אובייקטים\קשרים, שאפשר לכנות אותם, למשל: 'נקודה', 'ישר', 'שייכת ל...' ('נמצאת על...'), 'נמצאת בין...' וכו'. מותר בהחלט להשתמש במשהו שונה לחלוטין ממה שאנו רגילים לכנות 'נקודה' או 'ישר', אם במערכת החדש מתקיימת אותה מערכת אקסיומות, ולכנות את הדבר האחר "נקודה", "נמצאת על..." וכדומה. דוגמה רגילה לכך, היא החלפת המושג "נקודה על ציר" במושג "מספר ממשי".

 

[Calius]

טלמון צודק

"נקודה" היא מה שנקרא "המחשה של מודל". במתמטיקה מגדירים מודלים ע"י כך שמגדירים עצמים, מגדירים עליהם אקסיומות, ומסיקים מכך תכונות של העצמים והיחסים בינהם. למשל -- דרך שתי נקודות עובר קו ישר אחד. מגדירים נקודה, מגדירים קו, וכו'. אח"כ ניתן למצוא המחשה למודל כזה. למשל: ניתן להחליט כי "נקודה" תיוצג ע"י מספר. או זוג מספרים סדור. או שלשה. ואז מקבלים את התכונות הרצויות. אין מניעה להגדיר נקודה כקבוצה, כמיקום גיאורפי על כד"א, וכו'. כל זמן שזה משמר את האקסיומות -- זה טוב מספיק.

 

[אופסשםמשתמש]

נקודה זה

זה זה... זה.. נקודה מה לא ברור פה ? מעניין אותי למה שאלת, מה לא ברור במושג נקודה ? מצאת איזה בעיה איתה ?

 

[זה שאינו יודע]

כן!

העובדה שלא הצלחת להגדיר את הנקודה מראה לך את הבעייה! מצטער טלמון. אני יודע שניסית אך אני בטוח שיש הגדרה יותר רצינית, אין צורך לפחד להשתמש במתמטיקה גבוהה אם הדבר נחוץ. אבקש לענות באותה נימה שהשאלה נשאלה - רצינית. תודה!

 

[1ca1]

וקטור ממימד אפס

אם זה יעזור לך... אין שום טעם בהגדרת נקודה... אלא אם כן כבר מדובר על אוסף של נקודות (קבוצת נקודות), כי נניח יש לך רק נקודה אחת בכל המרחב, אין לך שום עניין בדבר כזה..., אתה לא יכול לבנות עליו שום דבר (מאליזה/טופולוגיה וכו')

 

[זה שאינו יודע]

האמת

בלי לפגוע, "אין שום טעם בהגדרת נקודה" נראה לי מתחמק לגמרי מהבעיה. זה שזה לא יעזור לתורות מסוימות במתמטיקה (כמו מאליזה/טופולוגיה וכו') אינה רלוונטית כלל! תורות אלו מסתמכות על נקודות והן לא היחידות (גיאומטריה, גיאומטריה אנליטית וכד'). אך כיצד ניתן לעשות דבר כזה מבלי שנדע, נקודה מה היא? אני יודע שהקדמת ואמרת "אם זה יעזור לך..." ולכן גם אני הקדמתי ואמרתי "בלי לפגוע" תודה בכל מקרה על הניסיון.

 

[yuvalmadar]

לנקודה אין כל משמעות כנקודה

יכולת ליצור גיאומטריה של קופים ובננות באותה מידה, המשמעות נוצרת על ידי האקסיומות החלות על הנקודות.

 

[ה עוד אחד]

באופן כללי.

לא ניכנס למתמטיקה גבוהה... גם כי אין לי כוח לחשוב על זה וגם כי אני לא חושב שהיא תעזור כאן...

כמו שיש לך קוביה - עם 3 מימדים. ויש לך קו - עם 2 מימדים. אז יש לך נקודה - מימד אחד. לא משהו ממשי.

 

[1ca1]

קו - מימד אחד

יש לו אורך (או רוחב, אבל לא ביחד) מצולע/מישור וכו' 2 מימדים (אורך + רוחב) קובייה/מנסרה וכו' 3 מימדים (אורך+רוחב+עומק)

 

[ה עוד אחד]

../images/Emo163.gif נכון.

 

[זה שאינו יודע]

מצאתי לפני כמה דקות הגדרה מילונית-

-אנציקלופדית האומרת: נקודה (בגיאומטריה) היא מהות חסרת גודל התופסת מקום במרחב עכשיו אני רוצה להבין: אם מהות זו היא חסרת גודל, כיצד היא תופסת מקום במרחב? שמתי לב שהאנשים שניסו לענות לי (ואני מודה להם ומעריך אותם על זה) גם אינם יודעים בוודאות (כפי שבוודאי ניתן לצפות. כמו שטלמון אמר זו שאלה לא פשוטה. לא פשוטה בכלל). לכן, איני שולל את ההגדרות שלכם אך (לדעתי הצנועה) הם אינן מספיקות, (מימד אחד, כלום,) כל זה די מעורפל לטעמי. בהזדמנות זאת אני רוצה להציע את הנושא לדיון רחב ומעמיק ולא רק, כמו שאולי נתפס בשוגג מלכתחילה, כשאלה 'תמימה'. בהצלחה! והמשך דיון פורה ומעניין לכולנו!

