Zeno vs. Ockham

[מולוקו]

ראשית, טעות נפוצה מונחת בבסיס

הרעיון לפתור את הפרדוקס. הרעיון וההיגוי הנכון צריך להיות לקיים את הפרדוקס. זינון תלמידו ומאהבו של פרמנידס אבינו העלה פרדוקסים, להמשיל את המושא הטוטאלי כפי שפרמנידס טען לקיומו. כאשר מבטלים את התנועה יש לפרדוקסים הללו משקל, אבל בתנועה אין להם שום משמעות. {את זה צריך לזכור!} 1. אכילס והצב. 2. החץ. באכילס והצב טען זינון כי אם יקבל הצב יתרון מרחק על אכילס, האחרון לא יצליח לעולם להשיג אותו בתחרות ריצה. אין לי שום בעיה לפתור את העניין, נעמיד רץ מהיר וניתן לצב פור חצי מטר, עם מהירותו של הרץ 10 קמ"ש ומהירותו של הצב מטר לשעה, הרי תוך שניה יעקוף הרץ את הצב. פיתרון אמפירי פשוט. זה אמנם פיתרון אבל לא ביסוס הפרדוקס. לייבניץ ניסה לקיים את הפרדוקס על ידי טור חשבוני יורד, זה מסביר את העניין בערך. פרדוקס החץ - מחלק את המרחק למטרה לאין סוף קטעים, אילו לא היה קשר בין הקטעים הרי החץ היה עומד במקום. מובן מאליו כי גם כאן כל ילד יוכל לפתור את הפרדוקס בדרך של תצפיות וניסויים {אמפירית}.אריסטו קיים את הפרדוקס אז בטענה שיש מעבר בין הקטעים לכן החץ יגיע למטרתו. אחרית דבר - פרמנידס וזינון הביאו את הפילוסופיה למבוי סתום בהנחת המושא הטוטאלי, סוקרטס ואפלטון המשיכו את הפילוסופיה על ידי תורת האידאות והחלשת חוק הסתירות.

 

[Grimsom]

קווי מתאר

הניסוח של אוקהם ממש דומה! גם הוא מדבר על תנועה רציפה, בה הסובייקט מתאים נקודות זמן לנקודות מקום. אוקהם בדיוק טוען כנגד זנון שהמרחב אינו אינסוף נקודות חסרות מימד. המרחב הוא רציף, וככזה ניתן לחלוקה לאינסוף נקודות ע"י סובייקט. החלוקה היא סובייקטיבית ולא ממשית. עם זאת - באמת יש כאן בעיה. קשה לי לראות, כיצד ניתן אז לטעון שחפצים מתחילים ומסתיימים בנקודות מסויימות (טענה שאוקהם טוען - בעקבות אריסטו, הוא מגדיר מקום כגבולותיו של אובייקט).

 

[בוהה ניכחו]

הפרדוקס, כפי שהוצג פה,

איננו עוסק בנקודות אלא בקטעים. הוא קיים גם אם לא נתאר קו ישר כמורכב מנקודות. חצי מרחק, מחצית חציו, מחצתית מחצית חציו, וכן הלאה........

 

[אמיר96]

עדיין

מדובר במספר אינסופי של נקודות (הנקודות שמגדירות את קצות הקטעים), וזה לא משנה אם נוסיף גם את כל שאר הנקודות של הישר הממשי. חוץ מזה, שאפשר להגיע לפחות לכל המספרים הרציונליים אם נשנה למשל את מחצית הקטע לשליש הקטע וכו.

 

[בוהה ניכחו]

לא מבין את טענתך

קראתי שוב את הנאמר בהודעה הראשית פה. לא מדובר בנקודות אלא בקטעים. שנחצה קטע, ונחצה את מחציתו, ואחר כך שוב את מחצית מחציתו וכן הלאה וכן הלאה - לעולם לא נגיע לקטע שאורכו כאורך נקודה. משמע 0.

