א-ב מתמטי

[אייקי תאי]

בינארית, פעולה

פעולה בינארית הינה פונקציה מקבוצה אל עצמה (הכרחי?) שמקבלת זוג סדור ומחזירה איבר יחיד. דוגמאות קלאסיות לפעולות בינאריות הן 4 פעולות החשבון על קבוצות המספרים השונות. מטעמי נוחות ברוב הפעולות הבינאריות נהוג לסמן את הפונקציה בין 2 האופרנדים, כלומר afb ולא f(a,b)zz, אם י זה לא מחוייב במציאות (ראו לדוגמא לוגריתם). פעולות בינאריות נחקרות באופן מעמיק באלגברה המודרנית, תוך קטלוג לפי מספר תכונות אבסטרקטיות כגון חילוף, קיבוץ וכ'ו...

 

[Okuryo]

../images/Emo119.gifלא בדיוק מקבוצה אל עצמה,

אלא פונקציה מהמכפלה הקרטזית של קבוצה עם עצמה, אל עצמה. אבל אני חושב שפעולות בינריות יכולות להיות מהצורה f:AxB→C, כאשר A,B,C קבוצות שונות. למשל... פעולה המתאימה לכל מספר ממשי a ומספר מדומה bi את המספר המרוכב a+bi.

 

[Maha Vailo]

בסיס בינארי

צורת כתיבה של מספר, כאשר הערך של כל ספרה (אפס או אחד) הוא לפי חזקה של שתיים - הספרה הN משמאל לנקודה שווה ל z 2^(n-1) z והספרה הn מימין לנקודה שווה ל z 2^-n z ויקיפדיה מגדירים את זה ע"י ספירה לפי בסיס 2. הם גם מודים לליבניץ שפיתח אותה. תודה!

 

[Okuryo]

../images/Emo119.gifבכלל, בסיס ספירה

הצגת מספר רציונלי r לפי בסיס b, כאשר b הוא מספר טבעי, היא הצגתו של r כסכום של חזקות של b עם מקדמים מהקבוצה:

{0,1,...,b-1}​

למשל, ההצגה של r=37/4 בבסיס b=8 היא:

1*8 + 1*1 + 2*(1/8) = (11.2)_8​

האם ייתכנו גם בסיסי ספירה לא-שלמים, ואף אי-רציונליים?

 

[Maha Vailo]

בסיס בינארי זה ב' כפול

בסיס ספירה מוגדר ע"י היותו מספר שלם, כי אחרת באיזה ספרות אפשר להשתמש? למרות שכעיקרון עבור מספר טבעי N שונה מאחד אפשר ל"השתמש" בבסיס 1/N ואז בעצם מקבלים את בסיס N רק עם סדר ספרות הפוך. יש גם בסיסים כללים יותר שמוגדרים על סדרות (למשל סדרת פיבונאצ'י), אבל שם לכל מספר יכולים להיות כמה הצגות. לעומת זאת אפשר להראות שלכל מספר בבסיס של פיבונאצ'י יש הצגה שאין לה שני אחדות צמודים, שזה עוזר אם למשל משתמשים בזה לגילוי שגיאות כשמעבירים מידע ברשת.

 

[Okuryo]

../images/Emo119.gifאני חושב שקראתי פעם

משהו על φ, יחס הזהב, כבסיס ספירה. ומצאתי את הערך בויקיפדיה: http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio_base

 

[Maha Vailo]

בוליאנית, אלגברה

אגברה בוליאנית, קרויה על שמו של ג'ורג' בול, זו קבוצה שמכילה לפחות שני קבועים - 0, 1, יחד עם שתי פעולות בינאריות \/ (וגם) /\ (או) ופעולה אונארית ~ (שלילה), שמקימות את האקסיומות: שתי הפעולות וגם, או, הן אסוציאטיביות, קומוטטיביות, ודיסטריביוטיביות אחת כלפי השניה, ולכל a,b בקבוצה מתקיים

משלים a/\~a = 0 a\/~a = 1 ספיגה a\/(a/\b) = a a/\(a\/b) = a​

שני מבנים (שאני מכיר) שמקיימים את האקסיומות האלה הם השדה מודולו 2 כאשר כפל זה וגם, וחיבור זה או, שלילה של 1 זה אפס והפוך. המבנה השני הוא קבוצה A יחד עם כל תתי הקבוצות שלה, כאשר וגם זה חיתוך, או זה איחוד, שלילה זה משלים. אפס זו הקבוצה הריקה, ואחד זו הקבוצה A

 

[MelodicTruth]

כדאי גם להוסיף

ממשפט היצוג של סטון נובע שכל אלגברה בוליאנית איזומורפית לאלגברה של קבוצות. עוד מושגים קשורים: חוג בוליאני: חוג R שמקיים a^2=a לכל a. מודל בעל ערכים בוליאנים: כאשר B אלגברה בוליאנית שלמה, M מתאים נוסחאות לאיברים ב-B בתור ערכי אמת, כאשר נוסחה שמקבלת את הערך 1 היא אמיתית ב-M. מודלים מהסוג הזה מקבלים מקום חשוב מאוד בהוכחות אי-תלות בתורת הקבוצות.

