1/x

[tvfreak]

1/x

בבית ספר לא ממש טרחו להסביר לנו, אז מישהו שכן יודע יכול להסביר לי למה הנגזרת של הפונקציה הזו היא lan x ? וכל עוד אנחנו בנושא, אני אשמח מאוד גם לדעת למה הנגזרת של a^x זה a^x lan a...

 

[Fingertip]

ובכן....

הנגזרת של אחד חלקי איקס אינה lnx. אבל הנגזרת של lnx היא אחד חלקי x. אחת הסיבות לכך היא שההגדרה של ln היא האינטגרל של אחד חלקי איקס. אפשר לומר שבגלל צירוף מקרים (כמובן שזה לא מדוייק להגיד) מתקיים גם: lnx = log (e) x כלומר, ln היא פונקציית הלוגריתם בבסיס e. בקשר לשאלה השנייה. תשים לב שמתקיים:

a^x = e^(ln(a^x)) = e^(xlna)​

אם תגזור את הפונקציה הזו לפי כלל השרשרת תקבל:

[e^(xlna)]´=e^(xlna)*lna=a^x*lna​

ומכאן הטענה. מקווה שעזרתי. אהד.

 

[arcsinus]

תשובות.

לגבי השאלה עם הניגזרת של a^x. דרך ההסבר של Fingertip היא נכונה, והנה עוד דרך. נתונה הפונקציה: y = a^x ואנחנו רוצים למצוא את הניגזרת ´y . אם נוציא ln לשני האגפים של המשוואה: y = a^x נקבל: (ln = ln(a^x ולכן, עפ"י חוקי הלוגריתמים: (ln(a^b) = bln(a , נקבל: (ln = xln(a ניגזור את שני האגפים של המשוואה לפי x, ונקבל:

y´/y = ln(a) :ולכן y´ = yln(a) :אבל y = a^x :ולכן y´ = a^x ln(a) מ.ש.ל​

לגבי השאלה מדוע האינטגרל של

1/x​

הוא (ln(x, הסיבה היא כזו. אינטגרל היא פעולה הפוכה לניגזרת. עפ"י הגדרת הניגזרת, קל להוכיח שהניגזרת של (ln(x היא

1/x​

ומכאן שהאינטגרל של

1/x​

הוא ln(x) + c . סיבה נוספת, כמו ש Fingertip אמר, עפ"י ההגדרה:

∫ (1 to x) dt/t = ln(x)​

 

[tvfreak]

תודה על התשובות, אבל

קודם כל אני מתנצל, לא ניסחתי את השאלה הראשונה שלי כמו שצריך. תכף אני אנסח מחדש. ובאשר לשאלה השנייה, אז גם כאן יש לי בעיה. עם התשובה הראשונה שמתן Fingertip, הוא גזר את הפונקציה באמצעות כלל השרשרת, מה זה בדיוק ? לא זכור לי שלמדנו עליו... ההסבר של arcsinus היה מניח את הדעת, רק שבהוכחה הוא השתמש בנגזרת של lan a, שהיא למעשה היוותה את השאלה הראשונה שלי. מה שבאתי לשאול בשאלה הראשונה, היא למה הנגזרת של lan היא 1/x, וכן, אני יודע שהנגזרת של lan ´(f(x)) = f´(x)/f(x) אבל המקרה שציינתי הוא מקרה ספיציפי. התכוונתי איך הגיעו לנגזרת הכללית. ואם אפילו נלך עוד שלב אחורה, אז למה : log´(f(x)) = f´(x)/f(x)/ln(f(x)) אני מקווה שרשמתי את זה נכון... ותודה דרך אגב לשניכם על התשובות.

 

[arcsinus]

תשובות.

