אז זה היה ככה:
סתם רשמתי את הריבועים 1, 4, 9, 16, 25,... אח"כ את ההפרשים: 3, 5, 7, 9, ... וכמובן שמתי לב שהתקבלה סדרה חשבונית: שורת ההפרשים השנייה (ההפרשים של ההפרשים): 2, 2, 2, ... אז ניסיתי את חזקות 3: 1, 8, 27, 64, 125,... ההפרשים: 7, 19, 37, 61, ... ההפרשים השניים: 12, 18, 24,... ההפרשים השלישיים: 6, 6, 6,... וההפרשים הרביעיים של חזקות 4 יצאו: 24, 24, 24,... והחמישיים של חזקת 5 יצאו: 120, 120, 120,... ואם נתחיל מחזקת 1, אז ההפרשים הראשונים יהיו: 1, 1, 1, ... אז העמדתי בשורה את המספרים: 1, 2, 6, 24, 120 וניסיתי למצוא הפרשים שלהם, ושום דבר מעניין לא יצא, אז ניסיתי את היחסים, שכמובן רואים אותם מייד, ורק אז(!) ראיתי את ה"עצרת". ניקח סדרה כלשהי:
a(1), a(2), a(3),...
שורת ההפרשים:
a(2)-a(1), a(3)-a(2), a(4)-a(3),...
ההפרשים השניים:
a(3)-2a(2)+a(1), a(4)-2a(3)+a(2),... :השלישיים a(4)-3a(3)+3a(2)-a(1),... :הבאים a(5)-4a(4)+6a(3)-4a(2)+a(1),...
וכו´. המקדמים נראים מוכרים? ובכן ההפרשים ה-n-יים של חזקות n שווים כולם n עצרת. וזה נכון לא רק כשמתחילים ממספר טבעי, אלא גם כשתחילים ממספר כלשהו x, מוסיפים 1 עד שמגיעים ל-x+n. או, אם מתחילים מ-x-n ומגיעים ל-x, וכך הצגתי את החידה (צמצמתי את שני האגפים ב-n עצרת). מוזמנים להוכיח!