 

[yuvalmadar]

לפי מיטב ידיעתי,

אין הגדרה פחות מעורפלת, בכלל העצמים בעולם המתמטי הם מופשטים וחסרי משמעות לכשעצמם. החלק המוגדר הוא היחסים ביניהם לבין עצמם ועם עצמים אחרים וכדו'. כל מערכת מתמטית מכילה מושגי יסוד ומס' אקסיומות הנותנות להם תוכן. אגב, יש לציין שהמילון לא תמיד יתאים לביאור מושגים מתמטיים, כיוון שמשמעותם שונה לעתים ממשמעותם בחיי היומיום.

 

[זה שאינו יודע]

לכן...

כתוב במילון (בגיאומטריה) הייתי שמח להסתכל במילון מתמטי אך לצערי אין אחד כזה בהישג ידי. אשמח לשמוע הגדרה ממילון כזה מכל מי שידו משגת. שוב, המושגים מעורפלים מדי. OK יש נקודה יש מערכת אקסיומות המגדירות אותה. מהי מערכת זו? מהם האקסיומות שבה? אם נדע את זאת הלא, לפי דבריכם (סליחה על ההכללה), נדע מהי נקודה שכן מערכת האקסיומות היא זאת שבעצם 'מגדירה אותה'. אם כך...

 

[khaydarin]

מממ...

זה לא בעצם כינוי לאיבר בקבוצה כשהקבוצה היא מרחב?

 

[G a u s s]

אם - כן

מהי, בעצם, אותה מערכת אקסיומות המגדירה את המושג 'נקודה' (זוהי השאלה שנשארה פתוחה בדיון הזה).

 

[khaydarin]

תרשה לי להיות קצת פוליטיקאי

זו לא השאלה. מה שבאמת צריך להטריד אותך זה איך זה שכולם מתייחסים למושג נקודה בכזאת טריויאליות, כאילו זה הדבר הכי טבעי שיש ולא לקוח מהעולם התיאורטי של המתמטיקה. ועכשיו קצת יותר ברצינות, אני לא מתמטיקאי, סתם חובב מתמטיקה שנחנק עם תרגילים מדי פעם. אם שאר חברי הפורום לא ידעו לשלוף לך את ההגדרה המדוייקת - אני בטח לא אוכל.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo92.gif - מערכת האקסיומות של

הילברט - ניסיון רציני לענות על השאלה. הערה. גם סביב מערכת האקסיומות הזאת יש הרבה מאוד דיונים. עדיין הסיפור אינו פשוט...

 

[זה שאינו יודע]

סליחה אך, איני מבין כיצד זהו ניסיון

לענות על השאלה. מערכת אקסיומות זאת אינה רלוונטית לשאלה, אני חושש. המערכת הזאת מדברת על נקודות ולא על ההגדרה שלהן, היא משתמשת בנקודה (למשל: בין שתי נקודות עובר רק קו ישר אחד, וכד'). אנו מחפשים את מערכת האקסיומות המגדירות את הנקודה (או הגדרה אחרת של נקודה שעוד לא מצאנו...) ולא את מערכת האקסיומות המשתמשות בנקודה (ו/או מגדירות דברים המורכבים מנקודות - כמו קו). אך, אכן נעשה כאן ניסיון רציני לענות על הבעיה ועל זה אנו יכולים רק להודות לטלמון. מעניין, אך לפני כמה דקות מצאתי הגדרה בספר של האוניברסיטה המשודרת שמדבר על תולדות המתמטיקה. לדבריהם תמצית הגדרתו של אאוקלידס (שהתחיל את ספרו - 'האלמנטים' - בהגדרות אלו של נקוד, קו ישר, קטע וכד') היא: גוף שאין לו חלק. כמובן, הגדרה זו אינה שלמה ואינה מספקת והיא לא, לפי מיטב הבנתי, כל הגדרתו של אאוקלידס. נאלץ להמשיך לחפש, אני חושש...

 

[טלמון סילבר]

נסה להבין מה שכתבנו

לך עד עכשיו. מערכת האקסיומות אינה "משתמשת" באובייקטים, אלא... מגדירה אותם. נקודה בהחלט יכולה להיות גם תלמיד מכיתתך, וישר - כיתה בביה"ס שלך, אם... מערכת האקסיומות תתאים! מערכת האקסיומות של הילברט היא פשוט יותר משוכללת מהמערכת של אוקלידס. כל אחת מהאקסיומות שלו (סה"כ 21 אם אינני טועה) אפשר להעיף ולמצוא מודל העונה על כל שאר האקסיומות ואינו עונה על האקסיומה האחת!