 

[אמיר96]

במתמטיקה קיים מושג "הישר הממשי"

שכולל בתוכו את כל הנקודות הרציונליות, ובנוסף לכך גם את כל הנקודות הנקראות אירציונליות. הפארדוקס מתאר חלוקה אינסופית מסוימת של חלק מהישר הממשי. החלוקה היא לקטעים, אבל גם הנקודות המפרידות בין הקטעים הן תאור של החלוקה הזאת. כלומר יש פה הנחה שקיימות במציאות אינסוף נקודות( הן אותו הנקודות בהן נמצא החץ לאחר שעבר כל קטע) שהן: חצי,רבע,שמינית וכו. בהנחה,שאין משהו מיוחד בחלוקה זאת, אז אפשר לחלק גם אחרת, כך שיגדירו את החלוקה הנקודות: שליש,תשיעית וכו. כך נובעת מן הפארדוקס ההנחה שקיימות במרחב כל הנקודות הרציונליות. עכשיו, לגבי ההבדל בין כל הנקודות הרציונליות, לכל הנקודות הממשיות - זה כבר לא כל כך חשוב לעיניינו, היות שגם כל הנקודות הרציונליות מקיימות את התכונה - שבין כל שני מספרים רציונליים, קיימים אינסוף מספרים רציונליים.

 

[sheketz]

ממשיים ורציונליים

יש הבדל בין ממשיים לרציונלים והוא בדיוק כאן. אם גביל עצמנו למספרים רציונליים, אזי יכולה להיות סדרה עולה וחסומה מלעיל של מספרים רציונליים שאין לה גבול - כלומר יתכן שאין שום נקודה בה אכילס מגיע אל הצב. זהו בדיוק הדבר שגילו הפיתגוראים כאשר ניסו למצוא את שורש שתים, ואולי זוהי אחת ההצדקות של הפרדוקס של זנון. לעומת זאת במספרים ממשיים לכל סדרה עולה וחסומה יש גבול.

 

[בוהה ניכחו]

אני קצת מאבד כיוון

האם לא כל מספר ממשי הוא גם ראציונאלי? משמע: ניתן לביטוי כמנה של שני מספרים שלמים?

 

[sheketz]

לא - למשל שורש 2...

ראה תגובתי למטה.

 

[בוהה ניכחו]

וואו

תודה רבה על השקעתך. אני אעיין בזה בכובד ראש מאוחר יותר. במספר ממשי אתה מתכוון ל"לא דמיוני" או לא "מרוכב"? פעם מאד אהבתי מתמטיקה. גם היום אני אוהב אבל היא זנחה אותי לאנחות, ושכחתי המון. לא אכפת לך שאשאל מידי פעם שאלת בור?

 

[sheketz]

העונג כולו שלי

 

[אמיר96]

בוהה ניכחו לא הבין

איך הפארדוקס מדבר על קטעים ואילו אני מדבר על נקודות ועל רצף. כך שהסברתי לו איך זה נובע מהפארדוקס.

 

[שרוולים ירוקים]

שאלה: האם הפרדוקס הזה

בולע את קיומו של "המרחק"? האם יש בכלל הבדל בין המרחק שהחץ אמור לעבור ובין המרחק הנתון לו לעבור? (זה נראה כמו להבדיל את המרחק מעצמו. כלומר, נתון מרחק שאינו יוצא אל הפועל. הוא מתכווץ לכלום. הייתכן?)

 

[Grimsom]

לא הצלחתי להבין את השאלה

 

[בוהה ניכחו]

גם אני לא הבנתי.

 

[שרוולים ירוקים]

../images/Emo26.gif אז אשאל זאת כך:

אז אשאל זאת כך: גם "המרחק" (הנתון למסלולו של החץ) צריך להתחיל. את עצמו. אחרת, כיצד יהיה "מרחק? האם לא כך הוא? אם קיימת מטרה שהחץ אמור להגיע אליה, הרי שבין ראש-החץ למטרה כמובן שיש מרחק נתון, שמתחיל ומסיים "את עצמו". ונראה לי כי גם אותו מרחק נתון, בדיוק כמו מסלול מעופו של החץ האמור לעבור אותו- לא יכול היה להיות קיים, לולא התחיל את עצמו והמשיך לכדי רצף אינסופי של קטעים עד סיומו_______________. האם לא כך הוא? ואם כך, האם יש הבדל בין יכולתו של "המרחק" הנתון,להתחיל את עצמו ולהתקדם תוך אינסוף קטעים עד הקטע המסיים אותו- ובין יכולתו של החץ לעבור אותו? מדוע יחול הפרדוקס הזה רק על מעופו של החץ (שמעופו גם הוא בעצם "מרחק") ולא על המרחק עצמו (כנתון) שעליו לעבור? לפי X, תחילתו של המרחק לעולם לא תתחבר עם סופו, משום שבטרם תתחבר תחילתו עם סופו, עליה להאריך את עצמה לכדי חצי מהמרחק. ובטרם תאריך את עצמה לכדי חצי מהמרחק עליה להאריך את עצמה לכדי מחצית מחציתו - וכך עד אינסוף. , משמע, כי תחילתו של המרחק, תיאלץ להיתחבר אינסוף זמן רק עם עצמה (ולמעשה לא תתארך לכדי רצף כלשהו ולא תתחבר עם סופו ולא ייצא המרחק אל הפועל). "לפי זנון, החץ לעולם לא יגיע למטרה, משום שבטרם יגיע אליה עליו לעבור חצי מהמרחק. ובטרם יעבור חצי מהמרחק עליו לעבור מחצית - וכך עד אינסוף. אינסוף קטעים לעבור, משמע שהחץ יאלץ לעוף אינסוף זמן עד למטרה (ולמעשה לא יצליח להתקדם כלל)." נראה לי שסיזיפוס מזדהה עם החץ וממתין איתו לתשובה

