אקדמי יום שני

[1ca1]

אתה צודק אבל צריך טיפה להיזהר כאן

ברור שהפונקציות f:R->R+, g:R->R שמוגדרות ע"י f(x)=x^2, g(x)=x^2 אמורות להיות "שוות" בראסמי, אבל רשמית הן לא שוות כי אחת היא תת-קבוצה של RxR והשנייה של RxR+, שהן קבוצות שונות.

בתורת הקבוצות תגיד שהפונקציות האלה לא שוות (רק מהבעיה הפשוטה שהן לא מוגדרות מעל אותה קבוצה), בעוד שנניח באינפי בהיר ונהיר לכולם שהפונקציות שוות...

הנחתי מהסגנון של השואל שהוא דווקא מכוון לתחומי תורת הקבוצות ולכן עניתי כמו שעניתי.

 

[פעמיים פאי]

אז A=B

וגם range f = range g ?
אם זה מתקיים ולכל x בתחום f שלו שווה לg שלו אז f=g ?
מה עם C וD?

 

[פעמיים פאי]

תיקון - אז A=C

ומה עם B וD?

 

[1ca1]

אתה כנראה לא יודע מהי ההגדרה של פונקציה

פונקציה היא יחס חד-ערכי מ-A ל-B.

ולכן בכלל שתוכל להשוות שתי פונקציות (בצורה "רשמית"), שתיהן חייבות ללכת מ-A ל-B

 

[פעמיים פאי]

אני יודעת שפונקציה היא יחס חד-ערכי

אבל בשביל ההגדרה רשמתי שתי פונקציות בצורה הכללית כדי שתגידו לי מה צריך להתקיים.
כיחסים דווקא אין עניין בB שדיברת עליה, רק בטווח, ויחסים בינאריים שווים כשהתחומים שווים והטווחים שווים, ברור.
אבל פונקציות הן קצת יותר מיחסים כי כאן נכנסת הקבוצה B שאף-פעם לא הסבירו לי מה מטרתה, רק שהטווח מוכל בה.
אז השאלה שלי, מה צריך בשביל שיוויון? צריך B=D או לא?

 

[1ca1]

אם נצמדים להגדרות ה"רשמיות"

אז צריך גם B=D וגם A=C, ואז לבדוק שיוויון על האיברים בתחום.

יחסים בינאריים לא שווים בהכרח כשהתחומים שווים והטווחים שווים.
מה שאני אומר הוא שזה אבסורד לנסות להשוות יחסים בינאריים כשהתחומים ו/או הטווחים לא שווים.

זה כמו שתגידי שיש לי פונקציה מקבוצת התפוזים לקבוצת העגבניות, ופונקציה מקבוצת התפוזים לקבוצות הירקות, בשתיהן לכל תפוז אני מתאים עגבניה (אותה עגבניה בשני המקרים).
רשמית במקרה הזה, הפונקציה לא שוות, ולו רק מאחר שהיחס הבינארי המתאים במקרה הראשון הוא תת-קבוצה של תפוזים x עגבניות, ובשני הוא תפוזים x ירקות.

את צודקת שמשמעות הקבוצות B,D לא רבה בתורת הקבוצות (כל עוד לא מדברים על פונקציות הפוכות או משהו), ויותר מעניין לבדוק מהי התמונה של הפונקציה מאשר הטווח שלה, אבל זה מה יש מבחינת ההגדרות היבשות.

 

[פעמיים פאי]

אבל בדוגמה שלך שניהם תתי-קבוצות

של תפוזים x ירקות ובפרט גם של תפוזים x עגבניות.
יחס בינארי הוא קבוצה של זוגות סדורים, זה סך-הכל שיוויון קבוצות,
אם הן שוות יש "התאמת ערכים" ובנוסף התחום (קבוצת האיברים הימניים) שווה והטווח (השמאליים) שווה, למה לא?

 

[1ca1]

לפי ההגדרות הרשמיות לא

זה נכון שעגבניות זה תת-קבוצה של ירקות, אבל בהגדרת הפונקציה הפורמלית יש את ההבדל הזה...

בהגדרה כמו שאני כתבתי, הטווח לא שווה (פעם ירקות, ופעם עגבניות).

 

[פעמיים פאי]

למה אתה קורא טווח, לאוסף התמונות או לB?

ולסיכום, הפונקציה f=2n
מN לN לא שווה לפונקציה g=2n
מN לN הזוגיים?

 

[אורי769]

האם המושג יחס שקילות מוכר לך?

 

[פעמיים פאי]

כן, למה?

 

[אורי769]

כמה הערות

ראשית, אני דווקא סבור שלפי ההגדרה הפשוטה של פונקציה לפי תורת הקבוצות הפונקציות שרשמת הן שוות.

מה היא הגדרת השווין? X=Y אם ורק אם a in X <==> a in Y.

מה היא f=2n מבחינת תורת הקבוצות? זה קבוצת הזוגות הסדורים q (n,f) q. זה יוצא אותה הקבוצה בשני המקרים. הטווח אינו רלוונטי.


