___________

[איגור קרסיק]

___________

את השאלה הזו הצגתי לפני הרבה זמן בפורום ולא זכיתי לתשובה "נורמלית". לאחר שבוע מחשבה [אחרי שהצגתי את השאלה בפורום] חשבתי שפטרתי אותה וכך גם המנחה שבדקה את העבודה ששאלה זו כלולה בה... אבל למראת כל ההתחכמויות שלי התשובה שלי שגויה [מעניין איך המנחה לא גילתה זאת...]. בכול מקרה, מישהו חייב לפתור את השאלה הזו!!! אני לא אניח לפורום עד שאמצא תשובה!!! השאלה היא: הוכח שכל p ראשוני חיובי מחלק את

[p-1]!+1​

נא לפתור באמצעים אלמנטריים [יחסית]...

 

[איגור קרסיק]

!!!!

הודעה זו לא תלך לאיבוד!

 

[טלמון סילבר]

צריך לחשוב (אבל בבוקר).

אני לא מבין, איך כל פורום מתימטיקה לא הצליח לפתור את התרגיל על חסימת ריבוע במשולש! אפילו אחרי הרמז! נצטרך לעבור לפורום "חידות"...

 

[טלמון סילבר]

יש פתרון לא אלמנטרי.

הוא מתבסס על משפט מתורת המספרים, אבל אולי קיימת הוכחה פשוטה למשפט הזה (למדתי את זה ממש מזמן, וסמסטר אחד בלבד או שניים. ממש אינני זוכר). יש מונח שקוראים לו אם אינני טועה "אידאל": אחד הקלאסים במודול p (מספר ראשוני), שהחזקות שלו רצות על כל הקלאסים האפשריים. כלומר מספר (קלאס) קטן מ-p, שהחזקות שלו מ-1 עד p-1 מקבלות את כל הערכים מ-1 עד p-1 במודול p. המשפט הוא: עבור כל ראשוני p קיים אידאל. אז: נניח ש-p גדול מ-2, נניח ש-q אידאל בקלאסים של p. להלן סימן השוויון מתכוון לשוויון קלאסים במודול p.

(p-1)! = q^1 * q^2 * ... *q^(p-1) = q ^ (1+2+...+(p-1)) (p-1)! = q ^ ( p * ((p-1)/2) ) (p-1)! = (q ^ p) ^ ((p-1)/2) = q ^ ((p-1)/2) = x x ^ 2 = q ^ (p-1) = 1 x = 1, or x=-1​

יש גם משפט פשוט וקל להוכחה, האומר שלכל קלאס במודול p יש בדיוק שני שורשים ריבועיים, או אף לא אחד, ויש גם תחום של תורת המספרים המוקדש בדיוק לשאלה זו (אם יש שורשים ריבועיים לקלאס מסויים). כאמור קל להוכיח את המשפט. לקלאס 1 כמובן קיימים השורשים 1 ומינוס אחד, ולפי המשפט אין שורשים נוספים.

x not= 1 (לא יכול להיות אידאל q אחרת) x = -1 = (p-1)!​

מה שצריך להוכיח.

 

[טלמון סילבר]

יש פתרון לא אלמנטרי.

הוא מתבסס על משפט מתורת המספרים, אבל אולי קיימת הוכחה פשוטה למשפט הזה (למדתי את זה ממש מזמן, וסמסטר אחד בלבד או שניים. ממש אינני זוכר). יש מונח שקוראים לו אם אינני טועה "אידאל": אחד הקלאסים במודול p (מספר ראשוני), שהחזקות שלו רצות על כל הקלאסים האפשריים. כלומר מספר (קלאס) קטן מ-p, שהחזקות שלו מ-1 עד p-1 מקבלות את כל הערכים מ-1 עד p-1 במודול p. המשפט הוא: עבור כל ראשוני p קיים אידאל. אז: נניח ש-p גדול מ-2, נניח ש-q אידאל בקלאסים של p. להלן סימן השוויון מתכוון לשוויון קלאסים במודול p.

(p-1)! = q^1 * q^2 * ... *q^(p-1) = q ^ (1+2+...+(p-1)) (p-1)! = q ^ ( p * ((p-1)/2) ) (p-1)! = (q ^ p) ^ ((p-1)/2) = q ^ ((p-1)/2) = x x ^ 2 = q ^ (p-1) = 1 x = 1, or x=-1​

יש גם משפט פשוט וקל להוכחה, האומר שלכל קלאס במודול p יש בדיוק שני שורשים ריבועיים, או אף לא אחד, ויש גם תחום של תורת המספרים המוקדש בדיוק לשאלה זו (אם יש שורשים ריבועיים לקלאס מסויים). כאמור קל להוכיח את המשפט. לקלאס 1 כמובן קיימים השורשים 1 ומינוס אחד, ולפי המשפט אין שורשים נוספים.

x not= 1 (לא יכול להיות אידאל q אחרת) x = -1 = (p-1)!​

מה שצריך להוכיח.

