סרט חשוב

[הפרפר הירוק]

חשבון טנזורי מסריח?

 

[מילטון גון]

טנזור הוא יצור מתמטי

שעדיין לא ירדתי לסוף דעתו. באופן כללי - אם נחשוב על סקלר (מספר רגיל) כמטריצה בגודל 1 על 1, ועל וקטור בגודל n כמטריצה בגודל 1 על n, נשים לב שלמעשה יש משהו משותף לסקלר, וקטור ומטריצה - שלשתם מטריצות בעלות מספר מימדים שונה (0 לסקלר, 1 לוקטור, 2 למטריצה), ומכאן עולה הרעיון לדבר גם על טנזורים תלת מימדיים, שברמה הויזואלית ניתן לדמיין אותם כמטריצה שיש לה גם עומק (מערך תלת מימדי - למי שמכיר את מדעי המחשב). אם מושג המטריצה או הוקטור לא מוכר לך, אני מציע שתציץ בערכים המתאימים בויקיפדיה. הם ממש ברורים גם לחסרי כל רקע מתמטי, וארוכים מכדי שאנסה לתמצת אותם. לטנזורים יש תכונות רבות שהן בסך הכל הכללה של דברים שאנחנו יודעים לעשות על מספרים, וקטורים ומטריצות, בראש ובראשונה - טרנספורמציות ליניאריות, שזה בעצם שם גדול לפונקציה ממטריצה למטריצה, שבה כל רכיב במטריצה החדשה הוא סכום של הכפלות של רכיבי המטריצה הישנה במספרים שונים אבל לא זה בזה או בעצמם (גם על זה ניתן לקרוא בויקי). איינשטיין התעסק בעיקר במה שנשמר כמות שהוא במעבר בין מערכות ייחוס הנעות במהירות מסויימת זו ביחס לזו, והחליט להתייחס לעולם שלנו כאילו יש לו 4 מימדים - ה-3 של המרחב ו-1 של הזמן, ובו מעבר בין מערכות ייחוס הוא טרנספורמציה ליניארית מסוג מסויים המשמר את הגדלים שחייבים להישמר. הדרך הנוחה ביותר לארוז את כל המשוואות הללו הייתה בעזרת חשבון טנזורים, בו כל טנזור מייצג חבילה של גדלים בטבע הקשורים זה לזה (לדוגמה רכיבים של הפוטנציאל החשמלי והמגנטי), אז הטרנספורמציה המתאימה למעבר בין מערכות ייחוס תייצג גם את המעבר בין חבילות הגדלים הללו. זה כמובן רעיון גאוני למי שמסוגל להתמודד עם חשבון טנזורי, אבל כיוון שסטודנט ממוצע פוגש לראשונה את המהומה הזו באמצע קורס שבכלל אמור ללמד אותו יחסות פרטית ולא מתמטיקה, זו אחת החוויות הפחות נעימות שניתן לחשוב עליה. אני מודע לכך שאם המושגים שאני התייחסתי אליהם כבסיסיים (סקלר, וקטור, מטריצה, טרנספורמציה) לא מוכרים לך, כנראה שההודעה הזו רק בלבלה אותך, אבל נראה לי שזה המקסימום שאני יכול לעשות בכמה דקות באמצע הלילה.

 

[מילטון גון]

בקריאה נוספת

ה"הסבר" שלי לא ממש מציל את המצב, אבל בהתחשב בכך שמדובר באחד הנושאים הפחות ברורים לי אין בכך כל פלא. זה מסוג הדברים שניתן להסביר עם דף ועט (או יותר טוב - לוח וגיר) בשיחה של שעה, ולא בהודעה של 20 שורות בפורום בלי ביטוי מתמטי אחד לרפואה. אני עדיין חולם על העברת שיעורים לאנשים חסרי רקע מספיק במתמטיקה, שיקדמו אותם במהירות לרמה שיכירו חלק מהרעיונות הגדולים שלה, ויהיו מסוגלים להבין את המושגים הבסיסיים הקשורים אליהם. אולי אפילו יש סיכוי שאצליח להוציא את זה לפועל השנה או שנה הבאה.

 

[יפה נפש10]

רק אל תגיד לי שאפשר לכפול טנזורים זה בזה

עם עט ונייר. אבל תודה על הדברים באמת לא ידעתי שבתורת היחסות יש מתתמטיקה כ"כ מסובכת (או שרק לי נדמה)

 

[מילטון גון]

בטח אפשר

ועם לוח וגיר בכלל אפשר לעשות הכל...

