מה יש יותר?

[איגור קרסיק]

הרגע

הבעיה שלי היא שההסבר שלך איננו תואם את ההסבר המדויק, ואף ניתן להסיק ממנו דברים שגויים. לא רק זה, אלא שהמשפט האחרון שלך נראה לי מיסטי במיוחד!

 

[Rogue Dragon]

האאא, המשפט האחרון של אמיר...

טוב אז אני נותן לך הכבוד לפצחו תשמע במתמטיקה כמו במתמטיקה צריך קצת גיוון, לא ? אז נסיתי לגוון, בחוסר הצלחה...

 

[edoa]

פאת כותבים בא´, לא בע´.

 

[Rogue Dragon]

דרך אגב תוספת ל14

די בטוח שהעוצמות לא שוות... שים לב לנימוק שלי, טוב אז נכון הוא אינו תואם הגדרה מדויקת אבל שים לב לעובדה כי באמת אין שקילות בין הקבוצות. אז שים לב שכשבאים לסתור משהו אינך חייב להסתמך על ההגדרה כולה אלא מסביר להבהיר כי אינה מתקיימת בחלקה. ולהלן אתן עוד הסבר... שאל עצמך שאלה זו: מה יש יותר פונקציות ממשיות או פונקציות ממשיות לא רציפות ? מעניין... אבל מה זה קשור, טוב אז זה קשור בצורה עקיפה שלאלה הבאה : מה יש יותר פונקציות ממשיות רציפות או פונקציות ממשיות לא רציפות ? משמע איזה עוצמה יותר גדולה ?? אמממ.... טוב בקטע הפואנטה שלי צריכה להיות ברורה, ברור כי יש עוצמת ה-"לא רציפות" גדולה ממש מעוצמת ה-"רציפות" לכן לא קיימת שקילות בינהן ולכן לא קיימת שקילות בין ה-"ממשיות הלא רציפות" ל-"ממשיות" עוד פעם ממש אין לי כח להיכנס לוויכוחים על עוצמות רצף, אז קרא ותאמר לי אם צריך יותר פירוט מזה ?

 

[איגור קרסיק]

הבעיה שלי

"מה יש יותר פונקציות ממשיות או פונקציות ממשיות לא רציפות" הבעיה שלי שכאשר מדברים על אינסוף האינטואיציה לא עוזרת. דהינו ההבנה שלך לגבי "יותר אברים" או "פחות אברים" היא שגויה. ניתן דוגמא: מה לדעתך יש יותר מספרים אי רציונליים או מורכבים? ברור לך שמורכבים, אבל בכול זאת שני הקבוצות שקולות. ומסקנה מכך, הוכחה פורמלית איננה מיותרת.

 

[Rogue Dragon]

לגבי 13...

עוד פעם נפעיל לוגיקה ותו לא... בוא נסתכל על במושג פונקציה רציפה. האם פונקציה מ-R ל-X (משמע פונקציה קבועה), כאשר X ממשי כלשהו היא רציפה, כן ! אז נבנה קבוצה A שמכילה בתוכה את כל הפונקציות הממשיות הקבועות מ-R ל-X ממשי ב-R (משמע עבור כל X). קבוצה זו, עוצמתה C (אין טעם להיכנס לטרמינולוגיה של עוצמות, במילים אחרות זוהי עוצמת הרצף, או "גודלה של קבוצת המספרים הממשיים). משמע קיבלנו כי הקבוצה שנבנתה שווה בעוצמתה לעוצמה של R ("גודלה שקול ל"גודל" קבוצת המספרים הממשיים"), אבל הקבוצה שיצרנו הינה תת-קבוצה לקבוצת הפונקציות הממשיות שמכילה עוד הרבה פונקציות ממשיות רציפות, ולכן גדולה (מאד) ממנה ! האמת היא שאני די בטוח שיש דרך מסורתית בחישובי עוצמו להסביר בעיה זו, אבל לא רציתי להיכנס לזה בכדי שיותר אנשים יבינו את הלוגיקה שמאחורי ההוכחה.