 

[Fingertip]

מכיוון שזו שאלה ממבנים אלגברים

או שמא אני טועה, איגור? אני משער שהפתרון הנ"ל הוא בגדר אלמנטרי, לא? אהד.

 

[איגור קרסיק]

.....

השאלה אכן מהקורס הנ"ל, אבל הפתרון איננו אלמנטרי שכן הנושא של אידאלים נלמד די בסוף ושאלה זו נשאלת בהקדמה לקורס! היה צריך להשתמש ב-mod ובדברים דומים...

 

[טלמון סילבר]

השתמשתי ב"=" לסימון שויון ב- mod p

מה שנשאר להוכיח זה רק קיום קלאס שהחזקות שלו רצות על כל הקלאסים (אם כי אינני יודע עד כמה זה פשוט). השאר הרי אלמנטרי.

 

[טלמון סילבר]

תיקון: לא "אידאל"

טעיתי בשם. "אידאל" זה משהו אחר, בכלל לא מתחום זה. ה-q שהשתמשתי בו נקרא באנגלית primitive root. אמרו לי שקיימת גם הוכחה אלמנטרית לקיומו, ולא רק עבור מספרים ראשוניים.

 

[דודהלי]

המנחה שלך?

מה הקשקוש הזה? הבעיה שהצגת איננה חלק מעבודת מאסטר ובטח לא דוקטורט, אז מה הקשקוש על המנחה?

 

[איגור קרסיק]

מונחים

אני לומד באו"פ [=אוניברסיטה פתוחה]. במקום השימוש במונח "מרצה" משתמשים במונח "מנחה"....

 

[nozza]

הנה הוכחה...

[p-1]!+1 = [p-2]!*[p-1]+1 = p*[p-1]-1*[p-2]!+1 החלק השמאלי מתחלק אז אפשר להעיף אותו. נמשיך 1*[p-2]!+1 = [p-3]!*[p-2]+1 = p*[p-3]!-2*[p-3]!+1 גם כאן אפשר להעיף את החלק השמאלי. נמשיך עד למצב [p-1]*[p-p]!+1 = [p-1]*0!+1 = [p-1]+1 = p בקיצור, הכל מתחלק מקווה שאפשר להבין מה רשמתי.

 

[טלמון סילבר]

ההוכחה אינה מדוייקת.

א. בשלב ראשון קיבלתָ

... - (p-2)! + 1​

ואח"כ שכחתָ את המינוס. ב. כשקיבלתָ

-2(p-3)!​

ובהמשך שכחתָ את ה-2. בשלב הבא נוסף המכפיל 3, כך שבסוף אתה מגיע שוב ל-

(p-1)!​

כלומר חוזרים לנקודה בה התחלנו. ג. הנשר הנובח לימד אותי להשתמש בעזרים "[תחילת קוד]" שמקפיץ אותך להקלדה שמאלית, ו"[סיום קוד]" שמחזיר אותך להקלדה ימנית. זה נוח מאוד, רואים את כל הסימנים במקומותיהם.

 

[nozza]

צודק

 

[טלמון סילבר]

הפתרון.

פניתי למומחה בתורת המספרים. ולהלן דבריו. קוראים לזה משפט וילסון. הוא מכיר את ההוכחה שלי, גם הוא הגיע אליה בזמנו, אך קיימת הוכחה הרבה יותר פשוטה: עבור כל מספר שלם a מתחום [1, p-1] קיים מספר יחידי ´a מאותו תחום, המקיים:

aa´ = 1 (mod p)​

´a = a רק כאשר a=1 או a=p-1. כלומר כל המספרים במכפלה !(p-1) מסתדרים בזוגות, חוץ מ-1 ו-p-1. ההמשך ברור.

 

[טלמון סילבר]

אני מקווה שתבחין בפתרון ותגיב.

האם הכל ברור?

 

[איגור קרסיק]

כמעט

אני אנסה בקרוב להוכיח את המשפט אם a´a...

 

[טלמון סילבר]

המשפט הזה

עם ´aa ממש פשוט. מה כל הערכים של ab כאשר a קבוע ו-b בתחום [1,p-1]? שונים!

 

[איגור קרסיק]

הצלחתי להוכח את המשפט....

תודה...