אתה משתמש בדפדפן מיושן. יתכן והאתר הנוכחי יוצג באופן שגוי, כמו כן אתרים אחרים ברשת.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
אקדמי יום שני
- פותח הנושא Us3r
- פורסם בתאריך
העלאת מטריצה לכסינה בחזקה גבוהה
אני יודע שהכלל הוא כך:
http://up354.siz.co.il/up3/ytwiokzvmmvv.png
מישהו בבקשה יכול לתת לי דוגמה מספרית? משהו הכי מינימלי, מטריצה 2 על 2.
ממש יעזור לי.
תודה!
אני יודע שהכלל הוא כך:
http://up354.siz.co.il/up3/ytwiokzvmmvv.png
מישהו בבקשה יכול לתת לי דוגמה מספרית? משהו הכי מינימלי, מטריצה 2 על 2.
ממש יעזור לי.
תודה!
לא ברור מה אתה מבקש
שלום,
איזה דוגמא אתה מחפש? אם אתה מחפש דוגמא לכלל הזה, אז הוא נכון לכל מטריצה לכסינה. אז פשוט תקח מטריצה לכסינה 2 על 2. תלכסן אותה, תמצא את המטריצה P ואת ההפוך שלה ואז תוכל לבדוק את הכלל נאמר על העלאה בריבוע.
לדוגמא, הנה מטריצה
1 1
4 2-
תעלה אותה בחזקת 3 בעזרת הטכניקה הזו.
שלום,
איזה דוגמא אתה מחפש? אם אתה מחפש דוגמא לכלל הזה, אז הוא נכון לכל מטריצה לכסינה. אז פשוט תקח מטריצה לכסינה 2 על 2. תלכסן אותה, תמצא את המטריצה P ואת ההפוך שלה ואז תוכל לבדוק את הכלל נאמר על העלאה בריבוע.
לדוגמא, הנה מטריצה
1 1
4 2-
תעלה אותה בחזקת 3 בעזרת הטכניקה הזו.
הסבר למה שאני מבקש
אני יודע שהכלל נכון לכל מטריצה לכסינה.
אני יודע איך ללכסן, ואיך למצוא את P ואת P^-1, אבל את ההעלאה בחזקה לא הבנתי איך עושים.
וזאת הסיבה שאני מבקש דוגמה מספרית קצרצרה כדי שאבין.
עשיתי את כל השלבים על המטריצה שהבאת, אני מצרף את הקובץ.
סה"כ אני שואל איך לצורך העניין מעלים אותה בשלישית.
תודה מראש
(אני יודע שנהוג להשתמש בלמדא, השתמשתי באות אחרת)
אני יודע שהכלל נכון לכל מטריצה לכסינה.
אני יודע איך ללכסן, ואיך למצוא את P ואת P^-1, אבל את ההעלאה בחזקה לא הבנתי איך עושים.
וזאת הסיבה שאני מבקש דוגמה מספרית קצרצרה כדי שאבין.
עשיתי את כל השלבים על המטריצה שהבאת, אני מצרף את הקובץ.
סה"כ אני שואל איך לצורך העניין מעלים אותה בשלישית.
תודה מראש
(אני יודע שנהוג להשתמש בלמדא, השתמשתי באות אחרת)
תביט שוב בנוסחא
יש לך מטריצה A. היא לכסינה. צורתה האלכסונית היא D ומטריצת המעבר היא P.
אז A=PDP^-1
נניח אתה רוצה להעלות את A בחזקה גבוהה מאד. נניח A^100. לעשות את החשבון הזה ישירות זה הרבה עבודה. לכפול מטריצות זה הרבה עבודה. מילא מטריצת 2X2 אבל תדמיין ש-A מטריצה 10X10 נגיד.
אז מה אתה עושה? מוצא את D ואת P. ומשתמש בנוסחא הבאה
Aⁿ = PDⁿP^-1
זאת בדיוק הנוסחא שצרפת. D היא אלכסונית אל קל להעלות אותה בחזקה - פשוט עושים חזקה לכל איבר באלכסון. אח"כ מה שנשאר זה לכפול ב-P ובל-P^-1 שזה סה"כ לעשות כפל מטריצות פעמיים.
יש לך מטריצה A. היא לכסינה. צורתה האלכסונית היא D ומטריצת המעבר היא P.
אז A=PDP^-1
נניח אתה רוצה להעלות את A בחזקה גבוהה מאד. נניח A^100. לעשות את החשבון הזה ישירות זה הרבה עבודה. לכפול מטריצות זה הרבה עבודה. מילא מטריצת 2X2 אבל תדמיין ש-A מטריצה 10X10 נגיד.
