מי מכיר?

[טלמון סילבר]

מי מכיר?

מי מכיר קבוצת מספרים ממשיים, בעלת מידה 0 ועוצמה קונטינום? איך מוכיחים את שתי תכונותיה האלה?

 

[איגור קרסיק]

מה זה: "ועוצמה קונטינום"?

 

[Fingertip]

קונטינום זו עצמת המספרים הממשיים...

ולכן בדיסקרטית מסמנים אותה ב-c. אם אני לא טועה קוראים לזה עוצמת רצף, או משהו כזה... מצד שני, אין לי מושג מה זה קבוצה מדידה... (בחטאי הרבים לא עשיתי את "תורת המידה"...) אהד.

 

[טלמון סילבר]

מידה

כך יצא, שבזמנו למדתי את עניין המידות מאמצע הקורס. בהרצאה הראשונה המרצה (פרופ´ נפתלביץ´ ז"ל) הוכיח שם איזשהו משפט. בסוף ההרצאה הוא שאל אותי, איך ההרצאה, אם הבנתי? אמרתי לו שהבנתי הכל, חוץ מדבר אחד: מה זה "מידה"! כולם צחקו כמובן, אבל המרצה לא התרגש, ואמר לי: נגיד שזה מסה. טוב, אח"כ כבר ההגדרות. במקרה הפשוט, כאשר הקבוצה היא איחוד של קטעים זרים, לא חשוב אם סגורים או פתוחים, זה פשוט סכום האורכים שלהם. מידה של נקודה היא 0. יש הוכחה פשוטה לכך שהמידה של קבוצה בת-מנייה שווה 0, אבל זה מסתמך כבר על ההגדרה של מידה. ברור שהמידה של קבוצת קנטור היא אכן "2 שליש בחזקת אינסוף", כלומר 0. יש גם הוכחה קצרה ופשוטה מאוד לכך שהעוצמה שלה שווה c. למי שלא יודע, אני מציע כחידה, למצוא הוכחה כזו.

 

[yatir]

איך יכול להיות שהמידה של

קבוצה בת-מנייה שווה לאפס?

 

[טלמון סילבר]

לומדים את זה בהתחלה.

הכוונה למידות בתחום הממשי (חד-מימדי). מכסים את הקבוצה בקטעים פתוחים, לוקחים את המידה שלהם, והיא גדולה או שווה למידה של הקבוצה המכוסה. אז מכיוון שהקבוצה בת-מנייה, כסה אותה בקטעים באורך אפסילון חלקי 2, אפסילון חלקי 4, אפסילון חלקי 8 וכו´, ותראה שהמידה שלה קטנה מאפסילון. עבור כל אפסילון חיובי!

 

[yatir]

אבל

1/2+1/4+1/8+...=1​

 

[טלמון סילבר]

שכחתָ את ה"אפסילון"!

 

[yatir]

אז בטח לא הבנתי אותך נכון...

האפסילון זה לא המידה של הקבוצה?

 

[pallidfool]

היית אמור לכתוב

e/2+e/4+e/8+...=e​

כש-e מסמל אפסילון.

 

[yatir]

כן, את זה הבנתי, כמובן, פשוט

מה שניסיתי להגיד זה איך שהסכום יכול להיות קטן מ-e?

 

[pallidfool]

זה

שולי... אם אתה מעוניין שהסכום יהיה קטן מאפסילון אתה יכול להניח את הקטעים בשיטה הנ"ל כאילו עבור אפסילון חלקי שניים, או שבפעם הראשונה, במקום שאורך הקטע יהיה חצי אפסילון - שיהיה רבע.

 

[טלמון סילבר]

הסכום שווה אפסילון, המידה קטנה יותר

(כי הקטעים לא זרים), וזה אכן זניח.

 

[pallidfool]

אני! אני! או או אני!

Cantor set קראתי על זה טיפה (מאוד) אפשר להגדיר אותה כך: מתחילים מהקטע הסגור אפס עד אחד. מורידים את הקטע הפתוח שליש עד שני שליש. כך עושים לשני הקטעים שנשארו (כלומר מורידים את תשיעית עד שתי תשעיות ואת שבע תשעיות עד שמונה תשעיות - קטעים פתוחים). מה שנשאר הוא ממידה 0, עם עוצמת הרצף. זה כל מה שאני יודע

למה שאלת?

