Pi

[ררדד]

אבל עובדה שזה משך גם אותך ../images/Emo3.gif

אחרת לא היית נכנסת לפורום מתמטיקה, לא היית קוראת הודעות ובטח שלא היית מגיבה

 

[nirdickkcidrin]

הערה

פאי הוא אינו מספר ללא סוף, איננו יכולים לבטא את פאי בצורה עשרונית סופית. תיאורטית יש קטע באורך פאי, כפי שציינת בדיוק כמו שיכול להיות קטע באורך שורש 2, שניהם מספרים בפני עצמם, אבל אנו מוגבלים בהצגתם מבחינה עשרונית הנוחה לנו עקב היותם אי ראציונליים.

 

[methadonepretty]

תודה

חיזקת את הדעה שנוצרה אצלי אחרי ההודעה הראשונה של 1ca1. זאת אומרת שמה שמונע מאיתנו להגיע לאותו דיוק מושלם היא ההצגה הדצימלית, ולא הטבע של פאי? כלומר- פאי יכול להיות מיוצג על ידי קו בדיוק מושלם (תיאורטית כמובן) והוא אף יושב על נקודה ספציפית בציר המספרים, אך לא להיות מיוצג סופית בהצגה דצימלית לעולם? ועוד שאלה- האם יש מערכת מספרית שבה קיים סוף לייצוג של פאי (שמעתי משהו פעם על הבינארית. לא זוכר לגמרי), או שעצם העובדה שהוא אירציונלי מונעת מזה לקרות?

 

[טלמון סילבר]

