מה יש יותר?

[Halfbaked]

תשובה חלקית

מהאופן בו ניסחת את השאלות, נובע כי שתי הקבוצות הן בנות מניה, שכן בכל מקרה אנו מציירים את הצורות לפי סדר - למשל, מעגל ראשון, בתוכו מעגל שני, בתוכו מעגל שלישי, וכן הלאה. באופן כזה, בעצם התהליך אנו בונים התאמה בין המעגלים שאנו מציירים לקבוצת הטבעיים (המעגל הראשון מותאם ל-1, השני מותאם ל-2, וכן הלאה). וכנ"ל עבור צורות ה-8. איני יודע אם לכך כוונת, אך הנה שאלות דומות עם תשובה שונה (אולי): 1. מהו המספר הגדול ביותר של מעגלים שניתן לצייר במישור כך שאין זוג מעגלים עם נקודה משותפת?(כלומר, מהי העוצמה הכי גדולה של קבוצה של מעגלים כאלה?) 2. מהו המספר הגדול ביותר של צורות 8 שניתן לצייר במישור כך שאין זוג צורות עם נקודה משותפת?

 

[yontanbn]

הנה קיבלת, תסתכל בתשובתי...

 

[MsPiggy]

אה.... הבנתי....

תודה

 

[yontanbn]

אה זאת כבר שאלה מעניינת

ובכן, מעגלים אפשר ליצור c כאלה. למה? כי ניקח אפילו את כל המעגלים ברדיוס בין 0 ל1 שמרכזם בראשית. כולם זרים וכמותם ככמות המספרים הממשיים בין 0 ל1. ברור שאי אפשר יותר, כי כל מעגל תופס לפחות נקודה אחת, ומספר הנקודות במישור הוא c. לגבי הצורות 8, זה כבר סיפור אחר... אפשר ליצור רק אלף_אפס כאלה. יש לזה כמה הוכחות. אני בזמנו עשיתי הוכחה ארוכה ומסובכת, עם חלוקה להרבה מקרים, והצלחתי בקשיים רבים להוכיח את זה. אבל יש דרך פשוטה שאותה אראה. לכל צורת-8 כזאת, אפשר למצוא זוג נקודות רציונליות (נקודות רציונליות הינן נקודות אשר שתי הקואודינטות שלהן רציונליות), אחת בכל אחד מן המעגלים שמרכיבים את הצורה. ברור, שלא יכול להיות שלשתי צורות 8 זרות יותאם אותו זוג נקודות רציונליות, כי בהינתן צורת-8, אי אפשר למצוא צורת-8 אחרת זרה לה, שיש לה "תוך" משותף עם שני המעגלים של צורת ה8 הראשונה. כלומר, או שהצורה לגמרי בחוץ, או שהצורה מוכלת באחד המעגלים. אז מה קיבלנו? קיבלנו שלכל צורת 8 אפשר להתאים זוג רציונליים, כך שלא יקרה מצב שלשתי צורות 8 זרות יתקבל אותו זוג. זה מראה שהמספר המקסימלי של צורות 8 לא עולה על מספר זוגות הנקודות הרציונליות שיש. מספר זה הוא אלף_אפס. כדי להראות שמס´ הצורות-8 המקסימלי הוא לא *פחות* מאלף_אפס, נסתכל בדוגמא של אלף_אפס צורות-8, מרכזי כולן על ציר ה-x, כאשר המעגלים הם עם רדיוס 0.1, והמרכזים הם על כל מס´ שלם בציר. אפשר גם לקחת כל דוגמא אחרת

 

[Halfbaked]

מה יש יותר?

1. מספרים טבעיים זוגיים או מספרים טבעיים אי-זוגיים? 2. מספרים טבעיים זוגיים הגדולים מ-13 או מספרים טבעיים אי-זוגיים? 3. מספרים טבעיים זוגיים או מספרים טבעיים? 4. מספרים טבעיים שהם ריבועים או מספרים טבעיים? 5. מספרים טבעיים או מספרים שלמים? 6. מספרים טבעיים או מספרים רציונליים? 7. מספרים טבעיים או מספרים ממשיים? 8. מספרים ממשיים או קבוצות של מספרים טבעיים? 9. מספרים ממשיים או נקודות במישור? 10. מספרים ממשיים או ישרים במישור? 11. מספרים ממשיים או משולשים במישור? 12. מספרים ממשיים או מעגלים במישור? 13. מספרים ממשיים או פונקציות ממשיות רציפות? 14. פונקציות ממשיות רציפות או פונקציות ממשיות? ואתם מוזמנים להוסיף לרשימה. בהצלחה, יובל.