אז מה אתה עושה? מוצא את D ואת P. ומשתמש בנוסחא הבאה
Aⁿ = PDⁿP^-1
זאת בדיוק הנוסחא שצרפת. D היא אלכסונית אל קל להעלות אותה בחזקה - פשוט עושים חזקה לכל איבר באלכסון. אח"כ מה שנשאר זה לכפול ב-P ובל-P^-1 שזה סה"כ לעשות כפל מטריצות פעמיים.
תורת הקבוצות - פונקציות אפייניות וקבוצת החזקה
בספר של תורת הקבוצות של הפתוחה מביאים הוכחה יפה לכך שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי. ההוכחה מסתמכת על כך שיש התאמה חד חד ערכית ועל
בין קבוצת החזקה של U לקבוצת כל הפונקציות האפייניות על U (דהיינו מ- U ל -{0,1}),בהסתמך על ההתאמה הנ"ל נטען שם שדי להוכיח שהפונקציה האפיינית של (AΔ(BΔC ביחס ל- U
שווה לפונקציה האפיינית של AΔB)ΔC) ביחס ל- U כדי להוכיח ש- AΔB)ΔC)=(AΔ(BΔC.
עכשיו, בוא נאמר ש"אני מסוגל להאמין לזה" וזה נשמע לי טוב ונכון, אבל כשאני מנסה לנמק לעצמי למה זה נכון, או אם הייתי מתבקש לשכנע בזה מישהו אחר הייתי מתקשה.
אקיצר, נכון יש התאמה חח"ע ועל, סוג של איזומורפיזם, אבל זה לא בדיוק איזומורפיזם, אז למה זה נכון?
בספר של תורת הקבוצות של הפתוחה מביאים הוכחה יפה לכך שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי. ההוכחה מסתמכת על כך שיש התאמה חד חד ערכית ועל
בין קבוצת החזקה של U לקבוצת כל הפונקציות האפייניות על U (דהיינו מ- U ל -{0,1}),בהסתמך על ההתאמה הנ"ל נטען שם שדי להוכיח שהפונקציה האפיינית של (AΔ(BΔC ביחס ל- U
שווה לפונקציה האפיינית של AΔB)ΔC) ביחס ל- U כדי להוכיח ש- AΔB)ΔC)=(AΔ(BΔC.
עכשיו, בוא נאמר ש"אני מסוגל להאמין לזה" וזה נשמע לי טוב ונכון, אבל כשאני מנסה לנמק לעצמי למה זה נכון, או אם הייתי מתבקש לשכנע בזה מישהו אחר הייתי מתקשה.
אקיצר, נכון יש התאמה חח"ע ועל, סוג של איזומורפיזם, אבל זה לא בדיוק איזומורפיזם, אז למה זה נכון?
בבקשה
עדיף לא להשתמש במונח איזומורפיזם ל"סתם קבוצות", אם מדובר בקובצות סדורות אז אפשר, אבל לא סתם כך, סתם כך אומרים העתקה שומרת עוצמה או חח"על וכו'.
להגיד איזומורפיזם בקבוצות סופיות אומר שלכל איבר בצד אחד, יש איבר אחד ויחיד בצד השני שמתאים לו.
אז נכון שלכאורה מדובר כאן רק בהתאמה מספרית (=שיוויון עוצמות), אבל מה שהם בונים שם בספר זה "ממש התאמה", כלומר לא רק מסתכלים על המספר, אלא ממש לכל פונקציה אופיינית מתאימים קבוצה ולהיפך, לכל קבוצה הם מתאימים פונקציה.
עכשיו ההוכחה המלאה.
אם יש תת-קבוצה V ב-U, יש את הפונקציה האופיניית X_V שלה.
ולהיפך, אם יש פונקציה אופיינית X כלשהי, נגדיר את supp(X) להיות איפה שהיא לא מתאפסת, זאת תת-קבוצה של U.
ההתאמה היא חח"ע ועל, תוכיח את זה לעצמך בקלות.
עכשיו, נניח שיש לי את A הפרש סימטרי B.
איך נראית הפונקציה האופיינית שלה?
zz X_{A sym-diff B}=X_{A}(1-X_{B})+X_{B}(1-X_{A}) zz
מדוע?
אם האיבר ב-A הוא ייתן לי X_{A}=1, כלומר האיבר השני יתאפס, ואז בודקים אם הוא גם ב-B, אם כן, הכל ייתן לי אפס, אחרת, הוא לא ב-B ואז zz 1-X_{B}=1-0=1 zz ומקבלים אחד.
