יש לי שאלה

[שוודי פריך וקל]

יש לי שאלה

מה קורה אם גוזרים פונקציה הרבה פעמים ? זה ברור מה קורה בפעם הראשונה והשניה, אבל מה קורה בפעם השלישית הרביעית והחמישית וה3000 ? הרי יש פונקציות שאפשר לגזור בלי סוף כמו X בחזקת אינסוף. או אפילו יותר פעמים E בחזקת X. כששאלתי את המרצה שלי למתמתיקה על הנושא היא אמרה ש"קורים דברים פנטסטיים !!!" ואם ישאר זמן בסוף השנה נדבר גם על זה. כשאתם משיבים לי, אנא מכם, תיהיו עדינים. אני לוקח רק קורס קטן במתמתיקה למדעי החברה.

 

[נועה לביא]

מה אתה חושב שקורה?

מקבלים את הנזגרת הk שלהם... ואין פונקציה x בחזקת אינסוף, מאחר ואינסוף הוא לא ממש מספר ממשי. התכוונתי לכתוב איזו הודעה סרקסטית על איזה ג'יני שיוצא מאיזו מנורה ברגע שגוזרים את הפונקציה בפעם ה50,000 שקורע לך דף מהמחברת ומצייר שם כפול אינטגרלים (בשביל לאזן, ובשביל שיהיה מכוער) אבל באמת שאני עייפה ולא ממש בטוחה אם אתה צוחק או רציני...

 

[שוודי פריך וקל]

אני רציני לחלוטין !

הרי לגזירה הראשונה ולגזירה השניה יש משמעות ויש להן שימוש, אולי גם לנגזרת שלישית יש שימוש. מי יודע ? לא אני, לכן אני שואל.

 

[huxj]

תשובה (בערך)

למה אתה חושב שלגזירה הראשונה ולשניה יש שימוש ולשלישית לא? מה כ"כ מיוחד בשלישית? תחשוב קצת... (יש מספיק משמעות בשביל כולן...) משמעות בפיסיקה: אם אתה גוזר (לפי הזמן) פונקציה שמתארת את המרחק כפונקציה של הזמן, הרי שהנגזרת הראשונה היא ה"מהירות", השניה היא "תאוצה" = שינוי המהירות, השלישית היא "שינוי התאוצה", וכו'... (דוגמא לא מדויקת ל)משמעות במתמטיקה: כל פונקציה f שגזירה אינסוף פעמים - למשל e בחזקת x, פולינום כלשהו או סתם כל פונקציה מוזרה שמתארת תנועה של חלקיק בפיזיקה - אפשר "לקרב" מסביב לנקודה x=a בעזרת פולינום מהצורה:

f(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)+(f''(a)/(2!))*(x-a)^2+(f'''(a)/(3!))*(x-a)^3+...​

כאשר n!=1*2*3*...*n. למשל:

e^x = e^a + (e^a)*(x-a) + ((e^a)/2)*(x-a)^2 +...​

נ.ב. אני מתנצל, בשמה, על תוקפנותה של נועה.

 

[טלמון סילבר]

דוגמה נוספת - החידה

שהיצעתי באחד השבועות הקודמים, ושאף אחד לא הצליח לפתור, נפתרת בקלי-קלות באמצעות משפט על הנגזרת ה-n-ית וההפרש ה-n-י. אזכיר את החידה: צריך להוכיח ש:

Σ{i=0,1,2,...,n} (-1)^i C(n,i) (x-i)^n = n!​

עבור כל מספר טבעי n ומספר כלשהו x, כאשר (C(n,i פירושו מספר הצירופים n על i.

 

[mazor1111]

גם לנגזרת השלישית

יש שימוש. למשל, אם הנגזרת הראשונה 0 בנקודה, ובאותה נקודה גם הנגזרת השניה 0, בודקים מה קורה בנקודה לנגזרת השלישית. ואם גם היא 0 -בודקים מה קורה ברביעית. למשל, כדי להחליטי האם בנקודה זאת יש קיצון או פיתול.

 

[freedom rider]

זה תלוי בנקודת המבט

יכול להיות שמישהו רואה שקורים דברים פנטסטיים, ואולי לא קורה כלום. לא צריכה בעיה להמשיך ולגזור את הפונקציה עוד ועוד עד אינסוף, ומה שקורה זה תלוי איזה פונקציה התחלת לגזור. אם תתחיל לגזור פולינום, אז בשלב מסויים הנגזרת תתאפס כולה, וכל הנגזרות שאחריה יהיו גם הן פונקציות אפס. אם תגזור סינוס, תקבל קוסינוס, שנגזרתו היא מינוס סינוס, נשנגזרתו היא מינוס קוסינוס שנגזרתו היא סינוס וכך הלאה עד אינסוף. אם תגזור את אי בחזקת x (לפי x) תקבל שוב את אי בחזקת x. ויש גם פונקציות שאם תגזור אותן תקבל כי הנגזרת אינה גזירה, ותיאלץ לעצור.

