מעין חידה נחמדה

[pallidfool]

ממש לא ברור לי

מהי הכוונה בכך שהמרחק בין שתי נקודות קיצון הוא 2 ק"מ, ובכלל למה אתה מתכוון. אולי תעלה שרטוט (לא צריך להיות מדויק) של המסלול?

 

[yyy1234]

את אורך הגרף של sin אפשר למצוא ע"י

(ראה את הקובץ המצורף שים לב שהזויות בראדינים.

 

[yyy1234]

אופס... טעות בקובץ...

 

[1ca1]

הדבר שלי שגוי... זה לא ייתן "מסלול"

 

[pallidfool]

מעין חידה נחמדה

טייס נפל (חס וחלילה

) בשטח אויב. ידוע לו שהוא בדיוק במרחק קילומטר אחד מהגבול, שהוא קו ישר ואינסופי. למרות שידוע לו המרחק הנ"ל, אין לו אוריינטציה - כלומר הוא לא יודע באיזה כיוון הגבול נמצא. הוא לא יכול לראות את הגבול ממרחק, אלא חייב לדרוך עליו כדי למצוא אותו. צריך למצוא מסלול שאורכו מינימלי, כך שבטוח שאם הוא ילך בו, בשלב מסויים הוא ימצא את הגבול. למשל: הוא יכול ללכת קילומטר אחד בכיוון כלשהו, ואז ללכת במעגל ברדיוס קילומטר סביב נקודת המוצא שלו. כך ברור שהוא ימצא בשלב כלשהו את הגבול, ואורך המסלול הוא:

1+2pi​

כלומר בערך 7.283 אתם צריכים למצוא דרך קצרה יותר. אני כבר אומר: השיפור אינו דרסטי. כל ירידה שאתם משיגים - אתם יכולים להודיע עליה, ואם בא לכם גם לכתוב את הפתרון. אני מציע שבכותרת כל הודעה כזו יהיה האייקון של ספויילר. בכל מקרה, זה גם מעניין למצוא את הדרך הכי טובה ולהוכיח שלא קיימת דרך טובה יותר (או שתמיד קיימת? אני בספק). בכל מקרה, לגבי הוכחה כזו אין לי מושג. אולי אחרי שנמצא את השיטה הכי טובה לדעתנו, נוכל לנסות להוכיח את זה. אני מצאתי שיטה שנראית לי טובה... אני לא חושב שיש דרך טובה יותר, אבל אולי כן

 

[pallidfool]

מישהו אחר?

 

[freedom rider]

../images/Emo58.gif 6.6188 ק"מ

הרעיון שלי הוא שהטייס לא ילך במעגל, אלא על מצולע משוכלל החוסם את המעגל. אם למצולע יש N צלעות, אז מובטח לטייס כי יגיע לגבול לאחר שילך על N-1 צלעות לכל היותר (נפנוף ידיים נמרץ). כלומר המסלול הוא: ללכת 1+delta בכיוון כלשהו, כאשר דלתא נבחר כך שיגיע לקדקד המצולע החוסם, ואז ללכת לאורך צלעות המצולע. המינימום מתקבל עבור N=3. במקרה זה הניתוב לטייס הוא: 1) לך 2 ק"מ בכוון שלשהו. 2) פנה בזוית של 30 מעלות ולך למרחק של 2.3094 ק"מ בערך (שזה 2 חלקי סינוס של 60 מעלות - כלומר אורך צלע המשולש שווה הצלעות החוסם את המעגל). 3) פנה בזוית של 60 מעלות ולך עוד 2.3094 ק"מ. סה"כ הדרך היא לכל היותר 6.6188 ק"מ

 

[1ca1]

למה הוא יגיע כעבורN-1 צלעות?

 

[The Ancient Mariner]

מכיוון ש...

תסתכל על הציור שציירתי החייל נמצא בנקודה הגבול הוא אחד מ 4 הקווים השחורים. צייר עכשיו מצולע שחוסם את העיגול שציירתי, תראה שהוא יגיע אחרי מקסימום N-1 צלעות...

