Pi

[methadonepretty]

Pi

שאלה קטנה שמטרידה ומעניינת אותי עד אובדן הכרה כמעט. אני מקווה שהיא לא הספיקה להישחק כאן. פאי, הוא מספר אירציונלי, מה שאומר שלמרות שניתן לסמן לו גבולות עליונים ותחתונים בדיוק הולך וגדל, לגודל אבסולוטי, מדויק שלו, אי אפשר להגיע. דמיינו מולכם, תיאורטית, מעגל שהקוטר שלו הוא סנטימטר אחד בדיוק. מכאן משתמע שההיקף של המעגל הוא פאי. איך ייתכן שהמספר הרציונלי, שאין סוף לדיוקו, התגלם לכדי קטע סופי, תחום, ויזואלי? נוח לצורך העניין גם לחשוב על משולש ישר זוית, שאורך שוקיו שווה ל-1 ס"מ, ואורך היתר שלו שווה לשורש 2 ס"מ. שוב- איך לעזאזל קיימת החיה הזאת, אם השכל הישר טוען שמספר אי-רציונלי כמו שורש 2, שלכאורה לא קיים סוף לדיוק שלו, לא יכול להתגלם לכדי קטע סופי? אני יודע שהפאק קיים בצורת המחשבה שלי ולא במתמטיקה. ניסיתי לחשוב על ההבדל בין המתמטיקה התיאורטית, האידיאלית, לעולם הגשמי, שבו הגדלים הם התגלמות גסה ולעולם לא מדויקת של האידיאות. אבל משהו עדיין לא מסתדר לי. תודה מראש!

 

[1ca1]

הבעיה היא בפירוש שאתה נותן למדידה

מאחר שאנחנו מודדים בעזרת חוט,סרגל או משהו ממוחשב בקיצור אנחנו מודדים בעזרת משהו בדיד, אנחנו לא מסוגלים להבחין בין כל האלף מספרים שקיימים בין כל מספר ממשי למספר ממשי אחר, אנחנו נותנים קירוב לפאי (שיילך ויישתפר ככל שנמדוד באופן יותר מדוייק, או נחשב את פאי ביותר דיוק וכו') והקירוב הזה סופי , כי למרות הכל, כמו שאמרתי אנחנו מודדים באמצעים בדידים. אבל כמו כן פאי הוא מספר "סופי" לא במשמעות של הרציונאליות (שהרי הפיתוח העשרוני שלו הוא אינסופי וחסר מחזוריות) אלא שהוא מספר "סופי" ששווה בקירוב ל3.14 ומוגדר באופן מדוייק וכמובן אינו אינסוף... למעשה גם בדוגמא של המשולש שהבאת, מבחינה מתמטית, האורך הוא שורש 2, זה שאתה לצורך שימושיים הנדסיים-פיסקאליים רוצה למדוד אותו ולקבל שזה שווה בקירוב ל1.414 ולעשות אם זה חישובים, אז אם זה מספיק דיוק בשבילך אז מצויין, אבל כעקרון כמו שאמרת שורש 2 הוא אי-רציונאלי ואין אפשרות לתת לו "פיתוח עשרוני" סופי (כשאני אומר פיתוח עשרוני, אני מתכוון למעין מדידה סופית כזאת), תהיה בטוח, שאם נאסא רוצים לחשב את שורש 2 לשליחת חללית לירח (סתם דוגמא) אז הם יחשבו אותו ל3 מיליארד ספרות של דיוק אחרי הנקודה...

 

[methadonepretty]

תודה, אבל

נראה שזה עדיין לא עונה לי בצורה מספקת (אחרי קריאה שניה של התשובה שלך). לא שאלתי על דבר בנושא של מדידה (אמרתי שהניסוי הוא מחשבתי, ולכן אין צורך להחזיק סרגל, חוט או כל דבר אחר, אלא רק לדמיין מעגל שכזה). שאלתי איך אפשרי לדמיין קטע שאורכו כגודל פאי. פאי הוא אמנם מספר סופי, אך אין סוף לדיוק שלו. אם אין סוף לדיוק שלו, איך אנחנו מקבלים קטע סופי שאורכו, על פי המתמטיקה, שווה לגודל פאי? אגב- עד כמה שידוע לי, עדיין לא הוכח שהפיתוח העשרוני של פאי חסר מחזוריות. כל ספרה נוספת ש"מתגלה" יכולה להיות תחילתו של מחזור נוסף. אני אשמח אם תוכל לחדד את הנקודה שלך, וגם אם מישהו אחר יצטרף. ושוב תודה.