מספר הערות

1. גם המספר 1/3 (שליש) אינו מיוצג כשבר עשרוני סופי. 2. מספר רציונלי שונה ממספר אי-רציונלי (כמו π למשל, או שורש ריבועי של 2) בזאת, שהיצוג העשרוני האינסופי שלו מחזורי, כלומר בשבר האינסופי של תצוגת מספר רציונלי, החל ממקום מסויים, קבוצת ספרות מסויימת תחזור כל הזמן על עצמה (וגם אם השבר סופי, אפשר להוסיף סדרה אינסופית של אפסים לשם כלליוּת הטענה). בתצוגה של מספר אירציונלי לא קיימת מחזוריוּת. 3. האמוּר לעיל נכון לכל שיטת ספירה פוזיציונית על בסיס שלם, לא רק לשיטה העשרונית. המספר 1/3 בשיטת הספירה הטרינארית (על בסיס 3) ייראה כך: 0.1 או: ...0.1000 כלומר שבר סופי (או עם מחזור אינסופי של 0), אבל בשתי שיטות הספירה, העשרונית והטרינארית, מתקבל מחזור מסויים. המספר 1/3 הוא רציונאלי בלי קשר לשיטת הספירה. ובהתאם, המספר π מוצג כשבר עשרוני לא מחזורי, אך אם נשתמש בשיטת ספירה פוזיציות על בסיס שונה מ-10, למשל בשיטה הבינארית (על בסיס 2) או אחרת כלשהי, השבר לעולם לא יהיה מחזורי. 4. ניסיון ל"הבנת" מספרים אירציונליים מספקים חתכי דֶדֶקינד. הרעיון כזה: מגדירים חתך כלשהו בתחום כל המספרים הרציונליים. פירוש הדבר: מחלקים באופן מסויים את כל המספרים הרציונליים לשתי קבוצות, שאם נכנה אותן "עליונה" ו"תחתונה", אזי כל מספר רציונלי מהקבוצה העליונה גדול מכל מספר רציונלי מהקבוצה התחתונה. נגדיר למשל חתך דדקינד כזה: בקבוצה העליונה יהיה המספר 3 וכל המספרים הגדולים ממנו, ובקבוצה התחתונה כל המספרים הקטנים ממנו. יכולות להיות שתי אפשרויות: א. קיים מספר רציונלי גבולי, שהוא הקטן ביותר בקבוצה העליונה, או הגדול ביותר בקבוצה התחתונה. זה המצב בדוגמה שהוצגה. אפשרות ב: אין מספר גבולי! אין מספר קטן ביותר בקבוצה העליונה, ואין מספר גדול ביותר בקבוצה התחתונה, למרות שכל מספר רציונלי שייך לאחת הקבוצות, אף מספר רציונלי לא נשאר בחוץ! דוגמה: נעשה חתך דדקינד כזה: בקבוצה העליונה יהיו כל המספרים הרציונליים החיוביים, שהריבוע שלהם גדול מ-2, ובקבוצה התחתונה יהיו כל המספרים הרציונליים השליליים, המספר 0, וכן כל המספרים הרציונליים החיוביים שהריבוע שלהם קטן מ-2. הערה: קל להוכיח שלא קיים מספר רציונלי שהריבוע שלו שווה בדיוק 2. כלומר, בחתך הזה אף מספר רציונלי לא נשאר בחוץ, כל מספר רציונלי שייך או לקבוצה העליונה, או לתחתונה, ועם זאת לא קיים מספר רציונלי קטן ביותר בקבוצה העליונה, ולא קיים מספר רציונלי גדול ביותר בקבוצה התחתונה. עכשיו נעבור לקטע "הפילוסופי". כל מספר רציונלי מגדיר למעשה חתך דדקינד: יהיו בקבוצה העליונה כל המספרים הרציונליים הגדולים ממנו, בקבוצה התחתונה כל המספרים הרציונליים הקטנים ממנו, ואת המספר עצמו אפשר לשייך למשל תמיד לקבוצה העליונה. נגיד שחתך דדקינד כזה המחלק את כל תחום המספרים הרציונליים לשתי קבוצות, ושיש לו גבול רציונלי מדוייק, מספר רציונלי קטן ביותר בקבוצה העליונה, הוא... המספר הגבולי עצמו! סתם, "פילוסופיה כזאת". כל מספר רציונלי הוא בעצם חתך דדיקינד, כלומר חלוקה מסויימת של טווח כל המספרים הרציונליים. עכשיו אפשר לדבר על חיבור חתכים, מכפלתם, חילוקם, העלאתם במעלה כלשהי, לוגריתמים שלהם, כלומר להגדיר את כל הפעולות הבסיסיות עליהם באמצעות "קבוצה עליונה" ו"קבוצה תחתונה". כל זה מפורט בספרי הלימוד בקורסים בסיסיים של אנליזה מתמטית, ויותר לא אפרט. מי שלא מכיר, מוזמן לנסות באופן עצמאי להגדיר למשל את פעולת החיבור של מספרים רציונליים (כלומר של חתכי דדקינד!) באמצעות "קבוצה עליונה" ו"קבוצה תחתונה". עכשיו מבצעים צעד "קטנטן" קדימה: אנו מרחיבים את תחום המספרים הרציונליים ל...תחום כל חתכי דדקינד! כלומר, אם עבור כל חתך דדקינד שהיה לו גבול רציונלי מדוייק אמרנו שהחתך והמספר הגבולי שלו זה היינו הך, כן נאמר עכשיו שחתך דדקינד (בתחום המספרים הרציונליים!) שאין לו גבול רציונלי מדוייק, בכל זאת שווה-ערך למספר! כלומר, כל המספרים הממשיים, רציונליים ואי-רציונליים, זה בעצם כל חתכי דדקינד בתחום המספרים הרציונליים! וכמו שקודם הגדרנו (נניח שהגדרנו) את הפעולות המתמטיות על המספרים הרציונליים כאילו הן מבוצעות על חתכי דדקינד, פשוט נשתמש בדיוק אותן ההגדרות עבור כל חתכי דדקינד, כלומר עבור כל המספרים הממשיים!

 

[methadonepretty]

Cheers

נחמד לדעת, ותודה על ההשקעה!

 

[BanjoKazooie]

אני שאלתי את אותה שאלה פה ממזמן

תחפש בפורום על פאי.. אני שאלתי את אותה שאלה לפני כמה חודשים פה

 

[נועה לביא]

ההסבר המלא לשאלתך

טומן בחובו את הוכחת אקסיומת החסם העליון. הרי, קו באורך 4 (שהוא רציונאלי ואת קיומו אין בעיה "לתפוס") מכיל בתוכו קו באורך שכזה, ולכן יהווה מעין חסם מלעיל לפונקציה "קיים קו באורך" המוגדרת מעולם המספרים החיוביים הקטנים או שויים לפאי לעולם הקווים באורך ממשי כלשהו. אקסיומה זו מוכיחה כי מאחר וקיים החסם מלעיל הנ"ל קיים גם חסם עליון (שברור לך שהוא פאי עצמו).