עכשיו חשב מה זה zz X_{(A sym-diff B) sym-dif C)} zz
ולעומת זאת את
zz X_{A sym-diff (B sym-diff C)} zz
(ע"י ממש לפתוח את הסוגריים כמו שצריך בבביטוי של הפונקציה האופיינית, ששם זה כפל של פונקציות, שאנחנו יודעים שהוא אסוצייטיבי והכל), ותקבל את הדרוש.
עדיף לא להשתמש במונח איזומורפיזם ל"סתם קבוצות", אם מדובר בקובצות סדורות אז אפשר, אבל לא סתם כך, סתם כך אומרים העתקה שומרת עוצמה או חח"על וכו'.
להגיד איזומורפיזם בקבוצות סופיות אומר שלכל איבר בצד אחד, יש איבר אחד ויחיד בצד השני שמתאים לו.
אז נכון שלכאורה מדובר כאן רק בהתאמה מספרית (=שיוויון עוצמות), אבל מה שהם בונים שם בספר זה "ממש התאמה", כלומר לא רק מסתכלים על המספר, אלא ממש לכל פונקציה אופיינית מתאימים קבוצה ולהיפך, לכל קבוצה הם מתאימים פונקציה.
עכשיו ההוכחה המלאה.
אם יש תת-קבוצה V ב-U, יש את הפונקציה האופיניית X_V שלה.
ולהיפך, אם יש פונקציה אופיינית X כלשהי, נגדיר את supp(X) להיות איפה שהיא לא מתאפסת, זאת תת-קבוצה של U.
ההתאמה היא חח"ע ועל, תוכיח את זה לעצמך בקלות.
עכשיו, נניח שיש לי את A הפרש סימטרי B.
איך נראית הפונקציה האופיינית שלה?
zz X_{A sym-diff B}=X_{A}(1-X_{B})+X_{B}(1-X_{A}) zz
מדוע?
אם האיבר ב-A הוא ייתן לי X_{A}=1, כלומר האיבר השני יתאפס, ואז בודקים אם הוא גם ב-B, אם כן, הכל ייתן לי אפס, אחרת, הוא לא ב-B ואז zz 1-X_{B}=1-0=1 zz ומקבלים אחד.
עכשיו חשב מה זה zz X_{(A sym-diff B) sym-dif C)} zz
ולעומת זאת את
zz X_{A sym-diff (B sym-diff C)} zz
(ע"י ממש לפתוח את הסוגריים כמו שצריך בבביטוי של הפונקציה האופיינית, ששם זה כפל של פונקציות, שאנחנו יודעים שהוא אסוצייטיבי והכל), ותקבל את הדרוש.
שאלת לינארית 2- בתקווה שעד הסופ"ש לא יהיו עוד
תהי A מטריצת ממשית מסדר 2X2 ללא ערכים עצמיים. יהי P(X) zz פולינום כלשהו מעל R. הוכח שP(A)=0 או ש P(A) zz מטריצה הפיכה.
אז הראשון מתקיים אם P מתחלק בפולינום המינימלי של A. השאלה מתי השני...
ניתן לומר ש A הפיכה (אין לה ע"ע אז גם 0 לא ע"ע) ולכסינה מעל C. השאלה איך זה עוזר לגבי P(A) zz?
תודה!
תהי A מטריצת ממשית מסדר 2X2 ללא ערכים עצמיים. יהי P(X) zz פולינום כלשהו מעל R. הוכח שP(A)=0 או ש P(A) zz מטריצה הפיכה.
אז הראשון מתקיים אם P מתחלק בפולינום המינימלי של A. השאלה מתי השני...
ניתן לומר ש A הפיכה (אין לה ע"ע אז גם 0 לא ע"ע) ולכסינה מעל C. השאלה איך זה עוזר לגבי P(A) zz?
תודה!
הדרך היחידה אני חושב שמתאימה לפירוש היא
שהתבנית אנאיזוטרופית (anistropic form), כלומר אין וקטורים לא טריוויאליים כך ש- q(v)=0.
טוב אם התבנית היא איזוטרופית, אז L לא תת-מרחב.
מדוע? לכסן את התבנית, וזה ברור, קח וקטור עם קוארדינטה אחת קטנה בציר שלילי, אבל הרבה קוארדינטות בצירים החיוביים, כך ש- q(v)>=0.
ואז גם הוקטור עם כל הקוארדינטות בצירים החיוביים נמצא ב-q(u)>=0, ולכן גם ההפרש שלהם אמור להיות, אבל ההפרש שלהם בחלק השלילי של המרחב.