 

[avi972]

2 הערות

1. כן הוכיחו שלpi אין מחזוריות. ( גם הוכיחו עוד כל מני דברים, כל ספרה 0-9 מופיעה בpi אינסוף פעמים. 2. גם למספר 1 אינסוף לדיוק. כי 1=1.0000000000000000000000000000000000 ואם מתישהו אחת הספרות לא תהיה 0 אז הוא לא יהיה 1.

 

[methadonepretty]

תודה על התיקון

והסעיף השני לא ממש רלוונטי, כי 1 הוא מספר רציונלי.

 

[avi972]

אז מה אם 1 רציונלי ו-pi לא ?

בשניהם צריך "דיוק אינסופי" מה כל כך מיוחד בAמספרים שאפשר לבטא אותם כשלם חלקי שלם [ רציונלים ] בההקשר הזה ?

 

[1ca1]

זה בדיוק הקטע

תשאל מתמטיקאי את זה הוא יגיד לך טוב זה בדיוק אורכו הוא פאי, זה אחד הדברים במתמטיקה (כמובן שבמציאות אין לך אפשרות לשרטט מעגל בכזה דיוק מה גם שמשפיע על המדידה) איך אפשר לדמיין? כמו שעניתי בתשובה אחרת,הוכח כי לכל מספר אי-רציונאלי יש סדרת מספרים רציונאליים המתכנסת אליו,לכן אפשר לחשוב על סדרה של מעגלים שהיקפם הולך ומתכנס לפאי...

 

[methadonepretty]

אז מה שאתה אומר

זה שקו שאורכו פאי קיים בתיאוריה, אלא שבמציאות הוא לא ניתן למימוש. זה מקובל עליי בהחלט (הרי מהתחלה ציינתי את ההבדל בין העולם הגשמי לתיאוריה), אבל השאלה שלי מלכתחילה היתה- איך ייתכן שקיים קו כזה בתיאוריה (בלי שום קשר לעולם הגשמי ולכלי המדידה המוגבלים שלנו)? הרי הקו שאנחנו מדברים עליו הוא בעצם התגלמות, המחשה, של דבר שלכאורה לא ניתן לכמת בדיוק מושלם.

 

[ChipsMan]

קודם כל, בוא נחשוב מהוא אורך..

אתה אומר שיש ל משולש ששתי צלעותיו הן באורך 1. מבחינתנו אורך יהיה לפי יחידות המידה של מערכת הצירים במישור. כלומר, אם נקח כל אחת מצלעותיו, נשים אותה על אחד הצירים ושתתחיל בראשית היא תגיע למספר 1 על ציר המספרים. עכשיו סתכל על היתר של המשולש. אם תשים אותה על ציר ה-x כך שקצה אחד שלה הוא בראשית היא תגיע למספר "שורש 2" על ציר ה-x. אורך תאורטי הוא לא משהו שמודדים עם סרגל או מציירים על דף. הוא נמדד ביחידות המידה של מערכת הצירים. וכידוע לך, על ציר המספרים יש אינסוף מספרים, וגם שורש 2 נמצא שם.

 

[Asaf p]

שלום

בוא נעשה ניסוי קטן. נסרטט קו ישר באורך של 2 ס"מ. קח סרגל וסרטט. עכשיו , איך קבעת שהקו הזה הוא בעל ערך של 2 ס"מ? מן הסתם, הסתכלת על השנתות של הסרגל, שהשנתה הכי קטנה בה היא באורך של מילימטר אחד (סרגל סטנדרטי), ספרת 20 שנתות קטנות, והנחת שיש לך קו באורך של 2 ס"מ . אבל, מניין לך לדעת שזהו קו באורך מדויק? הרי השנתות הן באורך סופי. ודאי יש קו מדויק יותר, שאפשר לסרטט אותו עם סרגל מדויק יותר, כמו קליבר שהשנתה הקטנה ביותר שלו היא 0.1 מ"מ. כפי שאתה יכול כבר להעריך, אין סוף למדידות המדויקות שנוכל לספק, ובכל פעם תצטרך להוסיף ספרה עשרונית משמאל ל2 כדי שהתוצאה תהיה יותר מדויקת. ובכלל 2 זהו מספר רציונלי. האם זה אומר שאין סוף לדיוק שלו?

 

[Asaf p]

תיקון: מימין לשתיים ולא משמאל.

 

[Asaf p]

תיקון: מימין לשתיים ולא משמאל.