 

[BanjoKazooie]

נגזרת שאינה גזירה?

יש דבר כזה? אולי מישהו יכול לפרט קצת...

 

[נועה לביא]

בוודאי

נגזרת יכולה להיות לא רציפה בכלל, ולכן ודאי לא גזירה. יחד עם זאת, נקודות האי רציפות שלה חייבות להיות ממין שני. תוכל לחשוב על נגזרת כפונקציה (אינטגרבילית) בפני עצמה...

 

[נועה לביא]

בשביל לא לבלבל אף אחד

(אח"כ תכתבו את זה במבחן ותאשימו אותי

), לא כל פונקציה אינטגרבילית היא נגזרת (אם זה בטעות השתמע ממה שכתבתי).

 

[rainbow16]

למשל...

(1) חלקי (שורש של [מינוס {X בשנייה}]).... זה לא רציף לכל X, ולכן לא גזיר?

 

[1ca1]

אם הבנתי אותך נכון

1/sqrt(-x^2) לא מוגדר בכלל בממשיים כי x^2 תמיד חיובי ואז המינוס גורם לשלילי ואין שורש למספר שלילי ולא מוגדר => לא גזיר...​

 

[1ca1]

ד"א עוד פונקציה כזאת

כשמדובר על גזירות אומרים גזירות בנקודה (ההגדרה הידועה עם הlim והכל), וגזירות בתחום מסויים => גזירות בכל הנקודות בתחום כלומר גזירות בR זה גזירות בכל מספר ממשי כלשהו ולמשל

אינה גזירה ב0 כי הנגזרת מימין (של מספר הגדולים מאפס) היא 1 והנגזרת משמאל היא -1, וגבול קיים <=> 2 הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לכן הגבול (הנגזרת) לא קיימת באפס כמו כן קל להראות ש

רציפה ב0!!!

 

[rainbow16]

לא הבנתי את הדוגמא..

חח..

 

[1ca1]

זה אמור להיות ערך מוחלט

| X | זה ערך מוחלט של X, פשוט עם נצמיד את הדברים זה

... עכשיו אתה מבין?

 

[rainbow16]

לא ממש...

בצד אחד הנגזרת היא מינוס אחד, בצד אחד זה אחד... 2 הגבולות החד-צדדים שווים (?) => מסקנה, ב0 זה לא גזיר?.... הא?

 

[1ca1]

נגזרת זה גבול נכון?

וגבול קיים אם ורק אם 2 הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים נכון? מאחר שהגבול מימין זה אחד בצד השני זה מינוס אחד אומנם הגבולות קיימים, אך אינם שווים, לכן זה לא גזיר באפס...

 

[rainbow16]

חחח... טוב... לא הבנתי ../images/Emo13.gif

אבל לא משנה... אני לא אשגע אותך... חחחח.... הממ.. תגיד... אתה יכול לענות שניה על שאלה בפיזיקה? .. הניסוח: מכונית שמסתה 800kg נעה במהירות קבועה של 60km/hr כאשר היא עולה במדרון בקצב של 100m בכל דקה. מהו ההספק הנדרש לשם העליה? אני יודע שלך זה יהיה קל.. אז.... אם אתה יכול

 

[freedom rider]

יש יותר גרוע מזה

היה פעם איזה תרגיל באינפי ב, אני כבר לא זוכר באיזה נושא. נתבקשנו להוכיח משהו, ואחד הסטודנטים הביא במקום הוכחה דוגמא נגדית. המתרגל (פינצובר, למי שמכיר) התעניין בדוגמא, והסטודנט התחיל להסביר את הגודמא שלו. הוא הגדיר איזה פונקציה (בלי הגבלת הכלליות), הסתכל על הנגזרת שלה, ואמר כי הנגזרת כמובן אינטגרבילית-רימן. אה, אמר המתרגל - פה טעית. מי אמר שהנגזרת אינטגרבילית-רימן? אז יש דבר כזה: פונקציה גזירה שנגזרתה לא אינטגרבילית-רימן. אררררג (למעוניינים: יש דוגמא בספר real functuions מאת Geoff במדף 10 בספריה למתמטיקה בירושלים).

 

[snogal]

יהודה פינצ'ובר?