 

[methadonepretty]

את זה אין צורך להוכיח

תודה, אבל לא ביקשתי הוכחה פורמלית לקיומו של קו כזה, שהרי אחת כזאת כבר יש לנו (הצגתי אותה בהודעה שפותחת את הת'רד). ביקשתי להסביר את קיומו של קו כזה למרות הסתירה האינטואיטיבית שנוצרת. קצת פילוסופיה. את התשובה קיבלתי, אני מאמין. נראה לי שהבנתי שפאי או שורש 2, וגם שליש, לצורך העניין, הם מספרים שהייצוג העשרוני שלהם יהיה לעולם מקורב, למרות שיש להם אורך גיאומטרי מדויק. אם הסקתי את המסקנות הנכונות מהדיון הזה, הטעות שלי היתה שחשבתי שאין סוף לדיוק של פאי. לדיוק של פאי יש סוף. פשוט לא ניתן להמחיש אותו בעזרת סט של ספרות דצימליות, ארוך ככל שיהיה. האם אני צודק, ואני יכול סוף סוף להניח לבעיה הארורה הזאת לעזוב את הראש המיוסר שלי?

 

[נועה לביא]

כיצד אתה מגדיר "דיוק"?

ואני נוטה להאמין שהוכחת אקסיומת החסם העליון תרגיע את הראש המיוסר שלך (בהנחה שהבנתי נכון מה מפריע לך).

 

[אטיוד5]

אין קשר

בין אי-ראציונליות לסופיות. למעשה ההיפך אפילו נכון, כלומר יש קשר והוא הפוך ממה שאתה חושב. ה"מספר" היחידי שאינו סופי הוא אינסוף, שאינו ראציונלי או אי-ראציונלי, הוא בקושי מספר. לכן כל האי-ראציונלים סופיים. הבעיה המנטלית שלך היא בעניין הדיוק. אני לא יודע למה דווקא האיראציונלי מטריד אותך. מבחינת הדיוק, קיימת אותה בעיה עם מספרים ראציונלים. כלומר, כמה הוא בדיוק-בדיוק-בדיוק 1? או 37 ורבע? כולם יצירי הדמיון, גם הראציונלים וגם האי ראציונלים. והם כולם משפחה אחת - הממשיים.

 

[methadonepretty]

../images/Emo45.gif

היה טוב אם הייתי מקבל את התגובות האחרונות (שעושה רושם שנכנסו יותר טוב לצורת המחשבה שלי) בהתחלה, אבל באמת תודה לכולם.

 

[נועה לביא]

אין מספר שנקרא "אינסוף"

קיימים מספרים קרדנליים המהווים עצמות של קבוצות אינסופיות, כאשר הקטן ביותר הוא עצמת המספרים הטבעיים - א0. המספרים הללו אינם מספרים ממשיים. הקונפליקט של הבחור נובע מכך שהוא (כמו רוב חברי הפורום, אני נוטה להאמין. כולל אנוכי) לא יודע מה זה מספר, אלא מכיר רק את הייצוג העשרוני שלו וכשזה לא מסתדר העסק מתבלגן לו. הם לא "יצירי הדמיון" (או שאולי כן, אבל זה כבר לפורום פילוסופיה לכל), פשוט ההכרה שלנו אותם בייצוג העשרוני רחוקה מלהיות מקיפה ומדוייקת.

