מרכז טרפז

[ditzafar]

מרכז טרפז

שלום לכולם, האם למישהו יש מושג איך מחשבים מרכז של טרפז שאין לו תכונות מיוחדות תודה רבה

 

[טלמון סילבר]

הכוונה למרכז הכובד?

 

[ditzafar]

כן

 

[avinamal]

אפשר בשיטה הגיאומטרית הבאה:

1. הארך את שוקי הטרפז עד שיפגשו, כך שיווצר משולש. (אם במקרה הם לא נפגשו לעולם - יש לך מקבילית, ומרכזה הוא מפגש אלכסוניה). 2. הורד מקודקוד המשולש שנוצר תיכון ל"בסיס הגדול" של הטרפז, המכונה a. תיכון זה הוא גם תיכון ל"בסיס הקטן", המכונה b. (הוכחה פשוטה בעזרת משפט תלס). 3. מאחד מקודקודי "המשולש הגדול" שהם גם קודקודי הטרפז (כלאמר - אחד מהקצוות של "הבסיס הגדול"), הורד תיכון לצלע נגדית. 4. תיכון זה פוגש את התיכון הקודם במרכז הכובד של המשולש הגדול. סמן נקודה זו ב O. 5. מאחד מקודקודי "המשולש הקטן" שנוצר מהחסרת הטרפז מ"המשולש הגדול" (כלאמר - אחד מהקצוות של "הבסיס הקטן"), הורד תיכון לצלע נגדית של ה"משולש הקטן". 6. תיכון זה פוגש את התיכון הראשון שהורדנו במרכז הכובד של המשולש הקטן, נסמנו A. 7. אם כך, מרכז הכובד של הטרפז, נסמנו B, נמצא בהכרח על הישר AO, והיחס בין מרחקו מנקודה O ליחס למרחק של נקודה A מנקודה O צריך להיות זהה ליחס השטחים בין הטרפז למשולש הקטן. 8. או במתמטית:

AO / BO = S_trapezoid / S_small_triangle = S1 / S2 = (S - S2) / S2 = S / S2 - 1 = (a/b)^2 - 1​

וזהו בעצם.

 

[נצחיהTT]

לא הכרתי את זה

תודה רבה. החכמתי.

 

[avinamal]

כדאי גם לוודא שזה נכון

סה"כ המצאתי את זה כרגע.

 

[טלמון סילבר]

נסה להצליב עם

השיטה באמצעות אינטגרלים.

 

[טלמון סילבר]

השווה עם תוצאת החישוב

באמצעות אינטגרלים: יהי: x - מרחק מרכז הכובד מהבסיס שאורכו a, y - מרחק מרכז הכובד מהבסיס שאורכו b. אזי:

x : y = (a + 2b) : (2a + b)​

 

[avinamal]

***** ../images/Emo70.gif שגיאת דפוס ../images/Emo70.gif *****

הפכתי את הסימונים:

BO / AO = S_trapezoid / S_small_triangle = S1 / S2 = (S - S2) / S2 = S / S2 - 1 = (a/b)^2 - 1​

כאשר B מסמן את מרכז הכובד של הטרפז.

 

[ditzafar]

תודה רבה

ואוו איפה מוצאים דברים כאלו באינטרנט. ממש ניסתי למצוא על זה חומר ולא הצלחתי

 

[avinamal]

רצוי לדעת שפה זרה כלשהי

רוסית, אנגלית, צרפתית... וכמה מונחים: מרכז כובד = centroid טרפז = trapezoid למשל כאן

 

[ditzafar]

ושוב תודה ועוד שאלה קטנה

תודה רבה ושאלה קטנה הנוסחאות שיש לי באתר שם יותר נוחות לי כי אני לא צריכה לחפש משוואות ישר וכו' ולבנות את הנוסחאות הן פשוט כבר בניות.. אבל יש לי על זה שתי שאלות 1.איך מוצאים את Cz, מרכז הכובד של הגוף בציר Z 2.מה יקרה אם אני אכניס לנוסחא משולש ובמקום b הבסיס הקטן אני אכניס 0 האם אקבל את מרכז הכובד של משולש הנמצא במערכת צירים תלת מימדית תודה רבה