שנית, וזה אולי הנקודה החשובה, השאלה הזאת היא בעיתית כפי שהסביר 1ca1 ובעיני קצת לא מעניינת (אלף סליחות). בדיון מתמטי מושג השוויון הוא תלוי הקשר ותלוי תחום. אם יש שני דברים שחולקים תכונות שחשובות לנו והשוני ביניהם הוא בתכונות שלא מעניינות אותנו אז הם שווים. ייתכן שבהקשרים מסוימים זהות קבוצת הטווח היא מהותית ולכן נכלול אותה בהגדרת השוויון שלנו, אבל בדיונים אחרים לא נכלול. המושג יחס שקילות עושה בדיוק את העבודה הזאת. מה עושה שני משולשים ל"שווים"? ציירתי משולש על נייר ושכפלתי במכונת צילום. האם ההעתק שווה למקור? ואם הנייר נשאר על השולחן - האם המשולש בעוד שעה שווה לזה של עוד שעתיים? אלה שאלות שאי אפשר לענות עליהן כי צריך להגדיר מהו השוויון וזה תלוי בבעיה. אם מימד המקום והזמן מהותיים אז לא. אבל בדיון הגיאומטרי הקלאסי מגדירים יחס שקילות של חפיפה בין משולשים שזה למעשה שוויון בתכונות הגיאומטריות. אגב, גם בשפה המדוברת, אנו נוהגים להשתמש בשוויון באופן תלוי הקשר. מישהו לדוגמא, יכול לקרוא את התגובה שלי ולחשוב שהיא שווה לתחת והרי ברור שהוא לא באמת חושב שזה אותו הדבר. מה גם, שבאופן מובלע יש כאן הנחת שוויון בין כל התחתים באשר הם.

 

[פעמיים פאי]

רק רציתי לדעת מה ההגדרה לפי תורת הקבוצות לא חשבתי שזה יהיה עניין של דעה...
פשוט, אם מסתכלים על פונקציה כקבוצה ברור שהן שוות,
אבל פונקציה נקראת ומסומנת מA לB ולמה הB, רק לקישוט?

 

[אורי769]

זה לא עניין של דעה. זה עניין של הקשר

ו-B ממש לא לקישוט. כשאת מגדירה פונקציה, את צריכה להגדיר לאיפה היא שולחת את המקורות שלה. זה שלא כולם מתקבלים זה לא הופך את הקבוצה הזו לבלתי רלוונטית. לדוגמא:

משפט: לכל פונקציה f:R->R מונוטונית יש נקודות אי רציפות מסוג קפיצה בלבד.

זה שהפונקציה אינה על, לא אומר שלא חשוב לציין שהיא פונקציה על.

כמובן שהאמירה שלי שזה לא מעניין, היא לא כדי לבטל את עצם הדיון. זה נהיה מעניין ברגע שזה בהקשר כלשהו ואז גם התשובה נובעת ממהקשר.

 

[פעמיים פאי]

ברור לי שהיא לא לקישוט

לכן תהיתי, אם היא לא חשובה לשיוויון, אז מה ההבדל אם הגדרנו את הפונקציה f=2n לN או ל2N.
ואם זה לא עניין של דעה, אז מה התשובה לשאלה מתי פונקציות שוות?
בהקשר של פונקציות מקבוצה לקבוצה, לא כקבוצה של זוגות.

 

[1ca1]

אתה טועה

במקרה של f, זה יוצא קבוצת כל הזוגות zz (n,2n) zz בתוך NxN
במקרה של g, זה יוצא קבוצת כל הזוגות zz (n,2n) zz בתוך Nx2N

אלה קבוצות שונות בדיוק כמו שהקבוצה {0} בתוך {0,1,2,3} והקבוצה {0} בתוך {0,1} הן קבוצות שונות!

נכון שהקבוצות מצויות בהתאמה חח"על ביניהן, ואם תרצה שיכון "נחמד" (כתוצאה מכך ש-2N היא תת-קבוצה של N), אבל צריך לציין שמדברים על שיכון של Nx2N בתוך NxN (וד"א, השיכון הזה לא "טבעי" במובן המתמטי של הטבעיות, אפשר לשכן את 2N בתוך N בהמון צורות, לא רק בצורה הברורה, למשל אפשר להעביר לאי-זוגיים או משהו).

השאלה לא מעניינת בעיניך, אני בטוח שיש אנשים שבעיניהם זה מעניין.
בדיון ה"רשמי" של תורת הקבוצות, צריך זהות בין התחומים והטווחים בכלל להתחיל לדבר על שיוויון בין פונקציות.
כמו שציינתי, באנליזה למשל, לרוב לא יבדילו אם תרחיב את הטווח מעבר לתמונה, זה באמת לא מעניין אותם לרוב.

