מי מכיר?

[טלמון סילבר]

הצעתי את זה כחידה. לספר את הפתרון?

 

[jaXon]

במחינתי כן. אני סקרן ../images/Emo13.gif

 

[טלמון סילבר]

הוכחה קצרה לעוצמת קבוצת קנטור.

נזכיר שוב מהי קבוצת קנטור: מהקטע הסגור [0,1] מעיפים את השליש הפתוח האמצעי, מכל אחד משני הקטעים הסגורים שנשארו מעיפים את השליש האמצעי הפתוח, מכל אחד מהקטעים הסגורים שנשארו שוב מעיפים את השליש האמצעי הפתוח, וכך עד אינסוף, ומה שנשאר זו קבוצת קנטור. נציג את כל המספרים בקטע [0,1] בשיטת הספירה על בסיס 3. יהיה שימוש רק בספרות 0, 1, 2. מספרים רציונליים מסוג

n / 3^k​

לא נציג כשבר סופי (כלומר עם מחזוריות 0), אלא עם מחזוריות 2. למשל

1/3 = 0.0222...​

קבוצת קנטור מכילה בדיוק את כל המספרים שאינם מכילים את הספרה 1. כלומר את כל המספרים האפשריים המכילים את הספרות 0 ו-2 בלבד. אם בכל מספר כזה נחליף את כל הספרות "2" ל-"1" (או נחלק את המספר ל-2), ונתייחס לשבר החדש כתצוגה בינארית של מספר ממשי, נקבל התאמה הדדית חד-משמעית בין קבוצת קנטור ובין כל המספרים הממשיים מ-[0,1].

 

[טלמון סילבר]

תיקון קטן.

מה שכתבתי בעניין המחזוריות של שברים "סופיים" לא מדוייק. אבל ודאי הבנתם את הכוונה: להשתמש בספרות 0 ו-2 בלבד. אז אם המחזוריות היא ...111 או ...2000, אז מעדיפים ...2000. למשל:

1/3 = 0.0222... 2/3 = 0.2000...​

ובדיוק דוגמה זו מצביעה על אי-דיוק נוסף בהוכחה שלי: יוצא ששני מספרים מקבוצת קנטור, שליש ושני שליש, תואמים, בדרך שהיצעתי, לאותו המספר הממשי:

0.0111... 0.1000...​

שזה חצי. אמנם אי-דיוק זה אינו מכשיל את ההוכחה, כי זה יקרה רק למספרים רציונליים מסויימים, מה שלא משפיע על העוצמה. ומעניינת לכשעצמה דווקא "התאמה כפולה" זו בין המספרים

n / 3^k​

מקבוצת קנטור, לבין המספרים הממשיים

m / 2^q​

כלומר, כל "חור" פתוח גורם (לפי התאמה זו) להתאחדות שני הקצוות של החור, שנשארו.

 

[טלמון סילבר]

תיקון לתיקון: אי-הדיוק השני

בכלל לא מפריע להוכחה. הרי יוצא שרק תת-קבוצה של קבוצת קנטור, כבר מתלבשת על הקטע [0,1] כולו! בגדול זה כמובן לא משנה, כי מדובר בעודף זניח מבחינת העוצמה.

 

[jaXon]

קצר ומגניב ../images/Emo13.gif

 

[איגור קרסיק]

נחמד מאוד

מאיפה לקחת את זה? ובקשה די גדולה, האם יש לך ואת מוכנה להציג סיכום קצר שכזה על גאוס.

 

[עינב1כ]

גאוס על קצה קצהו של המזלג..

תתתתתדדדם.. 60 שניות על קארל פרידריך גאוס הגאון רב הפנים קארל פרידריך גאוס פיזר את התעניינותו על פני שטחים רבים ובכלל זה מתמטיקה, אסטרונומיה ופיסיקה. גאוס מצא את הדרך לחישוב מסלוליהן של הכוכביות (אסטרואידים), היה חלוץ התיאוריה האלקטרומגנטית והמציא מכשיר טלגרף. תרומותיו המתימטיות הנכבדות ביותר היו בתחום תורת המספרים, תורת הפונקציות, ההתסברות והסטטיסטיקה. לאחר שעוד בימי נעוריו הגה את רעיון הגיאומטריה הלא-איאוקלידית, עשה גאוס רק מעט לפיתוחו של שטח זה. במקום זאת פנה לקו מחשבה אחר ונטל על עצמו את האתגר הקשה של מדידת עקמומיותיהם של משטחים. לאחר זמן מה זנח גם את הבעיות הללו. שני מושגים אלה נותרו רדומים במשך שנים רבות כשהם מצפים למתמטיקאי עתיר דמיון שימזג אותם לתיאוריה אדירה אחת.. (איינשטיין השתמש בתורת היחסות ברעיונות של גיאומטריה אי-אוקלידית ועוד..) אלו היו 60 שניות על פרדיריך גאוס. לגבי מקורות: בריטיניקה לנוער, אשנב למתמטיקה, מתמטיקה הספריה המדעית של LIFE ועוד.. אשמח אם תרחיבו ממקורות אחרים. מקווה שעזרתי. עינב

 

[טלמון סילבר]