 

[Halfbaked]

טיעונך אינו מהווה הוכחה

כמו שאיגור הסביר, תת-קבוצה של קבוצה אינסופית אינה בהכרח בעוצמה קטנה יותר, ולראיה - שקילויות העוצמה של הקבוצות בסעיפים 3,4,5,6 בהודעתי. על מנת להראות שיש יותר פונקציות ממשיות מפונקציות ממשיות רציפות לא די להראות שישנה פונקציה חח"ע שאינה על מקבוצת הפונקציות הרציפות לקבוצת הפונקציות. יש להראות כי אין פונקציה על מקבוצת הפונקציות הרציפות לקבוצת הפונקציות. דרך אחרת היא להראות כי אין פונקציה חח"ע מקבוצת הפונקציות לקבוצת הפונקציות הרציפות.

 

[MsPiggy]

מישהו יכול להסביר לי את זה?

כיוון שאני רק עכשיו סיימתי ללמוד מתמטיקה של תיכון ואין לי מושג על מה אתם מדברים, מישהו יכול להסביר לי את זה במושגים פשוטים? או לחלופין - לפי היגיון, בלי טרימינולוגיה... למשל 2 - אני הייתי מניחה שיש יותר מספרים טבעיים אי זוגיים, כי המספרים הטבעיים הזוגיים כאן מתחילים רק מ 13 ובגלל זה ההיגיון שלי אומר שיהיו יותר מספרים טבעיים אי זוגיים... אבל אולי בגלל שיש אינסוף כאלה אז זה אותו הדבר? אפשר הסבר...

 

[Rogue Dragon]

אמרת... וצדקת חלקית...

כאשר עסקינן בקבוצות של עצמים, ובמקרה הפרטי שלנו קבוצות של מספרים כגון מספרים טיבעיים, שלמים ממשים וכו וכו... אנו מבצעים הפרדה מאד קשוחה בין אם מדובר בקבוצה סופית של מספרים משמע כל המספרים השלמים בין 1 ל 100 (יש מאה כאלה לכן שהו מקרה סופי) לבין המקרה האין-סופי, כגון כל המספרים הממשיים בין 0 ל- 1 (קיימים אינסוף). יפה עד לכאן הכל ברור, אבל מדוע עושים הפרדה זו ?, משום שכאשר משווים שני קבוצות סופיות ושני קבוצות אין-ספויות המיקרים יכולים להראות פשוטים אבל הם הרבה יותר מורכבים... על מנת לא להתבלבל עם הפירוש הפורמלי של מה יש יותר, הגדירו מושג בשם "עוצמה", שמתאר את "גודל" הקבוצה בה אנו עוסקים, או במובן מסוים כמה איברים יש בה, לדוגמה עבור הדוגמה הסופית שהבאתי קודם נאמר כי עוצמתה שווה ל-100 עבור קבוצות אין סופיות הגדירו את מה שנקרא "א" (כן כן האות העיברית א) כאשר "א 0" (אלף אפס) היא העוצמה הנמוכה ביותר עבור קבוצות אין סופיות ומייצגת נגיד את קבוצת כל המספרים הטבעיים. מכאן הלכו הלאה והגדירו א1, א2, וכו... עכשיו יש כל מיני נפתולוים והתחכמויות של כל התורה הזו שלא כדאי להיכנס אליהם אבל, אני רק אציין שלקבוצת המספרים הממשיים מייחסים עוצמה שנקראת עוצמת הרצף הנקראת: C טוב אז יש לנו צורה לבטא גודל של קבוצה, אבל איך נקבע לכל קבוצה מה גודלה ??? טוב בשביל זה אמרו כי אם קבוצה מסויימת "שקולה" לקבוצה אחרת אז עוצמתן שוות, כאשר אני אומר שקולה הכוונה היא שיש פונקציה שלוקחת איבר מקבוצה אחרת ומעבירה אותו לקבוצה השנייה, וכן העובדה שהפונקציה תהיה חד-חד ערכית ועל (מקווה שאין צורך להסביר את זה). זהו עד לפה ההסבר הלא-לוגי במיוחד. כל הכתוב הנ"ל ועוד מסבירים למה אפשר לומר לדוגמה כי קבוצת המספרים הטיבעיים שקולה לקבוצת המספריים השלמים, אני פשוט מגדיר פונקיצה ששולחת מספרים טיבעיים זוגים לחיובים ומספרים טיבעיים אי-זוגיים למספרים שליליים טוב נו זה לא יצא כל-כך טריוויאלי, אם את צריכה עוד פירוט פשוט תבקשי

 

[The Ancient Mariner]

מנסה להבין משהו...