 

[Deathatred]

רוב השאלות כאן

נפתרות ע"י עוצמות ובייחוד ע"י א0 ו א (שמשום מה בקורסים של האו"פ מתעקשים לקרוא לה C. למי שלא הבין מדובר ב

card(R)​

עוצמת קבוצת הממשיים).

 

[Halfbaked]

אשמח אם תפרט!

 

[Deathatred]

פירוט

1. מספרים טבעיים זוגיים או מספרים טבעיים אי-זוגיים? אותו דבר. לשניהם עוצמה א0. איגור כבר מצא פונקציה חח"ע ועל. 2. מספרים טבעיים זוגיים הגדולים מ-13 או מספרים טבעיים אי-זוגיים? כנ"ל. 3. מספרים טבעיים זוגיים או מספרים טבעיים? כנ"ל. f=2n מ N לזוגיים הטבעיים היא חח"ע ועל. 4. מספרים טבעיים שהם ריבועים או מספרים טבעיים? כנ"ל. פונקצית העלאת בריבוע שהיא חח"ע אם היא מוגדרת רק עבור מספרים חיוביים. 5. מספרים טבעיים או מספרים שלמים? אותו דבר. הדרך להראות זאת היא ע"י סידור המספרים השלמים (Z) בסדרה בת-מניה שבצורה שיטתית אפשר למנות את איבריה. הסדרה היא

0, 1, -1, 2, -2, 3 ...​

. 6. מספרים טבעיים או מספרים רציונליים? אותו דבר. גם כאן ההוכחה היא באמצעות בניית סדרה בת-מנייה של כל המספרים הרציונליים. 7. מספרים טבעיים או מספרים ממשיים? מספרים ממשיים. 8. מספרים ממשיים או קבוצות של מספרים טבעיים? שווה אותו דבר, שכן ידוע ש

card(P(N))=א​

. כלומר, עוצמת קבוצת החזקה של N שווה לעוצמתקבוצת המספרים הממשיים. 9. מספרים ממשיים או נקודות במישור? אותו דבר. אפשר להוכיח שעוצמת מכפלה קרזית של שתי קבוצות שעוצמתן א היא א גם כן. 10. מספרים ממשיים או ישרים במישור? אותו הדבר. ישר אפשר לייצג ע"י שתי פרמטרים: שיפוע וחיתוך עם Y. וכאמור, הבעיה עכשיו שקולה לבעיה 9. 11. מספרים ממשיים או משולשים במישור? 12. מספרים ממשיים או מעגלים במישור? בעיקרון, אם זכרוני אינני מטעני, עוצמה של מספר טבעי מכפלה קרטזית של קבוצות שעוצמתן א היא א גם כן. כלומר:

card(RxRxR...xR)=card(R)​

. עכשיו כל מה שנותר זה לייצג את הצורות הנ"ל באמצעות n-יות והוכחנו את זה. עבור מעגל: שלישיה ששתי האיברי הראשונים הם שיעורי המרכז והאיבר השלישי הוא גודל הרדיוס. 13. מספרים ממשיים או פונקציות ממשיות רציפות? 14. פונקציות ממשיות רציפות או פונקציות ממשיות? לא למדתי עדיין אינפי אז תאלץ להגדיר לי את המושגים הנ"ל (ורצוי בתוספות הסברים שיעזרו לי להבין).

 

[איגור קרסיק]

זה די פשוט

כשאת אומר "מה יש יותר?" אני בטוח שאתה מתכוון איזו קבוצה היא בעלת העוצמה הגדולה יותר. אם כן, מ-1 עד 6 התשובה היא שכל הקבוצות בעלות אותה עוצמה. 7. מספרים ממשיים מ-8 עד 12 כל הקבוצות בעלות אותה עוצמה. 13. אינני בטוח, אבל נראה לי שעוצמת הפונקציות הממשיות הרציפות. 14. שתי העוצמות שוות.

 

[Halfbaked]

כוונתי היא אכן לעוצמות הקבוצות

ויש לי בקשה: מכיוון שתשובות כן/לא אינו מכילות הרבה משמעות, אשמח אם תוכל להביא הוכחות, או לפחות טיעונים משכנעים, לכמה מן הסעיפים (בעיקר לסעיפים 13 ו-14). תודה, יובל.