 

[איגור קרסיק]

קאנטור...

אני שם לב שלמטרוף הזה יש אובססיה לאינסופים ובעיקר לדברים המוזרים שקשורים בהם...

 

[Fingertip]

דרך אגב, הוא באמת היה מטרוף...

הוא סבל ממאניה דפרסיה וסיים את חייו בבית חולים לחולי נפש... אהד.

 

[איגור קרסיק]

אני יודע, לכן השתמשתי בכינוי: מטורף

 

[עינב1כ]

גיאורוג קנטור על קצה המזלג..

תתתתדדדדםםםם, 60 שניות על גיאורוג קנטור.... גיאורוג קנטור (1918-1845) מתמטיקאי גרמני גיאורוג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור נולד למשפחה ממוצא דני (יש אומרים שהיה שמשפחתו היה מתבוללת, כלומר יש לו שורשים יהודיים, יש אומרים שלכן המציא את האלף אפס.., העברית היחידה במתמטיקה..). הוא הצטיין במתמטיקה מגיל צעיר, ולמרות התנגדותו של אביו (שרצה כי ילמד הנדסה9 יצא ללמוד מתמטיקה ופילוסופיה באונברסיטת ברלין. ב1867 הגיש עבודת דוקטורט בעלת שם מקורי: "במתמטיקה, אמנות הצגת השאלות חשובה יותר מפתרון בעיות", ובה פתר בעיה שהניח אחריו קארל פרידריך גאוס. הוא הצטרף לסגל האונברסיטה של הלה (ב"למד יש סגול) שם נשאר עד סוף ימיו. אחרי שעסק בתחומים שונים של תורת המספרים והטריגונומטריה, פנה קנטור לפתח את מפעל חייו - תורת הקבוצות. קבוצה מוגדרת כאוסף של עצמים שיש להם תכונה משותפת, גם אם הם שונים זה מזה בשאר תכונותיהם. כשהתעמק בתכונותיהן של קבוצות המספרים השונות, גילה קנטור להפתעתו כי קבוצות שמספר איבריהן אינסופי יכולות להיות שונות זו מזו במספר איבריהן - כלומר לאותו מושג מעורפל, האינסוף, יכולים להיות כמה ערכים שונים... היתה זו תוצאה מפתיעה, שלא לומר יותר מזה, ואין פלא שכתב העת שאליו שלח את מאמרו הראשון סירב לפרסמו. רעיונותיו של קנטור ראו אור לבסוף. אולם נותרו שנויים במחלוקת. רבים טענו כי קביעותיו בדבר האינסוף חורגות מן המתמטיקה אל הפילוסופיה והמטאפיסיקה. בשנת 1897 פרסם קנטור את ספרו החשוב ביותר בנושא המספרים האינסופיים, ובו ציין את המספרים שהגדיר באמצעות האות העברית אלף (א) המספר היסודי האינסופי הקטן ביותר היא א0 (אלף אפס), הבא אחריו היה א1, אחריו א2 וכן הלאה. הוא אף פיתח חשבון של מספרים אינסופיים, בדומה לחשבון ה"רגיל" במספרים סופיים. כך למשל עלה בידו להוכיח כי מספר הנקודות על קו ישר גדול מאשר א0. בערוב ימיו נעשתה התיאוריה שלו מקובלת ברבים, אולם מחלת נפש העיבה על ימיו האחרונים. מת בגיל 44 בבית משוגעים כחולה נפש. (מה שעיסוק באינסוף יכול לגרום..) אלה היו 60 שניות על חייו ומותו של גיאורוג קנטור. ===================================================================== עינב ב´: ב"ל ואש"ל

 

[טלמון סילבר]

אז מה ההוכחה הפשוטה ביותר

שעוצמת קבוצת קנטור היא קונטינום (איך אתם קוראים לזה?)?

 

[jaXon]

גם אני מצטרף לשאלה. יש רעיון?