 

[methadonepretty]

אהלן

ותודה על התשובה. הדוגמא שהבאת היתה קצת סדוקה, האמת. אם המשימה שלי היא לשרטט קטע שהאורך שלו הוא 2 ס"מ, סרגל מילימטרי או ננומטרי לא יעשה את העבודה יותר טוב מסרגל סנטימטרי. בכל מקרה, עדיין לא נחה דעתי, כי כל המגיבים גררו את הבעייה אל העולם שלנו, שבו ידוע לי שאי אפשר לבצע מדידות מדויקות, אלא לשאוף ולהתקרב לגדלים שאנחנו מודדים באמצעות שיפור כלי המדידה. הנקודה די פוספסה, לדעתי. המתמטיקה, או הבעיה שהעליתי, עוסקת בעולם אידיאלי ודמיוני, שהגדלים בו מדויקים עד גועל. אני שואל איך תיאורטית (לא על נייר) המתמטיקה מאפשרת את קיומו של המשולש הזה, שבין שניים מקודקודיו תחום קטע שאורכו הוא התגלמות של מספר אירציונלי. איך יכול להיות, שמספר שלא ניתן לכמת אותו לעולם בצורה סופית בלי לטעות במידת מה, יקבל צורה גשמית, סופית, תחומה, נעולה, קבועה. אני מדבר בתור פרקליט השטן, אבל ברור לי שיש טעות בדרך המחשבה שלי שנעלמה מעיני, ואף אחד לא הצליח להעמיד אותי עליה. השיט הזה מתחיל לייסר אותי באמת. נקווה לתשובה מחר...

 

[Asaf p]

שוב שלום

אני אנסה לתת הסבר אחר, אך קודם כל הערה חשובה ביותר לגבי ציונך על ה"דוגמה הסדוקה כי סרגל ננומטרי ...לא יעשה את העבודה טוב יותר מסרגל סנטימטרי". לעולם לא ניתן להגיע לדיוק מושלם, אך ניתן לקרב. ולשם קירוב טוב יותר דרושים לנו כלי מדידה יותר מדויקים. אנחנו צריכים לסרטט קו באורך של 2 ס"מ . אם נסרטטו באמצעות סרגל סטנדרטי (עם שנתות של 1 מילימטר) יהיה לנו קו שהדבר היחיד שנוכל לקבוע עליו כי הוא באורך של 2.0 ס"מ. מנין לנו לדעת שזה קו באורך מדויק של 2 ס"מ? אולי האורך של הקו הוא 2.05 ס"מ, או ..... 2.01763876 ס"מ? לשם כך דרושים לנו אמצעי מדידה טובים יותר, כמו, סרגל ננומטרי. באמצעותו אפשר להגיע לדיוק של תשע ספרות אחרי הנקודה. ודאי שזה יהיה יותר מדויק מסרגל סנטימטרי, ולכן, ודאי שיבצע את העבודה טוב יותר . חשוב להבין את זה, גם כדי להבין איך יכול להיות שניתן לחשוב את פאי במונחים גשמיים וסופיים, למרות שעדיין לא חישבו את צורתו המדויקת . לשם כך המציאו את תורת הגבולות. כזכור, ההגדרה של מספר אי רציונלי היא מספר שאי אפשר להציגו כחלוקה בין שני שלמים. אבל זה לא אומר שהמספר איננו סופי ו"אינו מתכנס". ככל שנרד לרמות דיוק קטנות יותר, נוכל לקבל ערך טוב יותר של המספר. למרות שעדיין לא הצליחו להגיע לערך סופי , ברור שהמספר מתכנס לערך מסוים. כמו שסדרת המספרים An=1/n (כאשר n הוא מספר שלם) לעולם לא תגיע לאפס, אבל ניתן לקבוע שהיא מתכנסת לאפס. דבר דומה עם פאי. פאי הוא מספר . על הערך המדויק שלו לא ניתן להצביע, אבל ניתן לקבוע שהוא "מתכנס" לערך סופי(וכפי שנאמר כאן כבר, הוכח כבר שלכל מספר אי רציונלי יש סדרת מספרים שמתכנסת אליו). לכן ניתן לחשוב ולהשתמש בפאי כמספר סופי, כשם שאנחנו חושבים קו באורך של 2 ס"מ, למרות שלעולם לא נוכל לסרטט קו מדויק באורך של 2 ס"מ. מהו מעגל בהיקף של פאי? הוא מעגל שאם נחתוך אותו באמצע ויישר את היקפו על סרגל נוכל למדוד את הערך של פאי. שוב, פאי הוא ערך סופי, לכן ניתן להצביע על ההיקף הזה כבעל אורך פאי. אך האם ניתן לכמת סופית את הערך הזה? לא . (כשם שלא ניתן לכמת סופית את הקו באורך 2 ס"מ) אבל, האם זה סותר את העובדה שהאורך הזה הוא בעל אורך פאי? לא. מכיון שזהו עדיין אורך סופי, שמתכנס לערך פאי. ההסברים שסופקו כאן, על המדידה של פאי, ההסברים שאתה מכנה אותם "גשמיים", הם דווקא רלוונטיים בהחלט, כי הם מסמלים את העובדה שיש לך כאן ערך סופי, שסדרת המדידות המדויקות יותר ויותר היא כמו סדרת מספרים שמתכנסת אליו. תופעות שמתוארות באמצעות מספרים אי רציונליים יש למכביר בטבע, כמו המספר e שמופיע בהרבה נוסחאות פיסיקליות. אפילו יצא ספר לאחרונה, שנקרא "חיתוך הזהב" שכל עיסוקו הוא במספר אי רציונלי מסוים שמופיע בצורות ובאופנים שונים בטבע.

