חידה

[Justin Angel]

התשובה

נניח שיש n נמלים. נניח שיש מוט באורך 1 מטר ומהירות הנמלים הן 1 מטר לדקה, כלומר כל דקה שעוברת נמלה עוברת מטר. עכשיו, השאלה מתייחסת למקסימום הזמן הדרוש לנמלה ליפול. זה אומר שצירוף המקרים הכי "מוקצן" למצב צריך לקרות. בואו נניח מצב של של נמלה אחת בקצה המוט הימני ונמלה נוספת. הנמלה בקצה המוט הימני הולכת והולכת להנאתה במשך דקה עד שהיא מגיעה לקצה המוט השמאלי שם היא נתקלת בנמלה השנייה שכיוונה מנוגד לשלה. ואז הנמלה הראשונה שהתחילה בקצה המוט הימני והגיע את כל הדרך לקצה המוט השמאלי עכשיו תסתובב בחזרה לדרכה לקצה המוט הימני. אבוי לנמלה המסכנה שלקח לה שתי דקות שלמות, אחד לכל כיוון של המוט. המקסימום שייקח לכל נמלה היא כמספר הנמלים המקסימלי שהיא עתידה להתנגש בהן ועוד המקסימום שהיא יכולה ללכת בהתחלה בלי להתנגש בנמלה אחת. במקרה הכי "מוקצן" הנמלה תתנגש ב(n-1) נמלים (כולן חוץ מעצמה). במצב זה גם נניח שהיא פוגשת כל אחת מהנמלים בקצה המוט המנוגד (ביחס לקצה המוט שהנמלה המסכנה באה ממנו). מה שאומר שלפי ההנחה של מטר לדקה ואורך הדרך המקסימלי הוא מטר, כל נמלה נוספת שכזאת תוסיף עוד דקה להליכתה של הנמלה המסכנה. במקרה הכי "מוקצן" הנמלה תוכל ללכת מטר שלם במשך דקה שלמה לפני שתפגע בנמלה נוספת. כלומר ייקח: (n-1) ועוד 1 קרי: n אני מקווה שצדקתי

 

[mary lou]

לא!!!

הרי שתי הנמלים, בשני הצדדים זזות, מה שאומר שהן יפגשו באמצע הדרך- ושוב זה יהיה דקה! אני חושבת שזה דקה- גם ניסיתי את זה על כמה מקרים (אפילו עם 10 נמלים...) וזה תמיד יוצא נכון, ואני ם די מבינה למה, אבל אין לי מושג איך לנסח את זה

 

[Fingertip]

לצערי גם אני מכיר...

אבל למען הסר ספק: כבר ניתנה כאן התשובה המספרית המדוייקת, אבל עוד לא ניתן הנימוק ה"יפה".

אהד.

 

[טלמון סילבר]

כבר היצעתי את החידה לפורום

"אתאיזם ודת", כי אפשר לומר שהפתרון שלה "פילוסופי": האם יש ערך לאישיותה האינדיווידואלית של הנמלה?

 

[saaron]

../images/Emo41.gif פתרון סופי ../images/Emo41.gif

אם הנמלים התחילו בשעה 8... בשעה 9 בוודאות לא תהיה שום נמלה על המקל

גם ב 10.... 11.......

 

[Halfbaked]

אתה יכול להוכיח את זה?

 

[ofir78]

ניראה לי שאני יכול

קודם כל שלום אני אופיר... ככה המצב הקיצוני הגרוע ביותר: שני נמלים כל פעם הולכות וניפגשות אחרי כל מפגש מסלולם מתארך מעט עד למפגש שלאחריו כל נמלה עוברת חצי מטרנקודת המפגש היא במרכז המוט כלומר, המסלול הארוך ביותר שכל נמלה עוברת הוא חצי מטר. לפי הנוסחא T=X/V X=0.5M=50CM V=1M/MIN=10CM/MIN T=50/10=5MIN 5 עצרת= 120 בגלל שמדובר בשתי נמלים מחלקים ב-2 וזה יוצא 60 דקות מקווה שלא יצאתי מפגר...

 

[Halfbaked]

המממ...

המהירות היא מאה (לא עשרה) סנטימטרים לדקה. וחוץ מזה, מה ההגיון מאחורי השימוש בעצרת? ומאין לך שזה המקרה הגרוע ביותר? אולי קיים מצב יותר גרוע, עם 17 נמלים שמתנגשות אחת בשניה בסדר מאד מסובך?

 

[ofir78]

לדעתי

העיקרון נכון... יש שלוש נקודות בשירטוט זה אומר שזה למצב של מקסימום נמלים... ציירתי חלק מהנמלים- הנמלים האחרונות שנשארות על המוט כי הן נימצאות במרכז, כלומר הם הכי "מסובכות"

 

[ofir78]

טוב טעיתי אני יודע למה....

זה היה טעות להשתמש בעצרת כי זה למספרים טבעיים...

 

[APT]

הצלחתי לפתור !!!

התשובה לחידה היא שלא יהיו נמלים על המוט בוודאות לאחר דקה, כלומר בשעה 8 ודקה. הוכחה: ניתן למעשה להסתכל על כל הנמלים על המקל כאילו היו שקופות, כאילו כל אחת יכולה לעבור דרך האחרת. זאת משום שכאשר נמלה מסויימת נתקלת באחרת שתיהן מחליפות כיוון ולמעשה הנמלה השניה כאילו ממשיכה את דרכה של האחרת. לדוגמא: נמלה מספר 1 נתקלת בנמלה מספר 2. שתיהן הופכות כיוון מיידית ולכן ניתן להסתכל על נמלה 2 כאילו היא נמלה אחת שהמשיכה ללכת ללא שום בעיות. כנ"ל גם לגבי נמלה 1 שהיא כאילו נמלה 2 שהמשיכה ללכת. לבסוף, אפשר לראות כל נמלה כאילו היא הולכת ישר ללא שום הפרעה על המקל. מכיוון שהדרך הארוכה ביותר שיכולה לעשות נמלה מסויימת היא מטר 1 (אורכו של המקל) והיא עושה זאת בזמן של דקה - כל הנמלים יפלו מהמקל בוודאות לאחר דקה אחת !! חידה יפה.

 

[Halfbaked]

כל הכבוד! ../images/Emo127.gif

ואם אין אנו רוצים להמעיט באישיותה של כל נמלה (תוך התייחסות לנקודה הפילוסופית שהעלה טלמון סילבר) אפשר לתת לכל אחת גרגר חול, ולבקש מהן להחליף את הגרגרים בעת ההתנגשות. אז כל גרגר חול נע בקו ישר במהירות מטר לדקה, ולאחר דקה לא ישארו גרגרי חול על המוט, וממילא נכון הדבר גם לגבי הנמלים עצמן.

 

[Fever2002]

פתרון יפה!