 

[חושב בסתר]

ולתשובותיך שלך:

1. אני חושב שבגדול אנחנו מסכימים, ברור שאם תשווה את הפתיחות באקדמיה לפתיחות שקיימת בישיבות למשל, אז האקדמיה תיראה כמקום ליברלי על גבול האנרכיסטי בחופש הדעה שיש שם. ולכן בוודאי שכל התלונה שלי היא שאין מספיק פתיחות. לגבי עשיית בעיות למי שחושב אחרת, אם מניעת קידום נחשבת בעינך לבעיה, הרי שלפי דברי הפרופסור (ולא רק לפי דבריו, אלא גם לפי מקורות אחרים), בהחלט עושים בעיות. אני רוצה להדגיש, אני לא חושב שמדובר פה בפגם במערכת האקדמית, אלא בבעיה פסיכולוגית אמיתית. כייון שכאשר יש תאוריה מדעית שולטת יש לה בדרך כלל ראיות די חזקות, ובאמת ברוב הפעמים מי שמדבר נגדה מדבר שטויות. לכן יש נטיה אוטומטית לדחות דעות שעומדות בניגוד לתיאוריה, מבלי לתת להם יותר מידי צ'אנס. 2. הידע שלי בפיזיקה אינו גדול דיו כדי לבחון את טענתך בקשר לסתירה שהייתה, אולם על פי מה שידוע לי, הרבה מההיסטוריונים של המדע טוענים שאינשטיין הסתמך בעבודתיו הרבה מאד על תחושות בטן ועל האלגנטיות של התיאוריות, יותר מאשר על נתונים שהתקבלו מניסויים. זאת הסיבה שהוא אמר שאם הניסוי שאימת את תורת הכללית לא היה מצליח, אז זה היה סימן לכך שהניסוי לא נעשה בצורה נכונה (משהו כזה, אני לא זוכר את הסיפור במדויק). וזאת הסיבה שהוא עמד מול כל העולם בהתנגדותו למכניקת הקוונטים כיוון "שאלוהים לא משחק בקוביות". לגבי החשבון הטנזורי המסריח, איינשטיין כנראה הסכים איתך בתיעוב שהוא רחש לו (לפחות בהתחלה) כאשר אמר על מרחב מינקובסקי "שמעתי שמתמטיקאי אחד הצליח לעשות את תורת היחסות שלי כל כך מסובכת שאף אחד לא יבין אותה". מה שברור הוא שבהתחלה תורת היחסית הפרטית הייתה תיאוריה פשוטה יחסית שהבחלט הייתה מבוססת על ניסויים מחשבתיים, ולא הייתה לה פורמליזציה מתמטית רבה מידי.

 

[מילטון גון]

עדיין לא מצאתי מקור לטענתך

לפיה "יש הרבה מדענים שפוחדים לומר דברים שונים מהקונצנזוס מחשש שהדבר יפגע בקידומם", בעוד אני הבאתי דוגמה סותרת חזקה ביותר. לגבי החלק השני - טבעי שמי שנחשף לפיזיקה דרך ספרי מדע פופולרי יקבל את הרושם שהדגש בתיאוריות הוא על הרעיון, אבל בפועל הרכיב המתמטי בהן עצום, ואיינשטיין עצמו היה מודע לכך ולמד את כל הכלים המתמטיים בעצמו (ואף תפיח את חלקם לבדו). ברור שאיינשטיין הסתמך על תחושות בטן, אבל מה שבפועל הוא יצר היה מבנה מתמטי רציני. גם במקרה של תורת היחסות הכללית הפיתוח היה מתמטי והכרחי מתוך עקרונות תורת היחסות הפרטית, וזה מקור הנחרצות שלו.

 

[sec op]

נזכרתי בקישור שהבאת פעם-כתבה על דן שכטמן

כתבה בהארץ: http://www.haaretz.co.il/hasite/spages/1222004.html ציטוט מהכתבה: יום אחד פנה אליו המנהל האדמיניסטרטיבי של קבוצת המחקר שבה עבד. "הוא חייך חיוך של כבשה, הניח ספר לימוד על השולחן שלי ואמר, 'בוא תקרא מה כתוב פה'. אמרתי לו שאני מלמד את הסטודנטים שלי מה שכתוב בספר הזה, ואני יודע שיש כאן משהו שחורג מתחום ההבנה של הספר", מספר שכטמן. 24 שעות לאחר מכן חזר אליו המנהל, וביקש ממנו לעזוב את קבוצת המחקר, משום שהוא "ממיט חרפה" על הקבוצה. "הרגשתי דחוי", מספר שכטמן. "לדעתי ראש הקבוצה הביע דעת רבים. הוא לא היה מגיע למסקנה הזאת, אלא אם כן שמע מאחרים שיש מישהו בקבוצה שלו שעוסק בשטויות". אמנם בסופו של דבר הוא ניצח ודעתו התקבלה, אבל אם היה אדם קצת פחות חזק, יתכן והידע הזה היה מתעכב בעוד כמה שנים ואולי עשרות שנים...