 

[methadonepretty]

שוב אהלן

בנוגע לפולמוס הסרגלים- אם אין לך פרקינסון, אני עדיין חושב שלא משנה מה ההבדל בין הסרגלים, עדיין תגיע בהם לאותה רמה של דיוק אם המשימה היא שרטוט (ולא מדידה), מכיוון שעל שניהם קיימת שנתה ליד האורך 2 ס"מ, ומה שתעשה בתור אחד שרוצה לסרטט קו באורך הזה, הוא פשוט להגיע מראש הסרגל ועד אותה שנתה בדיוק. במקרה של טעות, הסרגלים המדויקים יותר יצילו אותך, אבל רק במקרה הזה. שאר האינפורמציה מעניינת ומובנת לי, אבל היא משמשת רק כהרחבה לתשובות הבסיסיות יותר. חיפשתי תשובה לסתירה שנוצרה אצלי, ונראה לי שהצלחתי לקבל... יש קו שאורכו מייצג את פאי ויש קו שאורכו מייצג את שורש 2, אבל אף אחד מהם לא ניתן לייצוג מספרי באורך סופי.

 

[Asaf p]

בעניין פולמוס הסרגלים שהתפתח לנו

כאן: קו באורך של 2.02 הוא לא באורך של 2 ס"מ. קו באורך של 2.0004 הוא לא באורך באורך של שני ס"מ, כך גם קו באורך של 2.0000000000000000007. ועכשיו, כשאתה קובע את אורכו של הקו לפי השנתה שמייצגת אותו, מנין לך שאין לך שגיאת מדידה בגדלים שנקבתי כאן? כמעט תמיד תהיה לך שגיאה, לא משנה כמה זהיר תנסה להיות. וזה נכון גם לגבי מדידה. אם אנחנו מודדים קו באמצעות סרגל סטנדרטי, האורך שנחשב יהיה מדויק עד כדי השנתה הקטנה ביותר, קרי מ"מ אחד. כפי שכתבתי קודם, אפשר להגיע לרמות גבוהות יותר של דיוק באמצעות מכשירים טובים יותר. . כפי שאם נמדוד (או נסרטט) קו באורך פאי,נוכל לקבוע שהקו באורך של 3.1 ס"מ . גודל שלא משקף את האורך האמיתי של הקו.

 

[methadonepretty]

שוב- אני דיברתי תיאורטית,

אתה דיברת מעשית. הרי סייגתי ואמרתי שסרגלים מדויקים יותר טובים אך למקרה של טעות בשרטוט. אתה מניח שהטעות תגיע בכל מקרה. זכותך להניח, ובמקרה זה אתה צודק. אני פשוט לא התייחסתי למקרה הזה.

 

[ררדד]

כנראה שפשוט בלתי אפשרי

לדמיין כל דבר במתמטיקה.. אם תחשוב על זה לא תצליח לעולם לדמיין יותר מ3 מימדים למשל, כי אתה חי ב"עולם" של 3 מימדים ובשבילך (מוחשית) לא יכולים להתקיים יותר מ3 מימדים, אבל עובדה שבמתמטיקה אנו משתמשים באינסוף מימדים. זה לא קשור כ"כ לשרשור אבל סתם העלתי נקודה

 

[המיואשת3]

למי אכפת?!?!?

המתמטיקה זה תחום שהמציאו אנשים משועממים כדי שיהיה להם במה להתעסק. אתה נפלת קורבן לכל השטויות שהם המציאו....

 

[methadonepretty]

יש לי משהו טוב בשבילך, בובה

פורום נירוואנה!11