9 ו11

[Palass]

9 ו11

בכל מס' שמתחלק ב11 תקחו את הספרה הראשון והשלישי והחמישי וכן הלאה תצברו אותם. במקביל תצברו גם את הספרה השני, רביעי, ושישי (וכן הלאה) תחסירו את המספרים הסכום השני מהסכום הראשון ויצא לכם כפולה של אחת עשרה! לדג' המס' 9172328 9+7+3+8=27 1+2+2=5 27-5=22 22 כפולה של 11. המס' מתחלק ב11. נסיון להוכחה: abcde מס' כלשהו fff d: 11d-d fff fff c: 99c+c fff fff b: 1001b-b fff fff a: 9999a+a fff אפשר לחלק ב11 את המספרים: 11d,99c,1001b,9999a נשאר לך: fff a+c-b-d fff אם הסכום הזה מחלק ב11 אז כל המס' מתחלק ב11. אם מסכמים את הספרות של מס' שמחלק ב9 סכום הספרות יהיה מס' שמתחלק ב9. נסיון להוכחה: xyz 100x+10y+z fff (99x+x)+(9y+y)+(z) fff נזרוק את המס' שמחלקים ב9: 99x,9y נשארנו עם: x+y+z אם סכום הספרות הנ"ל מתחלק ב9. המס' מתחלק ב9 גם הוא.

 

[בבוצי]

יפה ומחכים

שבת שלום!!

 

[שוסי]

הוכחה דומה

הנה הוכחה לזה שכל מספר דו ספרתי פחות סכום ספרותיו מתחלק ללא שארית עם 9. דהיינו ניקח את המספר 27 שסכום ספרותיו הוא 9 נחסיר אותו במספר. 27-9=18 ואם נחלק 18 ב9 נקבל 2. הנה ההוכחה - שימו לב היא נכונה רק למספרים דו ספרתיים.

 

[rainbow16]

עוד הוכחה כלשהי... ../images/Emo13.gif

זה כמעט כמו שלך, אבל... שונה

כל מספר שסכום הספרות הראשון, שלישי, חמישי וכו' שווים לסכום הספרות השני, רביעי, שישי וכו', מתחלקים ב11. הוכחות: לדו-ספרתי:

10a+b. a=b 10a+a=11a​

וזה מתחלק ב11. לתלת-ספרתי:

100a+10b+c a+c=b 100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c=11(10a+c)​

וזה מתחלק ב11. לארבע ספרות:

1000a+100b+10c+d a+c=b+d -> a=b+d-c 1000(b+d-c)+100b+10c+d=1000b+1000d-1000c+100b+10c+d=1100b-990c+1001d=11(100b-90c+91d)​

וזה מתחלק ב11. וכו'..... חחח.... הדהימו את חבריכם במציאה תוך שניות של מספר בעל 10 ספרות שמתחלק ב11

 

[Calius]

הוכחה פורמלית, ודוגמה עבור 12:

מצורפת הוכחה פורמלית וכללית נחמדה. אשמח להסבירה אם לא כתבתי ברור מספיק. אני מצרף גם דוגמא לבדיקת חלוקה ב- 12, אם כי זו דוגמא לא כ"כ מעניינת (אלא אם כן אתם טובים בחזקות של 2...)

 

[Calius]

מקפיץ, כי זה מגניב

... בגלל, מספרים טבעיים זה שוס

 

[Palass]

לא הבנתי הרבה.

 

[omri-segal]

אגב, עבור 11 זה נכון לכל בסיס

(מסקנות של מחשבות לפני השינה)...

 

[Calius]

אני חושש שזה לא נכון...

למשל: בבסיס 16, 0x61adc. ה- "טריק" מניב 14, שלא מתחלק ב- 11, אבל המספר עצמו *כן* מתחלק ב- 11.