 

[avinamal]

כאשר יש לך גוף דו-מימדי

ואתה בוחר מערכת צירים כרצונך, מן הראוי להניח את הגוף כולו על מישור XY, ואז וודאי ששיעור מרכז הכובד בציר Z הינו אפס (כיוון שהגוף "חסר עובי"). אם אתה בכל זאת שואל על ערך ה Z של מרכז הכובד, הרשה לי לשאול אותך קודם: האם ל"טרפז" שלך יש נפח? או שמא הוא "שטוח"?

 

[ditzafar]

טרפז בתלת מימד

הטרפז שלי הוא שטוח אך הוא מוצב במערכת צירים תלת מימדית. מה שאני יודעת עליו זה את הקורדינטות של ארבע הפינות שלו. ומה שאני מחפשת זה את הקורדינטה של מרכז הכובד כנקודה [x y z]. תודה רבה

 

[טלמון סילבר]

פתרון מעשי.

תהי הנקודה M - מרכז הבסיס שאורכו a, תהי הנקודה N - מרכז הבסיס שאורכו b. (אין בעייה למצוא נקודות אלו ולחשב את אורכי הבסיסים). מרכז הכובד הוא: הנקודה M כווקטור, ועוד הווקטור MN (מ-M אל N) מוכפל במספר:

(a + 2b) / (3a + 3b)​

 

[ditzafar]

עוד כמה שאלות להבהרת הנושא

שלוש שאלות: 1.האם אפשר סמוך על הנוסחא או שצריך לבדוק אותה? 2.אני רוצה לראות שהבנתי נכון את הנוסחא: יהיו נקודות A B C D ארבע פינותיו של טרפז במערכת ציריים קרטזית תלת מימדית כאשר הנקודה A היא הפינה השמאלית העליונה הנקודה B היא הנקודה הימנית העליונה הנקודה C היא הנקודה השמאלית התחתונה והנקודה D היא הנקודה הימנית התחתונה הבסיס a, הבסיס הארוךהוא הבסיס התחתון והבסיס b, הבסיס העליון הוא הבסיס הקצר M=C+(D-C)/2 N=A+(B-A)/2 MN=N-M CenterOfGravity=(M+MN)*( (a + 2b) / (3a + 3b 3.מה יקרה אם במקום טרפז יהיה משולש כלומר הבסיס העליון יהיה שווה לאפס האם הנוסחא תעבוד גם? ותודה רבה על המוכנות לסייע

 

[טלמון סילבר]

הערות

1. אינני יודע עד כמה הנוסחה שהצעתי "מקובלת", כלומר, האם מותר לך להשתמש בה בלי הוכחה. להציג את ההוכחה? היא מבוססת על נוסחאות מאנליזה מתמטית לחישוב מומנט ומרכז כובד של צורה מישורית. 2. הערת-אגב קטנטנה. כשנתונות שתי נקודות כווקטורים, מרכז הקטע המחבר ביניהן הוא "הממוצע החשבוני" שלהן. כמובן גם מה שכתבת נכון:

A + (B - A)/2 = (A + B)/2​

3. בהודעתי הקודמת לא כתבתי ברור, לכן אני מבהיר: תהי הנקודה M - מרכז הבסיס שאורכו a, תהי הנקודה N - מרכז הבסיס שאורכו b. מרכז הכובד הוא:

W = M + (N - M)*[(a + 2b) / (3a + 3b)] = [ M*(2a + b) + N*(a + 2b) ] / (3a + 3b)​

4. הנוסחה נכונה לכל מקרה: a גדול מ-b, להיפך, הם שווים (אז הטרפז הוא מקבילית), אחד מהם שווה 0 (מתקבל משולש). 5. הנוסחה "אינה אחראית" על כך שהנקודות הנ"ל בסדר הנ"ל באמת יוצרות טרפז מישורי. את זה כדאי לבדוק מראש.

