zzz 1/a + 1/b = 1/c

[עריסטו]

והיום, ילדים, נחקור את המשוואה zzz 1/a + 1/b = 1/c (כאשר a, b, c מספרים טבעיים).
ברור שאם השוויון הנ"ל מתקיים וכופלים את a, b, c בקבוע טבעי כלשהו, מקבלים עוד פתרון, לכן נתעניין רק בפתרונות "פרימיטיביים" בהם המחלק המשותף המקסימלי של a, b, c הוא 1. למשל:
1/30 + 1/70 = 1/21
הוכיחו:
אם zzz 1/a + 1/b = 1/c (כאשר a, b, c מספרים טבעיים והמחלק המשותף המקסימלי של a, b, c הוא 1) אז קיימים מספרים טבעיים זרים u, v כך ש-
a = u(u+v)
b = v(u+v)
c = uv
בדוגמה הנ"ל u = 3, v = 7.

 

[הפרבולה1]

יהיה zzz k=GCD(a,b) zzzz ( k הוא המחלק המשותף הגדול ביותר של a, b )

אם k הוא המחלק המשותף הגדול ביותר של a b אז קיימים v u טבעיים זרים כך ש a=k*u b=k*v.
zzz c=a*b/(a+b) = k^2*u*v/k*(u+v) = k*u*v/(u+v) zzz
בגלל ש c שלם אז u+v מחלק את k , בנוסף בגלל ש a b c אין מחלק משותף שגדול מ 1 נובע k=u+v
ולכן a=(u+v)*u b= (u+v)*v

אגב רואים גם ש a+b=(u+v)^2

 

[עריסטו]

נכון
ודרך אגב לא רק a+b הוא ריבוע אלא גם a-c ו- b-c.

 

[הפרבולה1]

ודרך אגב לא רק a+b הוא ריבוע אלא גם a-c ו- b-c.

אכן קל לראות ש b-c = v^2 a-c = u^2