sin,cos,tan

[i C e C u B e]

sin,cos,tan

כולם בטח מכירים את הפעולות שעושה המחשבון על מספרים בשביל משולשים ישרי זוית. אך השאלה שלי היא, מה בעצם עושה הפעולה? איך טנגס של 45 הופך ל-1 וסינוס של 30 הופך לחצי? מה המחשבון עושה?

 

[יניב ריז]

מעגל היחידה-

בתמונה-מערכת צירים שעליה מסורטט מעגל שרדיוסו =1. שים לב כי הרדיוס יכול לנוע בתנועה מעגלית סביב ראשית הצירים O ובכך הוא יוצר זווית עם ציר ה-X החיובי. לזווית זו נקרא alpha. בזווית מסוימת (נניח 30 מעלות), ניתן לראות את היטל הרדיוס על הצירים. אורך ההיטל על ציר ה-X הוא cos alpha ואילו אורך ההיטל על ציר ה-y הוא sin alpha. tan alpha היא החלוקה של cos ו-sin.

 

[יניב ריז]

דוגמאות מספריות ברורות-

כאשר הזווית היא 0 (כלומר הרדיוס "נח" כולו על ציר ה-x),אורך ההיטל על ה-x יהיה 1 (כמו אורכו של הרדיוס) ואורך ההיטל על ציר ה-y יהיה 0. לכן cos0=1 ו-sin0=0 כאשר הזווית היא 45 מעלות,אזי ההיטלים יהיו שווים,לכן: cos45=sin45=0.7 (בערך). וכאשר הזווית היא 90 מעלות (הישר כולו על ציר ה-y): cos90=0 sin90=1 הסיבה שהפונקציה הטריגונומטרית היא מחזורית נובעת מהעובדה שהרדיוס נע כל הזמן במעגל לכן כל 360 מעלות הוא חוזר לאותה הנק'. לגבי הדרך בה מחשבון מבצע את החישוב אין לי מושג...אך זהו עיקרון הטריגונומטריה.

 

[i C e C u B e]

תודה רבה על ההסבר

הבנתי עכשיו בצורה מצויינת את העיקרון של הפונקציות. אבל עדיין נשארתי מהרהר בשאלה אחת: איך המחשבון עושה את זה? חייבת להיות דרך אלגברית כלשהי לדבר הזה, השאלה היא מהי, ואיך בכלל הצליחו למצוא אותה?

 

[2_be]

דרך אלגברית

ניתן לפתח פונקציות טריגונומטריות לטור (טור טיילור לדוגמא) וככה כל שעל המחשבון לעשות זה פעולת חיבור/חיסור.

 

[i C e C u B e]

אשמח ליותר פירוט כי אין לי מושג על

מה מדובר...

 

[רענן2]

פולינומי טיילור

אין לי אפשרות לכתוב כאן נוסחאות, תוכל למצוא אותן בכל מקום שמסביר על פולינומי טיילור, למשל בכל ספר של חשבון אינפיניטיסימלי. באופן כללי - אם הפונקציה גזירה בנקודה המבוקשת אינסוף פעמים, ניתן לחשב אותה עד לכל דיוק רצוי בעזרת טור המכיל למעשה פולינום, ללא פונקציות טריגונומטריות. אגב, כך מבצע המחשב גם את החישוב של e בחזקת x (שגם היא גזירה אינסוף פעמים ויש לה אפילו נגזרת חביבה במיוחד...)

 

[רענן2]

../images/Emo45.gif ואכן כך עובדים המחשבונים

 

[netzach]

בדיוק!

כל ספרה נוספת אחרי הנקודה היא איבר נוסף בטור טיילור.

 

[pelegs]

אני רק חייב לציין

שמה שהדגמת פה הוא במעלות בלבד, ולא רדיאנים. אני מדגיש את זה מנסיוני המר ביותר, שכן רק אחרי שעות רבות של עבודת תיכנות, וניסיון לפתור בעיה איזוטרית, גיליתי את מקורה - הפונקציות הטריגונומטריות בשפה שהשתמשתי בה התייסחו לרדיאנים ולא למעלות... כל-כך פשוט, ועם זאת כל-כך מעצבן

 

[freedom rider]

הסבר מפורט...

הסבר מפורט תוכל למצוא במאמר "מבוא בסיסי לטריגונומטריה" בפורום מתמטיקה.

 

[netzach]

ארוך ומיותר למקרה הזה

השיטה בה עובדים המחשבים כדי לחשב פונקציות שונות היא טורי טילור/מקלורן. כל ספרה נוספת היא איבר נוסף בטור (שהוא כידוע אינסופי). למי שאינו מכיר את טורי טיילור מומלץ לקרוא מעט באחד מאתרי האינטרנט בנושא (יש בלי סוף, חפשו בגוגל).

 

[netzach]

למרות שהוא כמובן נכון לחלוטין!

כדי למנוע אי הבנות - ההסבר המקושר נכון לגמרי, אולם נראה לי שהוא מעט מסורבל מדי.