 

[איגור קרסיק]

זה יהיה ממש ארוך

1. ניתן לקחת את ההטעמה הבאה f=n+1 וזו פונקציה מקבוצת המספרים הטבעים הזוגיים על קבוצת המספרים האי זוגיים. זו היא חח"ע. 2. f=n-13 וזו פונקציה מקבומת המספרים הטבעיים הזוגיים הגדולים מ-13 על קבוצת המספרים הטבעיים האי-זוגיים. זו פונקציה חח"ע. 3. f=n/2 וזו פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים על קבומת המספרים הטבעיים. והיא גם חח"ע. 4. f=sqrt h וזו היא פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים שהם ריבועים על קבוצת המספרים הטבעיים. והיא גם חח"ע. 5. f=(-1)^(n+1) * [(n+1)/2] h כאשר הסוגריים המרובעות מציינות את הערך השלם של המספר שבתוכן. וזו היא התאמה חח"ע ועל מקבוצת המספרים הטבעיים על השלמים. ההוכחה של הטענות הבאות הן קצת יותר ארוכות ואין לי עכשיו זמן לכתוב אותן. יהיה נחמד אם מישהו יכתוב אותן. אני כנראה אמשיך בערב.

 

[איגור קרסיק]

הטעמה = התאמה

אני ממש עייף היום... זה מה שלימוד להיסטוריה עושה לי...

 

[Deathatred]

שכחת רק לציין שהם "על"

 

[איגור קרסיק]

לא שכחתי!

הניסוח שלי הוא משהו כזה: הפונקציה היא מקבוצת ה-...... על קבוצת ה.....

 

[Deathatred]

טעות שלי

פשוט עדיף לציין בסוף שהפונקציה חח"ע ועל למקרה שמישהו כמוני מפספס את ה"על" שבין הגדרת הקבוצות שעליהם הפונקציה פועלת.

 

[גרעאפס]

בקשר לשאלה 13

אני לא לגמרי בטוח מה זה פונקציות ממשיות רציפות, הנחתי שזה פונקציה מ-R ל-R, כשהתחום הוא R כולו. יש יותר פונקציות כאלה מאשר מספרים ממשיים. ניתן לבנות התאמה חח"ע בין קבוצת החזקה של R לבין קבוצת הפונקציות: מתאימים לכל תת קבוצה את הפונקציה האופיינית (פונקציה אופיינית, ז´תומרת האיברים שקיימים בתת קבוצה הולכים ל-1 והשאר ל-0). לכן קבוצת החזקה היא לכל היותר שווה לקבוצת הפונקציות, לכן קבוצת הפונקציות גדולה ממש מ-C. ותקנו אותי לגבי מה הכוונה בפונקציות רציפות לעומת ממשיות, אם יש צורך, לפני שאני ניגש לשאלה 14.

 

[איגור קרסיק]

הגדרה

פונקציה רציפה ב-R: א. מוגדרת ב-R. ב. לכל x1 נמצא ב-R, הגבול של הפונקציה כאשר x שואף ל-x1 הוא f(x1) d ה-d הוא לישור הטקסט בלבד.

 

[Rogue Dragon]

תשמע... לגבי 14

אני לא יודע זה נראה לי פשוט... יש יותר פונקציות ממשיות מאשר פונקציות ממשיות רציפות, כל מה שעשית זה הפעלת עוד תנאי על קבוצת הפונקציות הממשיות בשם "רציפות" ויצרת לך תת קבוצה לפונקציות הממשיות שהן בנוסף גם רציפות אז מבחינת לוגיקה עוצמת הקבוצה של הפונקציות הרציפות גדולה מאשר זאת שהן גם רציפות בלי הגבלת הכלליות נצא מתוך הנחה כי תורת הקבוצות היא לכל היותר לוגיקה + אפסילון קטנטן, ששואף לאפס באיזה שהוא תנאי מוזר ועל כן הלוגיקה הנ"ל נכונה להוכחות של תורת הקבוצות, לכן נכונה ! טוב לא משנה סתם התחרפנות זמנית...

 

[איגור קרסיק]

זו היא תגובה גם להודעה הנוספת שלך

אתה פשוט לא מבין מה המשמעות של: "קבוצה א גדולה מקבוצה ב". אתה היית צודק אילו דיברנו על קבוצות סופיות, אבל בקבוצות אינסופיות המצב שונה. יש כאלה שמגדירים קבוצה אינסופית בצורה הבאה: זו היא קבוצה שיש לה תת קבוצה אמיתית השקולה לה.

 

[Rogue Dragon]

NO ../images/Emo93.gif שרלוק !

אני יודע, אבל לוגיקה הייתה ותמיד תהיה עיקרון מוביל בתורת הקבוצות, נכון שמה שהבאת זו ההגדרה המדוייקת אבל ניסיתי לתת הסבר מספק (כנראה שלא מספק את הדעת שלך) מדוע אין מדובר בשקילות. בכל מקרה ההסבר היה לאלו שאין להם ראש להכנס לתוך תורת הקבוצות אם אתה מחפש הסבר "קבוצתי" יותר אפשר לתת אותו, אבל מפעת חוסר כח אני התעצל, הפעם !