 

[בוהה ניכחו]

אני מאמין שיהיה לך יותר קל

אם תחשבי על המרחק על משהו שפשוט מונח שם. הוא לא מתחיל ולא מסיים.

 

[שרוולים ירוקים]

אוכל לחשוב כך רק אם זה מרחק אינסופי

ש"לא מתחיל ולא מסיים" ואז בוודאי ששום חץ לא יעבור אותו, לא יתחיל ולא יסיים . אבל האם הפרדוקס מדבר על מרחק אינסופי? האם "המרחק" אינו מתחיל ממיקומו של ראש החץ? או שגם החץ עצמו לא יכול להיות קיים (נאמר כעצם העשוי חומר רציף ואורכו מוגבל בשני קצוות) אם עלי לבנות אותו לפי עקרון הפרדוקס הזה. איך אתקין את החץ אם אין בידי פירור של חומר שניתן להתחיל איתו? הפרדוקס הזה מבטל גם את "המרחק" וגם את "החץ" ואולי בכלל, כל דבר שעליו "להתחיל" בכדי להמשיך את מה שהוא. בספר "הזמנה לפילוסופיה"/יובל שטייניץ , מוסבר על הפרדוכס הזה, כמו שכבר נאמר כאן, והציטוט הוא רק בכדי להתמקד בחלק הזה, בין השאר כך: (עמ' 38) "לעולם לא יוכל להתחיל לנוע, שכן, כדי לעבור את המרחק הראשוני הקטן ביותר יהיה עליו לעבור אינסוף מחציות שבינו לבין ההתחלה." "...מתקבל טור כזה: 1-חצי-רבע-שמינית-ששעשרית.....<< "זה טור שיש לו איבר סופי(האיבר- 1), אך אין לו התחלה. טור זה מתאר את שלבי התנועה הנידרשים למעבר של מרחק מסויים (הנקרא-1), אך מאחר שאין לטור התחלה, אי אפשר להתחיל בשלבי התנועה הנדרשים."

 

[sheketz]

לדעתי כן

אנחנו יודעים (?) שאפשר למפות את הגיאומטריה למספרים (מדידת מרחק), היוונים גם הם התעסקו בזה אבל מקצתם לא הגיעו למסקנה שלנו.

 

[ForAwhile]

פתרון...../images/Emo35.gif../images/Emo35.gif../images/Emo35.gif

אני לא משוכנע שהפרדוקס של זנון הוא לא פרדוקס רק כאשר אנו מתיחסים אליו בהקשר הלשוני, יתכן וברדוקציה מתמטית לפרדוקס יטען הפרדוקס לא יותר מאשר: כיצד זה שאינסוף סכומים קטנים ככל שיהיו מתכנסים לכדי סכום קבוע סופי? האחרון כמובן אפשרי (מישהו הזכיר חשבון אינפטסימלי?), ואם רדוקציה זו מדוייקת הרי שאין פרדוקס. החץ אינו צריך לעבור דרך אינסופית, הוא צריך רק לעבור אינסוף קטעים סופיים שגודלם שואף ל-0. שוב תחת המתמטיקה הדבר אינו בעייתי כלל. אני חושב שעיקר הבעיתיות שפתירת הפרדוקס היא העובדה שהעוסקים בכך הם פילוסופים ולא מתמטיקאים...ואולי לא?