האיזוטרופיות מבטיחה צירים שליליים וחיוביים, כי אם כולם היו למשל חיוביים, אז הייתה מקבל בעצם נורמה.
[הערה - אני מניח כאן שהתבנית היא לא מנוונת, לא רוצה צירים עם אפס].
ולכן זאת סתירה להנחה ש-L תת-מרחב, ולכן q היא אנאיזוטרופית..
שהתבנית אנאיזוטרופית (anistropic form), כלומר אין וקטורים לא טריוויאליים כך ש- q(v)=0.
טוב אם התבנית היא איזוטרופית, אז L לא תת-מרחב.
מדוע? לכסן את התבנית, וזה ברור, קח וקטור עם קוארדינטה אחת קטנה בציר שלילי, אבל הרבה קוארדינטות בצירים החיוביים, כך ש- q(v)>=0.
ואז גם הוקטור עם כל הקוארדינטות בצירים החיוביים נמצא ב-q(u)>=0, ולכן גם ההפרש שלהם אמור להיות, אבל ההפרש שלהם בחלק השלילי של המרחב.
האיזוטרופיות מבטיחה צירים שליליים וחיוביים, כי אם כולם היו למשל חיוביים, אז הייתה מקבל בעצם נורמה.
[הערה - אני מניח כאן שהתבנית היא לא מנוונת, לא רוצה צירים עם אפס].
ולכן זאת סתירה להנחה ש-L תת-מרחב, ולכן q היא אנאיזוטרופית..
אתה חושב יותר מדי
פרק את הפולינום למכפלה של לינאריים ושל ריבועיים.
הלינאריים הם בעצם x-c כלומר A-cI כאשר מציבים את A בהם, וזה תמיד הפיך, אחרת הדטרמיננטה של זה הייתה אפס כלומר c ע"ע.
אז הבעיה היא לבחון את הגורמים הריבועיים.
אם במקרה אחד מהם יוצא הפולינום האופייני (ששווה למינימלי במקרה זה), אז תקבל שהגורם הזה מתאפס (לפי קיילי-המילטון) ולכן הכל מתאפס ולכן P(A) לא הפיך.
אם אף אחד מהם לא המינימלי, אז מההגדרה ההצבה של המטריצה שם לא מתאפסת.
נניח האופייני הוא x^2+ax+b וקיבלת פולינום חדש x^2+cx+d אז תכתוב כך
zz (x^2+cx+d-[x^2+ax+b])+[x^2+ax+b] zz
עכשיו הגורם הימני, שמציבים בו את A, הוא מתאפס מקיילי-המילטון.
לגבי השני, הוא שווה בעצם ל-
zz (c-a)x+(d-b) zz
ולכן הוא הפיך (הוא לא יהיה הפיך אמ"מ c=a,d=b, כלומר x^2+cx+d=x^2+ax+b שזה לא המקרה שבו אנחנו דנים כמו שכתבתי).
פרק את הפולינום למכפלה של לינאריים ושל ריבועיים.
הלינאריים הם בעצם x-c כלומר A-cI כאשר מציבים את A בהם, וזה תמיד הפיך, אחרת הדטרמיננטה של זה הייתה אפס כלומר c ע"ע.
אז הבעיה היא לבחון את הגורמים הריבועיים.
אם במקרה אחד מהם יוצא הפולינום האופייני (ששווה למינימלי במקרה זה), אז תקבל שהגורם הזה מתאפס (לפי קיילי-המילטון) ולכן הכל מתאפס ולכן P(A) לא הפיך.
אם אף אחד מהם לא המינימלי, אז מההגדרה ההצבה של המטריצה שם לא מתאפסת.
נניח האופייני הוא x^2+ax+b וקיבלת פולינום חדש x^2+cx+d אז תכתוב כך
zz (x^2+cx+d-[x^2+ax+b])+[x^2+ax+b] zz
עכשיו הגורם הימני, שמציבים בו את A, הוא מתאפס מקיילי-המילטון.
לגבי השני, הוא שווה בעצם ל-
zz (c-a)x+(d-b) zz
ולכן הוא הפיך (הוא לא יהיה הפיך אמ"מ c=a,d=b, כלומר x^2+cx+d=x^2+ax+b שזה לא המקרה שבו אנחנו דנים כמו שכתבתי).
פעמיים פאי
New member
מהי ההגדרה לשיוויון פונקציות?
f מA לB
g מC לD
מתי f=g ?
f מA לB
g מC לD
מתי f=g ?
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.