 

[אורי769]

הבהרות

מהמשפט האחרון אני מבין שלא הבנת אותי. זו כנראה אשמתי. לא טענתי שהבעיה אינה מעניינת אותי. טענתי שהבעיה לא מעניינת אם היא נשאלת ללא הקשר כלשהו. קח את הדוגמא שלך - מה זה אומר "שהקבוצה {0} בתוך {0,1,2,3} והקבוצה {0} בתוך {0,1} הן קבוצות שונות"? הן ודאי שוות בפני עצמן. שתי קבוצות הן שוות אם כל אחת מכילה את רעותה וזה המצב כאן. מאידך, כתת קבוצה של {0,1,2,3} היחידון {0} מהווה 25% מהכלל ואילו בקבוצה השניה הוא מהווה 50%. אז השאלה אם הקבוצות שוות תלויה בשאלה.

אני מוכן לקבל שבתור קונוונציה כוללים את הטווח בהגדרת השוויון של שתי פונקציות, אפילו הן שוות תחום ושוות בכל נקודה (אולי זה אפילו מעניין לשאול למה זאת הקונוונציה). אבל מה שאני טוען שממילא בהתאם לבעיה שאנו דנים בה אנחנו באופן מתבקש נבחר אם לדבוק בקונוונציה או לא. אתה בטח זוכר שלפני כמה שבועות שאל כאן מישהו על "איחוד של פונקציות". זה בדיוק אותו הסיפור. זה לא כ"כ עקרוני לשאול באופן תיאורטי מה ההגדרה המדוייקת של איחוד פונקציות אם אף אחד לא מאחד פונקציות לשום צורך. מאידך, כאשר מישהו מאחד פונקציות (והגולשת yaelal1 הביאה שם דוגמא שלא אמרה לי כלום) אז מן הסתם מאד ברור איך ולמה.

 

[1ca1]

שאלת השיוויון היא שאלה לגיטימית

הקבוצות הנ"ל לא שוות בפני עצמן, כי למשל קבוצה אחת סופרת את המקררים בבית שלך, וקבוצה שנייה סופרת את החדרים בבית שלך, וה-0 בשני המקרים מתייחס למשהו אחר...

מאחר שאנחנו עוסקים בהגדרות אבסטרקטיות של קבוצות כאן, שזה תחום אבסטרקטי וטכני (יש שיגידו יבש, אבל חיים תיכף יתעצבן כאן

), צריך לדייק במילים.
מאחר שפונקציה היא מקרה פרטי של יחס, ומאחר שיחס חי מעל קבוצת זוגות סדורים, ומאחר שזוג סדור חי במכפלה קרטזית, אז צריך שניים לטנגו במכפלה קרטזית, ולכן חובה כאשר כותבים פונקציה לציין את הטווח שלה.

לגבי המקרה של טווחים משוכנים אחד בשני, בראסמי אתה צודק, ברשמי אני צודק, מאחר שכל הנושא בתורת הקבוצות הוא חשיבה אבסטרקטית ולא להתפס למהות הקבוצה עצמה, כפי שהדוגמא שלי הראתה.

מה שאתה אומר, וזה הגיוני מאוד, הוא שאין הבדל ממשי בין הטווח לתמונה.
זה נכון בהרבה תחומים במתמטיקה (כמו שכתבתי, באנליזה), אבל בתורת הקבוצות, יש חשיבות לדיוק הזה (למשל בהתאמות חח"ע ועל, עצם העובדה שמדברים על היות פונקציה על, מראה שאתה מתייחס גם לתמונה וגם לטווח).
אין כאן עניין של קונבנציות, אלא הגדרות בתורת הקבוצות.

מה שאולי אתה מחפש זה הגדרות כמו של פונקציות ב-L^p(X) או משהו, ששם יש "קונבנציה" אם תקרא לזה ככה של שיוויון בין פונקציות (כ.ב.מ).
אז שמה מניחים מראש שהפונקציות הן מ-X ל-C, ומגדירים כמו שאמרת יחס שקילות לשיוויון ביניהן (יש קבוצה ממידה מלאה כך שהפונקציות מזדהות עליה).
השיוויון לרשום כעת f=g, איננו! שיוויון במובן המתמטי של השיוויון, ולמעשה, כל עוד יש לך קבוצות ממידה אפס לא טריוויאליות, זה אף פעם לא יהיה שיוויון, למרות ה-abuse of notation המטורף שרץ כאן.
מה שכן צריך לכתוב זה f+N=g+N כאשר N מסמל פה את יחס השקילות, וזה בעצם שיוויון בין קוסטים (כלומר, קבוצות).
הדבר הזה כבר ניתן לפירוש מתמטי (כשיוויון של יחסים, כלומר קבוצות).

 

[1ca1]

מבחינת תורת הקבוצות, לא

הטווח היא הקבוצה B, אוסף התמונות הוא התמונה של הפונקציה. התמונה היא תת-קבוצה של B, אבל לא בהכרח כל B. כאשר היא כל B, הפונקציה נקראת על B.

 

[פעמיים פאי]

הרגשתי שאנחנו לא מדברים על אותו "טווח"

לפי מה שלמדתי הטווח של f והתמונה של f זה אותו דבר
ולB אין שם והתייחסנו אליה רק בפונקציות על.