 

[cron]

יש ויש

במתימטיקה ישנם אובייקטים שונים המתאימים לתואר "אינסוף". מספרים קרדינליים אינסופיים הם דוגמה אחת, אך לא היחידה. באנליזה מרוכבת מרחיבים את המישור המרוכב ומוסיפים לו "נקודת אינסוף" אשר הופכת אותו (מבחינה טופולוגית) לספירה. בתורת המידה ותחומים אחרים משתמשים ב-"ישר ממשי מורחב" אשר יש בו, בנוסף למספרים הממשיים, גם נקודת אינסוף ומינוס אינסוף. אני לא חושב שהבנה טובה יותר של הייצוג העשרוני תעזור לפתור את הבעיה. מה שחשוב להבין הוא שהיצוג העשרוני הוא דרך אחת מני רבות לייצוג מספרים, ואין לה שום מעמד מיוחד בכל מה שקשור לעולם הפיזיקלי - זאת פשוט דרך ספציפית שאנחנו בחרנו להשתמש בה מכיון שהיא נוחה. מספרים אירציונליים הם לא פחות מדויקים ממספרים רציונליים - הם פשוט מספרים שלא ניתן לבטא אותם כיחס בין שני מספרים שלמים. מעבר לכך, כל מדידה פיזיקלית מתבצעת לפי יחידת מידה שרירותית כלשהי. מקל באורך "1 סנטימטר" יכול היה להיות באותה מידה מקל באורך "פיי סנטימטר" אם היינו מגדירים את הסנטימטר אחרת. סתם הערת אגב: ישנם מספרים שאינם ניתנים לחישוב, והמספרים האלה הם באמת מספרים "שלא ניתן לדעת במדויק" מבחינה עמוקה: לא קיים שום אלגוריתם שיכול לחשב את הספרה ה-n-ית של מספרים כאלה. אם הזכרת עוצמות, מעניין לציין שכל המספרים הממשיים, פרט לכמות ברת מניה, הם בלתי ניתנים לחישוב. למרות זאת, כל מספר רציונלי, אלגברי, וגם פיי, e ודומיהם הם כן ניתנים לחישוב.

 

[נועה לביא]

מינוס ופלוס אינסוף הם לא מספרים

אלא באים לציין כי כל מספר ממשי קטן או גדול דיו שייך לקטע. לגבי "נקודת אינסוף", הייתי שמחה אם תרחיב. לא צריך הבנה טובה יותר של שיטת הייצוג העשרוני, אלא הבנה טובה יותר (ולמעשה הבנה בכלל) של מה זה מספר.

 

[cron]

אינסוף...

אני לא חושב שהבנת את כוונתי. אני לא מדבר על קטעים בעלי קצוות אינסופיים, אלא על הישר הממשי המורחב. מדובר בישר ממשי שאליו מוסיפים שתי נקודות, אינסוף ומינוס אינסוף. הפעולות האריתמטיות מוגדרות באופן טבעי (פעולות שאין להן משמעות טבעית כמו אפס כפול אינסוף אינן מוגדרות). בישר הזה משתמשים, למשל, בהגדרת פונקציות מידה: פונקצית מידה היא פונקציה מסיגמה אלגברה אל הישר הממשי המורחב (המקיימת דרישות מסוימות). פונקציות מידה הן פונקציות ש"מודדות" גדלים, וטבעי להשתמש באינסוף כדי לייצג גודל אינסופי. למשל, לפי מידת לבג הקטע [0,1] הוא בעל אורך סופי (1) בעוד ש-R כולו הוא בעל אורך אינסופי. באנליזה מרוכבת מוסיפים למישור המרוכב "נקודת אינסוף". קצת קשה להרחיב בלי להכנס לפרטים של אנליזה מרוכבת, ואני לא בטוח כמה רקע יש לך, אז סליחה מראש אם זה לא ברור. בלי להכנס לפרטים פורמליים, ניתן לחשוב על המישור המורחב כשפה של כדור אשר ה-"קוטב הדרומי" שלו מייצג את נקודת האפס וה-"קוטב הצפוני" שלו מייצג את נקודת האינסוף. מושגים כמו פיתוח לטורי לורן (לא התבלבלתי, לא טורי מקלורן), גבולות, ושארית של פונקציה בנקודת סינגולריות מורחבים כדי לטפל גם בנקודת האינסוף. למישור המורחב יש גם תכונה טפולוגית חשובה: קומפקטיות. בהרבה מקרים קל יותר (מבחינה טכנית וגם מבחינה אינטואיטיבית) לטפל בבעיות באמצעות נקודת האינסוף. למשל, אחרי תוספת נקודת האינסוף כל קונטור (קונטור=מסילה, בלי מהכנס להבדלים טכניים) מחלק את המישור המורחב לשני חלקים. במישור הרגיל רוב המשפטים עובדים רק על הפנים של הקונטור (במונחי המישור המורחב, זה החצי שאינו מכיל את נקודת האינסוף). אבל במישור המורחב אין הבדל מהותי בין שני החצאים והמשפטים מקבלים משמעות אינטואיטיבית גם לגבי החוץ של הקונטור. הגדרות מדויקות (וגם איורים שיכולים להבהיר את הקשר בין המישור לכדור) אפשר למצוא למשל בספר הקורס "פונקציות מרוכבות" של האוניברסיטה הפתוחה (יחידה 12 כמדומני).

