[hieroso]

מה ז"א: "דרך שתי נקודות עובר ישר אחד"?

ניקח את ריהמן למשל, אתה טוען שבמרחב "הספארי" שלו בין שתי נקודות יכול לעבור רק קו ישר אחד?! הנה שלוש פרופוזיציות ידועות של ריהמן: דרך שתי נקודות, אפשר להעביר אינסוף ישרים שונים. שני מקבילים לאותו ישר אינם מקבילים ביניהם. סך שלוש זויות משולש הוא גבוה מ 180. אפשר לדמות זאת בצורה פשוטה מאוד בלי לשבור יותר מדי את הראש: למעשה מרחב ריהמני דומה מאוד למשטח הספארי (מעגלי) של כדור הארץ: במרחב כזה שתי הנקודות הן הקטבים הצפוני והדרומי, והישרים הם קוי-האורך.

 

[SimSim314]

עיינתי קצת במקורות

מה שאתה מדבר עליו, זאת לא גאומטרית רימן, כי בגאומטרית רימן המעגל חייב להיות "מעגל גדול". ושם אין כלל מעגלים מקבילים. אתה לוקח בגאומטריה שלך, את כל המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות - זאת גם גאומטריה ראויה לשמה, אבל הרבה אקסיומות לא עובדות שם. האמת אפשר לקחת בתור גאומטריה כזאת, גם את כל המעגלים על המישור ולקרוא להם ישרים. ברור אבל שבגאומטריה כזאת, אפשר בקלות למצוא משולש שסכום זויותיו הוא אפס (קח שלוש מעגלים משיקים אחד לשני על כדור) ההקבלה בין ישר בגאומטריה רימן לבין ישר בגאומטריה אוקלידים, שזהו המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות על כדור. ובשביל לקבל את האקסיומה שדרך שני נקודות עובר ישר אחד, צריך להסתכל על גאומטריה בחצי כדור, כדי שלא יהיו שתי נקודות פולריות, שדרכן עוברים אין סוף מסלולים הכי קצרים. אגב זה כלל ברזל שישר הוא "גאודזיקה" - כלומר מסלול הכי קצר, והוא בדרך כלל יחיד בין שתי נקודות אלא אם כן יש לך מניפולד, מאד הזוי, או לא רציף. Elliptic geometry is sometimes also called Riemannian geometry. It can be visualized as the surface of a sphere on which "lines" are taken as great circles(!). In elliptic geometry, the sum of angles of a triangle is >180 degrees.

 

[hieroso]

לא ברור לי על מה אתה מתעקש

ראה, הגיאומטריה האליפטית היא מודל של מרחב ריהמני, שבו, אם לחזור על הדוגמה של כדור הארץ כמשטח אליפטי כזה, הקטבים הצפוני והדרומי הם הנקודות דרכם אפשר להעביר אינספור ישרים, כשכל אחד מהישרים הללו הם מעגלים גדולים. פשוט מאוד, וזה ממחיש בצורה ברורה מדוע במרחב כזה המשפט שקאנט החזיק בו כסינתטי אפריורי, ז"א כהכרחי מכורח תכונות מרחביות הטבועות בנו אפריורית, אינו חל יותר. משצ"ל. אבל בהודעתי האחרונה חלה טעות גסה, שהיא טעות תרגום: במשפט הריהמני השני שנתתי, פשוט בלבלתי בין המונח הצרפתי עליו חשבתי, "perpendiculaire", לבין "מקביל". קרא עכשיו לאחר התיקון: שני ניצבים (או "אנכים", לא למדתי גיאומטריה בעברית, מצטער) לאותו ישר אינם מקבילים ביניהם.

 

[SimSim314]

עדיין בגאומטרית רימן, דרך שתי נקודות

בד"כ ניתן להעביר רק ישר אחד (מעגל גדול הוא יחיד, מלבד במקרה הקטבים). רק אקסיומת המקבילים היא שונה.

 

[hieroso]

...???...))

סימי, מה זה בד"כ ?! זה לא מרחב כבקשתך. או שאפשר או שאי אפשר...!!! אתה עומד על כך שניקח את זה דרך המקבילים; בסדר: יהא משטח אליפטי שבו סגמנט של מעגל גדול D עובר דרך שתי נקודות A וB שנמצאות בקודקודקים של ספארה; תהא נקודה M כלשהי חיצונית לסגמנט המעגל הגדול D. באותו מרחב אנו מסכימים שלא ניתן להעביר ישר כלשהו שיהיה מקביל לD. מספק אותך? עכשיו, מה נגזר מזה? שתוכל להעביר ישר בין A לB שיהיה שונה מD. למעשה, בין שתי אותן נקודות, תוכל להעביר אינספור ישרים כאלה, משום שבין A לB, אף אחד מהם לא יהיה מקביל לD.

 

[סינתטית אפריורית]

אומר ואוסיף על דבריו המלומדים מאוד של הירוסו

ואסתייג קלות . לגבי ההכרחיות. אכן קאנט תבע הכרחיות באפריוריות. אבל בל נשכח את הסינתטיות. מבחינת קאנט , האדם ממציא את המתמטיקה ולא מגלה אותה, הוא בונה אותה בהתאם להכרה האנושית . מבחינתו , מה שנוכל לבנות בהסתכלות הטהורה של צורות ההסתכלות שלנו, יוכל לשמש אותנו כמשפטים אפריוריים והכרחיים. מחוכם הייתי אומרת...

 

[hieroso]

מסכים לכל מילה

וההבחנה הזאת היא במקומה. מה גם שאני לא זוכר בדיוק, או אולי אף פעם לא ידעתי, אם קאנט מבחין בין צורות או איכויות שונות של הכרח, כמו זה שנובע מן האפודיקטיות ההיקשית הלוגית גרידא למשל, לבין זה שנובע מתכונת הא-פריוריות...