 

[ailag]

ומה אם

הגבול נמצא באלכסון? (למשל, בכיוון צפון-מערב ממנו) - אז הוא לעולם לא יגיע.. אלא אם כן נתון שהגבול הוא אחת מצלעות הריבוע שבציור שלך?

 

[freedom rider]

בודאי שהוא יגיע

כל מסלול התוחם את המעגל ברדיוס 1 יגיע

 

[pallidfool]

אני

מצאתי דרך קצרה יותר. אני הצלחתי בטיפה פחות מ-6.4. אם יש לאחרים עוד רעיונות, יותר ופחות טובים, שיגידו. אולי יתברר שבמבחן התוחלת (מעניין מאוד! עכשיו אחשוב על התוחלת בשיטה הכי טובה שאני מצאתי) דרכים אחרות תהיינה טובות יותר.

 

[freedom rider]

ספר לנו איך ../images/Emo92.gif

 

[pallidfool]

קיוויתי שאחרים ינסו ואולי ../images/Emo58.gif

ימצאו שיטה יותר טובה... בכל מקרה, הנה השיטה שלי (שנותנת את אורך המסלול הקצר ביותר שהגעתי אליו): הוראות: לך

2/sqrt(3)​

קילומטרים בכיוון כלשהו. סטה מהמסלול ב- 120 מעלות בכיוון כלשהו, לך עוד

1/sqrt(3)​

קילומטרים בכיוון זה. (עכשיו הוא במרחק קילומטר מהנקודה ההתחלתית) לך

7pi/6​

קילומטרים תוך עשיית מעגל (ברדיוס קילומטר אחד) סביב נקודת ההתחלה. המשך קילומטר אחד בדיוק בכיוון אליו פניך פונות. וזהו... הוא תמיד יפגוש את הגבול. לגדלים המדוייקים הגעתי בעזרת בעיית מינימום. אם רוצים שהתוחלת תהיה מינימלית (וכאן החישוב הופך להיות נורא... עשיתי את זה עם המחשב... התוצאות בכלל לא רציונליות ולא קשורות לקבועים מוכרים...) בכל מקרה, אז במקום שהזוויות הקטנות תהיינה שלושים מעלות, כדאי שהן תהיינה בערך 33.93825 (וכל שאר הגדלים ישתנו בהתאם) ואז התוחלת קטנה מעט. למישהו יש רעיון מוצלח יותר? למישהו יש רעיון איך להוכיח מהו הרעיון הכי טוב?

 

[pallidfool]

קובץ מצורף

בשחור המסלול שלו ואורך המסלול, ובאפור סימונים שיבהירו את המסלול.

 

[Fingertip]

מעניין!

זה כמעט המסלול שאליו הגעתי אתמול (כשאמרתי לך שקיבלתי פאי ועוד 2 ועוד שורש 2) כנראה משום שהשתמשתי בהגיון ולא בתוחלת... אהד.

 

[pallidfool]

כנראה שזה הכי טוב שאפשר...

 

[freedom rider]

יפה../images/Emo45.gif

מה שמראה איך קל מאוד להכנס לקבעון מחשבתי... אתמול חיפשתי מסלול שיורכב רק מקטעים ישרים, ועד שלא ראיתי את הפתרון שלך לא העליתי בדעתי שאפשר לשלב קטעים ישרים וקשתות...

 

[pallidfool]

נכון

בגלל לא רציתי בהתחלה להראות את הפתרון. בכל מקרה, זה כנראה הפתרון האופטימלי.

 

[freedom rider]

תוספת לחידה

אי אפשר בלי קצת הסתברות לא? אז חשבו נא את תוחלת המרחק שילך עד שיגיע אל הגבול, בשיטה של pallidfool ובשיטה שלי, בהנחה שהכיוון הראשוני נבחר בעזרת התפלגות אחידה על [0,2pi].