 

[מילטון גון]

ומה המשפט הראשון בפסקה הבאה?

"שכטמן עבר לקבוצה אחרת", אז מתברר שגם אם יש בן אדם אטום במערכת - מהר מאד אפשר למצוא לו תחליף. בשורה התחתונה - כפי שצינתי כבר כשהבאתי את המאמר - בתוך שנתיים וחצי מהרגע בו התגלה הממצא המפתיע לראשונה כבר פורסם המאמר של שכטמן בירחון מדעי, ובתוך כ-5 שנים המסקנות שלו היו מקובלות על כמעט כולם. ברור שבעולם מושלם אף אחד לא היה עושה לו בעיות לרגע, אבל ביחס לכל מנגנון אחר ששמעתי עליו, זה הקצב הריאלי המהיר ביותר לקבלת רעיונות מהפכניים שיש טעם לצפות לו.

 

[חושב בסתר]

המקור לטענתי הוא

בדברי פרופ' לייב שהבאתי למעלה, (בתקווה שקראת אותם לכל אורכם). נכון שהחשיפה שלי לפיזיקה היא דרך ספרי מדע פופולרי, אבל אני קצת יודע על הדרך שבו מדע עובד ולרגע לא חשבתי שמה שמלמדים באוניברסיטה הם ניסויים מחשבתיים פופולריים. אולם מצד שני, אני חושב שמי שנחשף לפיזיקה על פי הניסוח הפורמלי הנוכחי שלה, יכול לקבל על רושם מאד מוטעה על ההיסטוריה שלה. ברור שהיום סטודנט לפיזיקה רואה את החשבון הטנזורי כחלק בלתי ניתן להפרדה מתורת היחסות הפרטית שבלעדיו היא כמעט חסרת משמעות, למרות שעובדתית כשאיינשטיין ניסח אותה הוא לא ידע דבר וחצי דבר על חשבון טנזורי. באותה מידה, ברור שמבחינה היסטורית מה שהביא את אינשטיין לתורת היחסות הכללית היה ניסוי מחשבתי ("המחשבה המאושרת בחיי"), ולא עיון מחודש במשוואות תורת היחסות הפרטית. למרות שכמובן יש קשר מתמטי (וקונספטואלי) הדוק ביניהן.

 

[מילטון גון]

חשבון טנזורי הוא בסך הכל דרך כתיבה שונה

של אותן המשוואות שאיינשטיין כבר הציג במאמר המקורי שלו משנת הפלאות (ראה לינק), ומרגע שמינקובסקי עזר לו להבין את הנושא - איינשטיין הפך לאחד המפתחים הגדולים שלו, ומהמעט שאני יודע - הבנתי שחלק גדול מהכלים המתמטיים הנדרשים להבנת תורת היחסות הכללית (גם כן חשבון טנזורי) פותחו על ידי איינשטיין (וזה חוץ מכל הסכמי הסכימה והסימונים שהמציא תוך כדי עבודה). אתה שוב מסתמך על בלוג של מישהו שמנסה לפשט את התיאוריה בכל מחיר כדי להסביר אותה להמונים, אבל אם תיכנס לדוגמה לערך בויקיפדיה ותעבור לנושא שכותרתו "משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות הכלליות", תגלה כמה ידע מתמטי צריך בשביל להבין את התורה בדרך שבה איינשטיין ניסח אותה. רק כדי להבהיר - אני האחרון שינסה להציג את המדע כתהליך מתמטי יבש שאין בינו לבין האינטואיציה אלא קשר רופף בלבד, להיפך - אני סובל סבל רב מדרך הלימוד שהאוניברסיטה כופה עלי שבה הדגש מושם כמעט באופן בלעדי על הפורמליזם, והרגע שבו פתרתי שאלה של 50 נקודות במבחן בפיזיקה בלי משוואה אחת רק על ידי ניסוי מחשבתי מוגדרת מבחינתי כרגע השיא של הקריירה האקדמית הקצרצרה שלי, אבל אני חש צורך לשמור אנשים מפני הקצנה לכיוון השני. לפני שנכנסתי לאוניברסיטה גם אני הייתי מתבטא כנראה כמוך, אבל היום אני יודע שהזוהר של המקצועות האלו כפי שהוא מוצג לרוב בספרי המדע הפופולרי מזוייף, ולמעשה כמעט אין תגלית פיזיקלית גדולה שמאחוריה אין הרבה מתמטיקה מכוערת קשה. החל בניוטון שהיה צריך להמציא בעצמו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי כדי לנסח את המשוואות הבסיסיות שלו, דרך מקסוול וקודמיו שאינם ניתנים להבנה בלי ידע מספיק בנגזרות של וקטורים, וכלה בשרדינגר שכל התגלית שלו מבוססת למעשה על משוואות דיפרנציאליות חלקיות. גם אני מאוכזב מאד מכך, אבל למרבה הצער זה המצב. בכל מקרה - אם תחזור לפסקה עליה הערתי לראשונה, אני מניח שכעת תוכל להבין כמה חוסר דיוק יש בה. את הרעיון של אינווריאנטיות מהירות האור קיבלנו מהמשוואות של מקסוול, איינשטיין היה מודע מאד לניסוי ופיתח את הטרנס' של לורנץ שהומצאה רק בעקבותיו, וכפי שהמאמר שלו יוכל לשכנע אותך - בלי היכרות טובה עם אלגברה ליניארית אי אפשר להבין את הרעיון שלו.