מספר הערות

ההנדסה האי-אוקלידית התחילה להתפתח בימיו של גאוס. לוֹבָּצֶ´בסקי פיתח את הכיוון של הרבה ישרים עוברים דרך נקודה אחת ואינם נפגשים עם ישר נתון, ראה שאין סתירה, פירסם מאמרים בנושא מתוקף תפקידו כרקטור של אוניברסיטת קָזָן, אבל "אף אחד לא הבין אותו". במקביל עשה אותו דבר בחור הונגרי בשם בּוֹיָאִי, בחור "מטרוף" שחשב שגונבים ממנו את הרעיון. כשלובצ´בסקי כתב לגאוס על התאוריה שלו וביקש תמיכה, גאוס ענה לו שהוא כבר מזמן הגיע לתוצאה הזאת, אבל הוא לא מפרסם את הדברים, כי הדור הנוכחי לא מסוגל לקלוט את זה. לובצ´בסקי ניסה "להוכיח" שהוא צדק ולא אוקלידס(!) באמצעות מדידות אסטרונומיות, שלא הביאו לכלום. מאוחר יותר הילברט הראה שכולם צודקים, גם אוקלידס (ישר אחד בלבד), גם לובצ´בסקי (הרבה ישרים) וגם רימן (אף לא אחד), פשוט באמצעות מודלים שהמחישו שאקסיומה זו ("הפסטולט החמישי של אוקלידס") היא אכן בלתי תלוייה בשאר האקסיומות. כלומר אוקלידס צדק בכך שהגדיר זאת כאקסיומה. מסַפרים על גאוס: כשהוא היה בכיתה ב´, יום אחד בא המורה לכיתה, נתן לכולם תרגיל: לחשב את סכום כל המספרים הטבעיים מ-1 עד 100, הוציא עיתון והתרווח על כיסאו. אבל אחרי דקות מעטות גאוס הקטן אומר לו 5050. המורה מסתכל בפתק שלו ונדהם: איך עשית כל כך מהר? חיברתי בזוגות משני הקצוות, יוצא 101 כפול 100 חלקי 2, ענה גאוס.

 

[1ca1]

טלמון כיצד יתכן שכולם צודקים?

סה"כ את התיאוריה של לובצבסקי (גיאומטריה ספרית) קל להראות למשל דוגמא משולש שצלעותיו מונחות על קווי כדוה"א באופן הבא קווי אורך 90 ו 0 שנפגשים בקוטב והמפגש שלהם על קו המשווה => ישנו משולש (ספרי אומנם לא "משולש רגיל"), שסכום זוויותיו גדול מ180 (במקרה הזה סכום זוויותיו הוא 360). אבל אם אני לא טועה ריימן בדיוק הביא את המקרה ההפוך ביחס לגיאומטריה ההיפרבולית על זה שהגיאומטריה של אוקלידס עובדת אין ויכוח, אבל כיצד ייתכן שגם גיאומטריה היפרבולית וגם גיאומטריה ספרית יעבדו?

 

[yatir]

התשובה לשאלה הזאת מובאת היטב

בספר "גדל,אשר,באך" של הופסטדר. קשה להבין למה כולם עובדים, כי אנחנו נותנים משמעות למונחים כמו "נקודה" "ישר" מתוך הידע היומיומי שלנו, אך אפשר להגדיר אותם איך שרוצים. הגאומטריות הנוספות נוצרו כאשר שינו את הפוסטולטה החמישית של אאוקלידס (במקום ששני קוים ישרים אף פעם לא נפגשים, אז יכול להיות שהם כן (פעם אחת או אינסוף פעמים)) יתיר

 

[טלמון סילבר]

"צודקים" = הציעו אקסיומה שאינה

יוצרת סתירה, וכמו שאמרתי צדק אוקלידס שהחליט שזו אקסיומה. 2. לובצ´בסקי ורימן: להיפך, רימן היה "ספרי" ולובצ´בסקי "היפרבולי". 3. הכל עובד במודלים שונים, כמו בדוגמה שהבאתָ, אז מה השאלה?

 

[עינב1כ]

ואגב טלמון..

היום עברתי על הדפים כאן בפורום, ואני מבקשת סליחה שלא ראיתי את השאלה שהכנסת שם בקשר לרגרסיה, אני לא יודעת לגבי הערכים הלוגריתמיים. ביקשת הרחבה ואינני יודעת, אני כתבתי לכם הסבר מספר של שולה ישראלית "סטטיסטיקה הלכה למעשה", אני חושבת שתהיה הרחבה בספרי סטטיסטיקה לדוגמא של "רות ביית מרום - סטטיסטיקה" או "סטטיסטיקה לא לסטטיסטקאים" או "סטטיסטיקה למדעי החברה" ובכלל במדף המתמטיקה יש המון.., אני תלמידת תיכון, כך שאין לי עדיין "נגיעה" בנושא של סטטיסטיקה תיאורית וכו´, חוץ משאלות בגרות.. בכל אופן, מקווה שעזרתי. בהצלחה! עינב

 

[טלמון סילבר]

תודה רבה!

אני מעולם לא עסקתי בנושא הנ"ל, וגם עכשיו לא, פשוט התאמצתי להבליט את השאלה בשביל הבחורה ששאלה אותה, ואני מודה לך שוב בשמה.

 

[אוילר]

קנטור.....

קנטור אכן היה קצת משוגע ולפעמים באמת נראה כאילו הוא "נתפל לאינסופים" אבל בסך הכל תרומתו לאנליזה הייתה מדהימה. די במשפט ההעתקה המככוצת כדי לראות זאת.