קושי ודדקינד (קצת מתימטיקה)
אולי נתחיל בדדקינד ונגמור בקושי, בסדר? דדקינד הגדיר דבר מה שנקרא "חתך". מהו חתך? זוהי חלוקה של כל המספרים הרציונלים לשתי קבוצות (UP,DOWN), כאשר כל איבר בקבוצה UP גדול מכל איבר בקבוצה DOWN. למשל כל המספרים שגדולים מחמש זוהי קבוצה אחת, וכל שאר המספרים זאת היא הקבוצה השניה. אחר כך הוא הגדיר יחס של סדר בין החתכים ,ואח"כ חיבור חיסור כפל וחילוק, (אתה מוזמן לנסות את כוחך בכך), וכמובן זיהה חלק מן החתכים עם המספרים הרציונליים (חתך כזה, האיבר המקסימלי של DOWN או המינימלי של UP הוא מספר רציונלי - והוא מזוהה עם המספר הרציונלי הזה). כמובן שנותרו גם חתכים שאי אפשר לזהותם עם מספרים רציונליים, למשל חשוב על החתך הבא: UP - כל המספרים הרציונליים X שמקיימים 2 < X*X, ו DOWN - כל השאר. החתך הזה מייצג את השורש הריבועי של 2. כל חתך דדקינד הוא בעצם מספר ממשי. ואפשר להוכיח בלי קושי רב שכל סידרה עולה וחסומה מלמעלה של מספרים ממשיים (כאלו) יש לה גבול שהוא מספר ממשי (כזה). כמובן שצריך להשלים כיאות את ההגדרות של יחס הסדר ופעולות מתימטיות לפני שמוכיחים את זה וקצרה היריעה כאן, למרות שזה לא מסובך במיוחד. זה מתקשר יפה עם הגיאומטריה כפי שהבינו אותה היוונים (וזנון?). היוונים הגדירו אורך (או יותר נכון יחס אורכים) על ידי מידה משותפת. ההנחה היא שלשני קטעים קטע שלישי שנכנס מספר שלם של פעמים בשניהם. הקטע הזה נקרא מידה משותפת. היחס בין האורכים בין קטע א' לקטע ב' הוא היחס בין מספר הפעמים שהמידה המשותפת נכנסת בקטע א' למספר הפעמים שהמידה המשותפת נכנסת לקטע ב'. אבל השאלה היא האם קיימת מידה משותפת בין כל שני קטעים והתשובה היא שלא - אין מידה משותפת בין הצלע של ריבוע לבין האלכסון שלו כי השורש הריבועי של 2 אינו מספר רציונלי. יכול להיות שזנון מתייחס בפרדוקס שלו לבעייתיות הזאת שגילו הפיתגוראים. כמובן שחתך דדקינד פותר את הבעיתיות הזאת בחברו מחדש את המספרים לגיאומטריה. קושי הגדיר את המספרים הממשיים על ידי סדרות קושי, שזה סדרות שאיבריהן הולכים ומתקרבים זה לזה (לכל אפסילון...) , אבל אצלו זה קצת יותר מסובך בגלל שיש הרבה סדרות קושי ש"שוות" זו לזו,ולכן צריך להגדיר בעצם את המספרים הממשיים על ידי מחלקות שקילות של סדרות קושי (מצטער על הז'ארגון). לא קשה להראות שהמספרים הממשיים של דדקינד שקולים לגמרי לאלו של קושי. אבל שוב לא אכנס לזה כאן. ועכשיו נו טוב, ברגע שיש גבול אז אכילס מגיע לצב (קצת ניפנופי ידיים). אני מקווה שהבהרתי יותר ממה שהחשכתי. נ.ב. דדקינד אמר - אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, את כל השאר ברא האדם.