 

[חושב בסתר]

נראה לי שקצת נסחפנו

לא היה לי עניין להפוך את תורת היחסות לתורה נטולת מתמטיקה, וכמות האלגברה הלינארית שאיינשטיין השתמש בה במאמרו לא באמת רלוונטית לדיון, אפשר להציע טיעונים מטפשים מאד עם המון מתמטיקה. השאלה העיקרית היא מה התשתית הראייתית לטיעון, במקרה של איינשטיין קיים אצלי הרושם כתוצאה מספרים שקראתי העוסקים בהיסטוריה של תורת היחסות, שהשיקולים הניסויים תפשו פחות מקום בתודעתו כאשר הוא הציע את תורת היחסות, והשיקולים התיאורטים והאלגנטיות של התאוריה תפסו אצלו מקום נרחב יותר. בדיוק באיזו מידה, אינני יודע. ובמחשבה שניה, זה גם לא ממש משנה הרבה

.

 

[מילטון גון]

בשביל זה הבאתי את המאמר

אם אתה מבין את הבסיס של אלגברה ליניארית ומספיק סבלן, אתה תצליח להבין בקווים כלליים את המאמר הזה, שהוא המקום הראשון בו הציע איינשטיין את תורת היחסות הפרטית, ואז תוכל להתרשם מכלי ראשון עד כמה מקומה של המתמטיקה ברעיון חשוב. יותר מזה אני לא יכול לעשות.

 

[חושב בסתר]

אם כדי להכריע בויכוח

אני אצטרך לקרוא מאמר של 24 עמודים, אני אעדיף לדחות את ההכרעה (הלא ממש חשובה בעיני) לפעם אחרת. מן הסתם יגיע איזה יום שאני אקרא אותו, סתם בגלל שתורת היחסות מעניינת אותי. אבל לצערי עכשיו אין לי את זמן לזה.

 

[מילטון גון]

אתה יכול להסתפק

ברפרוף על החלקים בהם מופיעות משוואות אם בא לך.

 

[מילטון גון]

בעצם יש עוד משהו קטן שאני יכול לעשות

וזה להציג בפניך את הדרך שבה הוכיח איינשטיין את הטרנס' של לורנץ מתוך העקרונות שלו, בדרך מתמטית לא מסובכת במיוחד: עיין בקובץ המצורף מעמ' 57 ואילך. אני מודע לכך שזה נראה מפחיד לאללה, אבל כל אחד שיודע לכפול מטריצות (ואני יודע שיש כאן כמה וכמה כאלה), יכול להבין את מה שקורה שם (גילוי נאות - אני לא מאמין שהייתי מבין מילה מזה גם אחרי שלמדתי ליניארית רק כי זה מפחיד כל כך, אז גם אם זה נראה בלתי אפשרי תנו לזה צ'אנס).

 

[מילטון גון]

הקובץ גדול מדי לצערי

הוא יישלח במייל לכל הדורש.

 

[ינוקא1]

אני חייב לציין

שאני עוקב אחרי הדיון , ואם בזכות פתיחת הדיון זכינו לתגובותיך החכמות - אז הוא הצדיק את עצמו.

 

[סנדר סופרטרמפ]

חמש שנים למיכאל

איזה ביצוע את מעדיף (הקול בשתי המקרים הוא של אפרת גוש) http://www.youtube.com/watch?v=GZMeE40RjQE אפרת גוש http://www.youtube.com/watch?v=bYmZWobXCeE אגב מה דעתך על השיר אבאלה בוא ללונה פארק? http://www.youtube.com/watch?v=-sejAWl9G_g אולי כדאי בכלל שלך ללונה פארק?

 

[סנדר סופרטרמפ]

זה הקיץ האחרון שלי איתכם

שיר מדהים של שפיות זמנית, אתה בטח זוכר את הרעש שהשיר עשה במדינה כשהוא הופיע. אגב, השיר הופיע בתקופת מלחמת המפרץ הראשונה וכדי לא להוסיף לדיכאון הלאומי אסרו על שידורו: http://www.youtube.com/watch?v=0DYLaPpatdk&feature=related