אם מדובר בקטע פתוח (והשאלה המקורית לא הגדירה קטע סגור) אז כל שתי קבוצות אין סופיות צריך להיות להן מספר איברים שווה... אני אראה את זה ככה: ניקח קבוצת מספרים טבעיים וקבוצת מספרים טבעיים זוגיים... האינטואציה כביכול תגיד לנו שיש יותר מספרים טבעיים, אבל ניתן לשים את הקבוצות בצורה הבאה, ככה שלכל איבר מקבוצה א´ יהיה איבר תואם מקבוצה ב´: 01,02,03,04,05,06,07 02,04,06,08,10,12,14 עכשיו כמובן שאם היינו מגדירים קטע סגור מסויים למשל {10,1} אז יש יותר מספרים טבעיים... אבל כאשר מדובר בקטעים פתוחים? כיצד ייתכן שקבוצה אינסופית אחת תהיה גדולה מהשנייה?

 

[Deathatred]

הוא התכוון

לקטע פתוח/סגור של מספרים ממשיים. כידוע, עוצמת כל המספריים הממשיים בין X לY כלשהם היא C או א (תלוי לפי איזה ספר אתם לומדים) וגדולה יותר מעוצמת הטבעיים (א0). ההוכחה לכך היא מסובכת למדיי.

 

[The Ancient Mariner]

שוב פעם...

בקטע סגור אני יכול להבין איך יכולה להיות קבוצה עם יותר איברים. אבל בקטע פתוח אני לא מסוגל להבין איך דבר כזה יכול לקרות (אני אזכיר שאנחנו מדברים על קבוצות אינסופיות). אם הכוונה היא בין x ל y כלשהם, אז למעשה מדובר בקטע סגור כלשהו, ואז זה ברור לי.

 

[The Ancient Mariner]

../images/Emo26.gif בבקשה להתייחס להודעה!../images/Emo36.gif

 

[Deathatred]

הבעייה שלך היא בגלל ההגדרה

קטע סגור בין A ל B מוגדר כרצף כל המספרים שבין A ל B כולל A ו B. קטע פתוח בין A ל B מוגדר כרצף כל המספרים שבין A ל B לא כולל A ו B. המינוח כאן די לקוי מאחר והפירוש האינטואטיבי שונה לגמרי מהפירוש של ההגדרה.

 

[The Ancient Mariner]

סליחה, אני אתקן את עצמי...

כשאמרתי קטע פתוח התכוונתי קטע (למעשה זה לא בדיוק קטע) מאינסוף למינוס אינסוף...

 

[MsPiggy]

תודה ../images/Emo22.gif

 

[בוביאס]

התשובות לכל השאלות

שלך, הן אינסוף. ידוע לנו שיש אינסוף מספרים רציונלים, אינסוף קווים הניתנים בתוך מישור נתון (למרות שמספיקים שניים כדי להגדירו), יש אינסוף פונקציות ממשיות רציפות, וכן על זה הדרך- יש אינסוף מקרים של הדברים ששאלת עליהם.

 

[Acid454]

זה ברור, אבל יש כל מיני סוגים של

אינסוף............

 

[אוילר]

פיתרון

1. אותו דבר 2. אותו דבר 3. אותו דבר 4. אותו דבר 5. אותו דבר 6. אותו דבר 7. ממשיים 8. אותו דבר 8. אותו דבר 10. אותו דבר 11. אותו דבר 12. אותו דבר 13. אותו דבר 14. פונק´ ממשיות