 

[ditzafar]

הוכחה

אני מקווה שזו הפעם האחרונה שאטריד אותך בנושא, אבל אשמח אם תוכל לרשום את ההוכחה לנוסחא תודה רבה

 

[טלמון סילבר]

פחות או יותר ככה.

דבר ראשון, לפי "ההיגיון הפשוט", אנו מחפשים את מרכז הכובד של טרפז על הישר המחבר את מרכזי שני הבסיסים, כפי שציין אבינמל (לא התעצלתי, ובדקתי גם את זה באמצעות אינטגרלים, אך אני מציע לפחות בשלב זה לדלג על הוכחה זו). יש נוסחאות ישירות למציאת מרכז הכובד של צורה הנדסית במישור הכלואה בין: - גרף של פונקציה חיובית בקטע [a,b]; - ציר x; - הישרים x=a, x=b. נמקם את הבסיס הגדול של טרפז על ציר x, ונחפש את שיעור y של מרכז הכובד שלו. הפונקציה היא: הבסיס הקטן ושני השוקיים. לשם כך נניח ששתי זוויות הבסיס הגדול חדות. למעשה, אינטואיטיבית, התחושה היא ששיעור ה-y של מרכז הכובד לא ישתנה, איך שלא נשנה הזוויות, ויהיה תלוי רק בגובה הטרפז וביחס בין אורכי הבסיסים. לכן, ארשה לעצמי לקחת זווית אחת ישרה! כלומר, נתונים המספרים: h > 0 a > b > 0 h = גובה הטרפז. a = אורך הבסיס הגדול. b = אורך הבסיס הקטן. והפונקציה מוגדרת כ: f(x) = h כאשר x גדול או שווה 0, קטן או שווה b (אורך הבסיס העליון, הקטן). זה תיאור הבסיס הקטן, העליון. (f(x) = h(a - x)/(a - b כאשר x גדול או שווה b, קטן או שווה a. זה תיאור השוק הימני (השמאלי מונח על ציר y. נחזור לנוסחה הכללית עבור צורה הכלואה מתחת לגרף של פונקציה חיובית כלשהי (y=f(x (למרות שהאמור להלן לאו דווקא דורש שהיא תהיה בהכרח חיובית). הדיפרנציאל של המומנט ביחס לציר x שווה ל"משקל" y*dx כפול "אורך הזרוע" y/2. לכן, סה"כ המומנט של הצורה ביחס לציר x שווה:

(1/2)∫y² dx​

אם נחלק אותו ב"משקל" הכללי של הצורה (השטח שלה), נקבל את "אורך הזרוע" שלה ביחס לציר x, כלומר, את שיעור y של מרכז הכובד:

(1/2)∫y² dx / ∫y dx​

שני האינטגרלים - בגבולות האינטגרציה של הפונקציה. במקרה שלנו השטח של הטרפז פשוט שווה a+b)h/2), ואת האינטגרל שבמונה (כלומר, את המומנט, עכשיו נחשב.

b ∫h² dx = bh² 0 a ∫[h(a - x)/(a - b)]² dx = b a = [h/(a - b)]² * ∫(a - x)² dx = b = [h/(a - b)]² * [a²(a - b) - 2a(a² - b²)/2 + (a³ - b³)/3] = = [h²/(a - b)] * [a² - a(a + b) + (a² + ab + b²)/3] = = [h²/(a - b)] * (3a² - 3a² - 3ab + a² + ab + b²)/3 = = [h²/(a - b)] * (a² - 2ab + b²) / 3 = = (a - b)h² / 3 :ומחצית סכומם (כלומר, המומנט) שווה [ bh² + (a - b)h²/3] / 2 = h²(3b + a - b)/6 = h²(a + 2b)/6 :ולבסוף, אורך הזרוע [ h²(a + 2b)/6 ] / [h(a + b)/2] = h(a + 2b) / [3(a + b)]​

מש"ל.

 

[ditzafar]

שאלה בסיסית

תודה רבה. אני עוד צריכה לעבור על זה ולבדוק שהבנתי הכל אבל שאלה בסיסית, זה לא משנה שהטרפז שלי נמצא במרחב ולא במישור? תודה רבה