האבחנה מאוד חשובה
כי בסדרה יש מספר בר מניה של אברים (לכל היותר). לשם התחלה, סלח לי שאיני מגדיר קבוצה - אך בוא נעזוב את זה בצד לרגע, ונגדיר מה זה אומר שבשתי קבוצות יש אותו מספר של אברים. מספר האברים של קבוצה מובע בגודל מתמטי הקרוי "עוצמה" (Cardinality). לשתי קבוצות A, B ישנה אותה עוצמה אם קיימת פונקציה f מ-A ל-B כך ש: - לכל איבר ב-B קיים איבר ב-A הממופה אליו ע"י הפונקציה. כלומר לכל איבר b ב-B קיים איבר a ב-A כך ש:
f(a) = b
- איברים שונים ב-A ממופים לאברים שונים ב-B. כלומר לכל a1, a2 ב-a, אז:
f(a1) = f(a2) -----> a1 = a2
אם קיימת פונקציה המקיימת את שני התנאים הנ"ל, לשתי הקבוצות תהיה אותה עוצמה. אם קיימת פונקציה המקיימת רק את התנאי השני ולא הראשון, אז העוצמה של B גדולה או שווה לעוצמה של A. אם קיימת פונקציה המקיימת רק את התנאי הראשון ולא השני, אז העוצמה של B קטנה או שווה לעוצמה של A. בחן את הגדרה זו. הבן שלקבוצות סופיות אכן היא עובדת באופן אינטואיטיבי. מספר אבחנות לגבי כמה קבוצות אינסופיות: - העוצמה של כל קבוצה אינסופית גדולה או שווה לעוצמה של קבוצת המספרים הטבעיים. מכאן נובע שהמספרים הטבעיים היא הקבוצה בעלת העוצמה הנמוכה ביותר. עוצמה זו קרויה "בת מניה" או א0. - קבוצת המספרים השלמים היא בת מניה (כלומר עוצמתה שווה ל-א0). - קבוצת המספרים הרציונליים היא בת מניה (כלומר עוצמתה שווה ל-א0). - עוצמת המספרים הממשיים גדולה ממש (לא רק גדולה או שווה) מ-א0. חשוב על אלו, נסה להוכיח אותם, ואם תתקל בבעיה, אנא שאל. כך מגיעה האינטאיציה (זה לוקח זמן לכולם, חוץ מלשהרון שלח, אולי). טל.