 

[סינתטית אפריורית]

כמדומני

הוא מבחין בין כמות לעומת איכות. : "קו ישר הוא הקו הקצר ביותר בין שתי נקודות" מכיל גם איכות (ישר ) וגם כמות (קצר ביותר) . מוזר, גם במתמטיקה, מבחינתו היא דינאמית, ניבנית ויכולים אנו להבחין בין כמות לאיכות . כך שלגבי האויקלידיות , לטעמי, קאנט סבר (לצערי, אין לי יכולת לאשש בעובדות אימפיריות, רציונאליות צרופה שלי, יתכן ואני טועה) שלפני שהסקנו שבגיאומטריה אויקלידית עובר קו ישר, ראינו בעיני רוחינו, מלא קווים בחלל , דימינו את אותו קו יחיד ומיוחד שבמישור ולכן הוא איכותי- הוא ישר מכל אותם קווים עקומים ש"ראינו" . בנינו את אותו קו ישר במוחינו. משהו כמו מהנדסים בעלי תוכנית קונסטרוקטיבית המשתנה בהתאם לסינתטיות אבל הכרחית כל פעם מחדש בגין היותה אפריורית. היי, חוסך בדפי טיוטה .

 

[SimSim314]

נשמע לי הזוי

אם דימינו קו ישר, אז יתכן והדמיון שלנו מטעה אותנו, והגאומטריה שלנו לא אוקלידית. אם להתייחס לגאומטריה אוקלידית כטיעון סינטטי, נכון להיום הוא טיעון שגוי. הגאומטריה של המרחב שלנו הרבה יותר מורכבת. אבל אם להתייחס לגאומטריה כעל מבנה מתמטי טהור - כלומר אנאליטי, אין הוא יכול להיות שגוי, אלא אם כן יש בו סתירות פנימיות - בינתיים לא מצאו. אני רואה את הטיעון: הגאומטריה של היקום היא גאומטריה אוקלידית - כטיעון סינטטי קלאסי.

 

[eoli]

אי אי אי עכשיו התבלבלתי בינך לבין הירוסו.

מדבריך אני מסיקה,שקאנט לא טעה בנושא הקו בגלל השילוב בין הסינתטי לאפריורי ! האם הדבר נכון לשאר התבלבלויותיו ?

 

[סינתטית אפריורית]

איזה שאר התבלבלויותיו?

היו לו המון , וודאי זאת את יודעת, (לא התחתן, לא עזב את עירו, לבש גרביונים ופיאה - סתם, סתם. מתיש להיצמד רק אליו אבל פ'סדר, שיהיה ) . shoot .

 

[eoli]

ההתבלבלויות זו הפואנטה ?

את הרי המומחית בכל מה שקשור בקאנט. שאלתי שאלה בהנחה שהיא לגיטימית,האם אזכה לתשובה ? shoot

 

[סינתטית אפריורית]

כן

אם לא אתעצל מידי . הטיפוח לעצלנות בימים האחרונים לא עושה עימי חסד. על אילו התבלבלויות את מדברת?

 

[eoli]

חח איך תסבירי מהפן

הפילוסופי את עצלות הרוח ? לאחרונה, גם עלי הרוח הזו אינה פוסחת . "התבלבלויותיו" של קאנט ( אינו חריג) : תפיסת הזמן,הקו,המשולש של אוקלידס,ובטח ובטח ,כמומחית,את יכולה להוסיף ולהעשיר את הידע שלנו. עכשיו תורך לנצח את עצלות הרוח.

 

[סינתטית אפריורית]

מבחינה פילוסופית להסביר את עצלות הרוח? חחחח. אני משערת שהייתי מאמצת את האינטואיציוניזם של אדוארד מור והייתי לוקחת אותך ואומרת לך: "הנה, תראי אותי עכשיו"

.

 

[hieroso]

ובכן צר לי לומר זאת ביובש כזה

אבל הוא כן טעה בעניין הישר: המשפט הסינתטי אפריורי שלו הוא לא נכון בגיאומטריות אחרות, על כן הוא גם טעה בטיב ההכרח שהוא ללא ספק ייחס למשפטים שכאלה, כי הוא אכן ייחס להם הכרח.

 

[סינתטית אפריורית]

גם לי

גם לגבי התיאוריה ההזויה שלי שצצה לי בערבו של יום , לפני העצרת הגדולה?

 

[hieroso]

תשובה קצרה וזמנית

אם עיקרון כלשהו נוסח עקב ניסיונות לנסות אם אפשר אחרת, אפילו במוחנו כמרחב משוחזר של זה שמחוץ לנו, ורק לאחר שנוכחנו שלכאורה לא, אזי העיקרון הזה אינו יכול להיות מוחזק כהכרחי ואוניברסלי. כי אולי לא ניסינו מספיק, ולא את כל האפשרויות האפשריות?

 

[eoli]

חח למה צר לך ?

את מה שכתבת כאן,כבר הבנתי מהתגובה למעלה. שאלה האם הדבר אמור גם לגבי הסכמתו למשולש של אוקלידס,או שאלו שני דברים שונים ? למה אני שואלת ? מכיון שאתה מתייחס רק לישר.

 

[hieroso]

לדידו של המייסטר

כל משפטי הגיאומטריה הם סינתטיים אפריורי. במרחב ריהמן סך שלוש זויות המשולש הוא גדול מ180. כך שזה גם שזה גם אמור לגבי המשולש ( אם הבנתי נכון את שאלתך, ותהית אם לדידו של קאנט כל משפטי הגיאומטריה, שכוללים את אלה הנוגעים למשולשים, הם הכרחיים, ועל כן הכרחיות זו הוכחה לאחר מכן כשגויה)...