n^x/a^n לימיט

[lifeofpai]

n^x/a^n לימיט

היי,
אפשר לפתור את התרגיל ע"פ הגדרת הגבול או סנדוויץ?
אם לא, דרך אחרת?
אי שוויונות?

 

[טלמון סילבר]

אם עוד לא למדתם את מבחן המנה,

אפשר להשתמש בגבול הבא (n שואף לאינסוף):
lim [n^k / (n-1)^k] = 1
יהי b מספר כלשהו גדול מ-1 וקטן מ-a:
1 < b < a
נגדיר מספר חיובי ε:
ε = b - 1 > 0
לפי הגדרת הגבול, קיים כזה מספר טבעי N, שעבור כל n>N מתקיים:
n^k / (n-1)^k < 1 + ε
n^k / (n-1)^k < b
n^k = N^k • ((N+1)^k / N^k) • ((N+2)^k / (N+1)^k) • . . . • n^k / (n-1)^k
n^k < N^k • b^(n-N)
n^k / a^n < (N^k / a^N) • (b/a)^(n-N)
שזה שואף ל-0 (כאשר n שואף לאינסוף, ו-N נשאר ללא שינוי).

 

[ןן גיל ןן]

אפשר גם:

להוכיח שהשורש ה n-י של הביטוי שואף ל- 1 חלקי a. להסיק שהחל ממקום מסויים השורש ה n-י קטן מ-u, כאשר u מספר הנמצא בין 1 חלקי a ל- 1. להעלות בחזקת n ולהשתמש בסנדוויץ'.

(כל זאת בהנחה שלמדתם מהו גבול השורש ה n-י של n).