 

[AnarchistPhilosopher]

אולי כדאי לציין שאלגברה בוליאנית היא

complemented distributive lattice, כאשר lattice זו קבוצה סדורה לינארית עם הפעולות של v ו-& המוגדרות בתור הסופרימום והאינפימום, כאשר x&y=x iff x<=y כאשר <= הוא יחס הסדר הלינארי על הקבוצה. כלומר היא בסה"כ חלק פרטי מנושא יותר גדול שלאו דווקא יש לו קשר ללוגיקה. זה מזכיר את האימרה שכל לוגיקאי הוא המשלים של האלגבריסט ולהפך כמובן.

 

[electricity86]

בת מנייה

קבוצה בת מנייה - בתורת הקבוצות, קבוצה בת מנייה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים, כלומר ניתן למספר את איבריה כך שלכל איבר יותאם מספר טבעי ייחודי לו. לעתים כוללים בהגדרה זו גם את הקבוצות הסופיות. כדי להוכיח שקבוצה היא בת מנייה, יש ליצור התאמה חד-חד ערכית ועל בינה לבין קבוצת המספרים הטבעיים. העוצמה של קבוצה בת מנייה מסומנת באות העברית: (ויקיפדיה)

 

[Fingertip]

הבהרה קלה

בד"כ המונח "בת-מנייה" מתייחס לקבוצות סופיות ואינסופיות שניתנות למנייה. כלומר, מדובר בקבוצות שניתן לסדר את איבריהן בסדרה סופית או אינסופית:

a0, a1, a2, ..., an b0, b1, b2, ....​

כמוסכמה, גם הקבוצה הריקה היא בת-מנייה. לפי הגדרה זו, קבוצה היא בת-מנייה אם ורק אם עוצמתה אינה עולה על אלף-אפס, שכן אלף-אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. כמובן שיש אנשים שמייחדים את המונח "בת-מנייה" רק לקבוצות אינסופיות, אבל אז זה פחות מסתדר עם המשמעות המילולית של המונח, דהיינו קבוצה שניתן למנות את איבריה בסדרה (סופית או אינסופית). אהד.

 

[טלמון סילבר]

בסיס של משולש ../images/Emo13.gif

מושג חלקלק במקצת. כל צלע של משולש יכולה "למלא תפקיד של בסיס". במשולש שווה-שוקיים שאינו שווה-צלעות, המילה "בסיס" בלי פירוט נוסף מתייחסת לצלע שאינה שווה לשתי האחרות ("זווית-בסיס", "גובה לבסיס" וכו'). שטח משולש שווה למחצית מכפלת אורכי אחת הצלעות (המכונית במקרה זה "בסיס") והגובה היורד אליה. שני הבסיסים של טרפז שאינו מקבילית. בסיס של פירמידה, של חרוט, של מנסרה. אותו הסיפור.

 

[נצחיהTT]

הי, רגע

בסיס במשולש לא שייך רק למשולש שווה שוקיים?

 

[טלמון סילבר]

בתור מחנכת

את יודעת יותר טוב. אם את אומרת, שהביטוי הנפוץ "שטח משולש שווה למחצית מכפלת בסיס וגובה" (כשהכוונה לצלע כלשהי ולגובה המאונך לה) אינו תקין, אז לא אתווכח.

 

[נצחיהTT]

נכון שהרבה יותר פשוט לומר

"בסיס כפול גובה חלקי שניים" אבל האמירה המדוייקת היא "צלע כפול הגובה לאותה צלע חלקי שניים". את המילה "בסיס", לפחות בבתי הספר, שומרים למשלוש שווה שוקיים, כשם שאת המילים "יתר" ו"ניצב" שומרים למשולש ישר זווית.

 

[טלמון סילבר]

בנייה

למשל: http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/Viewmsg.asp?forum=457&msgid=107356448&FlagSybase=1

 

[MelodicTruth]

ב

מקובל לסמן באות ב את סדרת המונים שמוגדרת באופן הבא: 0ב=0א a+1_ב=a_ב^2 a_ב=b_בU כאשר a גבולי ו-b<a השערת הרצף המוכללת היא למעשה הטענה כי aא=aב לכל a.

 

[Maha Vailo]

בייקציה

או באנגלית bijection. בייקציה זו פונקציה חד חד ערכית ועל בין שתי קבוצות. אני תמיד מסתבך שאני קורא את השמות האלה באנגלית. המרצה שלי לקבוצות הגיע למסקנה (הנכונה בעיקרון) ש"פונקציה חד חד ערכית ועל" זה שם די ארוך ולכן תמיד השתמש בבייקציה. וסתם לידע כללי פונקציה על surjective פונקציה חד חד ערכית injective בייקציה מיוחדת בכך שניתן למצוא לה פונקציה הופכית, כלומר אם f:A->B בייקציה אז קיימת לה הופכית שמסומנת לרב ב f^-1:B->A יחידה שהיא גם בייקציה, כאשר הרכבה של בייקציה עם ההופכית שלה נותנת את פונקצית הזהות. בנוסף כל איזומורפיזם (לפחות אלו שאני מכיר) בין שתי מבנים כוללים פונקציה כזאת בין שתי הקבוצות.

 

[Fingertip]

ביג'קציה - פונקציה הפיכה

קצת פחות מסורבל מאשר "פונקציה חח"ע ועל", אבל עדיין משאיר הרבה מקום לשיפור. איכשהו זה לא כל-כך תופס את המשמעות של "התאמה דו-כיוונית". אהד.

 

[טלמון סילבר]

אבל למה ג' ?

אתה אומר "פרוג'קט"?