 

[עופר ב.ה]

"בת מנייה", אגב../images/Emo32.gif

 

[methadonepretty]

אה, והמלצה על סרט בנושא... ../images/Emo98.gif

Pi המקורי והמהפנט של דארן ארונופסקי, במאי Requiem For A Dream המשובח. הנגיעה שלו במתמטיקה לא מתרחקת מאזור פאי-פיבונאצ'י-חתך-הזהב החרוש, אז מבחינה מקצועית קשה לי להאמין שהוא ייחדש למישהו כאן, אבל יש לו מה להציע בפילוסופיה שמאחורי מודעות, מחשוב, אינטליגנציה מלאכותית, כאוס והמעורבות של מתמטיקה בעולם. הוא יצא באותה שנה יחד עם "נפלאות התבונה" (1998) ולמרות שהוא איכותי לפחות כמו הנ"ל, הוא קיבל חשיפה מזערית יחסית ונזנח לחלוטין באוסקר, עד כמה שידוע לי. קו העלילה נראה קצת כמו גרף של פונקציה על אקסטזי, אז במקום לנסות ולהסביר עליו- לאלה שנהנים מקצת פילוסופיה ופסיכולוגיה בסרטים- קבלו המלצה חמה. סרט לא רגיל.

 

[hitchkok]

השאלה הזאת היא בדיוק ההבדל בין

שתי הדרכים לתפוס את המתמטיקה. כידוע, בימי קדם המתמטיקה הייתה מבוססת על הגיאומטריה, והגיאומטריה נחשבה למדע היחיד המדוייק. אולם, לאחר שנים רבות ומשברים רבים (למשל, משבר האירציונליים של פיתגורס), הוחלט באמצע האלף השני (כלומר, 1400-1600, ואל תתפסו אותי בשנה) לשנות את צורת ההסתכלות, ולבסס את המתמטיקה על האריתמטיקה, מהלך שנקרא "האריתמטיזציה של המתמטיקה". לענייננו. אפשר בהחלט לתאר קו שאורכו בדיוק פי סנטימטר, ודי בקלות, בעזרת מחוגה וסרגל (לא להתבלבל אם לתאר קו ישר באורך פי, זה בלתי אפשרי) מה שאי אפשר בהחלט, הוא לכתוב את המספר הזה בייצוג עשרוני. באותה מידה, אפשר לתאר בקלות קו שאורכו שורש שתיים, אך גם קו כזה אי אפשר לכתוב בייצוג עשרוני, ולכן גם לא למדוד בעזרת סרגל, מה שמוביל אותנו למעשה לקו שאפשר לראות, אפשר לבנות, אך אי אפשר למדוד (ישירות)! בכל מקרה, שני הקווים אפשריים בהחלט, ייצוגם העשרוני הסופי אינו אפשרי.

 

[methadonepretty]

ייפ. זה בדיוק הכיוון.

אחרי שעיכלתי את הפתרון התברר לי שאת התפיסה העשרונית של מספר ניסיתי להשליך על תפיסה גיאומטרית שלו, כשדרך ההסתכלות שלא תיצור בלבול היא בדיוק להיפך.

 

[R o n 86]

תחשוב על הדבר הבא:

בין המספר 1 ל2 יש איןסוף מספרים אי רציונליים... ולכולם יש אורך..