"כלל השרשרת" הוא בעצם כינוי נרדף ל"ניגזרת של פונקציה מורכבת". ומה הוא אומר? אם יש לנו פונקציה מורכבת מהצורה ((f(g(x , אזי הניגזרת שלה היא: (f´(g(x)) * g´(x אם הבנתי נכון, אתה שואל בעצם מדוע הניגזרת של ((ln(f(x היא: (f´(x)/f(x נכון? ובכן, כתשובה לשאלה שלך, מספיק להסביר מדוע הניגזרת של (ln(x היא

1/x​

כי העובדה שהניגזרת של ((ln(f(x היא (f´(x)/f(x נובעת ישירות מהניגזרת של פונקציה מורכבת, או "מכלל השרשרת" (אם נקרא לזה כך). אנסה לענות לך על השאלה, מדוע הניגזרת של (ln(x היא

1/x​

רק שלשם כך, צריך לדעת מהי ההגדרה המדויקת של מושג הניגזרת. ההגדרה של מושג הניגזרת, מבוסס על מושג במתמטיקה שנקרא גבול (מסמנים גבול ב lim). .לכן, כדי להבין מדוע הניגזרת היא אחד חלקי איקס, צריך ידע בסיסי במושג הגבול אם כן, ההגדרה של (f´(x שהיא הניגזרת של (f(x היא כזו:

f´(x) = lim h->0 [f(x+h)-f(x)]/h​

כדי להמשיך בחישוב הניגזרת של הפונקציה (ln(x , עלינו להעזר בעובדה ש:

lim n->oo (1 + 1/n)^n = e​

כעת נעבור לחישוב הניגזרת של (ln(x, עפ"י הגדרת הניגזרת. נסמן: (f(x) = ln(x לכן: (f(x + h) = ln(x + h כמו כן נעזר בעובדה ש (ln(a) - ln(b) = ln(a/b . ו b * ln(a) = ln(a^b) הניגזרת של (ln(x היא אם כן:

[ln(x)]´ = lim h->0 [ln(x + h) - ln(x)]/h = lim h->0 [ln[(x + h)/x]]/h = lim h->0 1/x * x/h * ln(1 + h/x) = lim h->0 1/x * ln[(1 + h/x)^(x/h)] = lim h->0 1/x * ln(e) = 1/x * 1 = 1/x :לכן [ln(x)]´ = 1/x​

 

[טלמון סילבר]

ln../images/Emo128.gif+C

 

[טלמון סילבר]

הכוונה ל"מודול איקס"

 

[arcsinus]

תשובות.

"כלל השרשרת" הוא בעצם כינוי נרדף ל"ניגזרת של פונקציה מורכבת". ומה הוא אומר? אם יש לנו פונקציה מורכבת מהצורה ((f(g(x , אזי הניגזרת שלה היא: (f´(g(x)) * g´(x אם הבנתי נכון, אתה שואל בעצם מדוע הניגזרת של ((ln(f(x היא: (f´(x)/f(x נכון? ובכן, כתשובה לשאלה שלך, מספיק להסביר מדוע הניגזרת של (ln(x היא

1/x​

כי העובדה שהניגזרת של ((ln(f(x היא (f´(x)/f(x נובעת ישירות מהניגזרת של פונקציה מורכבת, או "מכלל השרשרת" (אם נקרא לזה כך). אנסה לענות לך על השאלה, מדוע הניגזרת של (ln(x היא

1/x​

רק שלשם כך, צריך לדעת מהי ההגדרה המדויקת של מושג הניגזרת. ההגדרה של מושג הניגזרת, מבוסס על מושג במתמטיקה שנקרא גבול (מסמנים גבול ב lim). .לכן, כדי להבין מדוע הניגזרת היא אחד חלקי איקס, צריך ידע בסיסי במושג הגבול אם כן, ההגדרה של (f´(x שהיא הניגזרת של (f(x היא כזו:

f´(x) = lim h->0 [f(x+h)-f(x)]/h​

כדי להמשיך בחישוב הניגזרת של הפונקציה (ln(x , עלינו להעזר בעובדה ש:

lim n->oo (1 + 1/n)^n = e​

כעת נעבור לחישוב הניגזרת של (ln(x, עפ"י הגדרת הניגזרת. נסמן: (f(x) = ln(x לכן: (f(x + h) = ln(x + h כמו כן נעזר בעובדה ש (ln(a) - ln(b) = ln(a/b . ו b * ln(a) = ln(a^b) הניגזרת של (ln(x היא אם כן:

[ln(x)]´ = lim h->0 [ln(x + h) - ln(x)]/h = lim h->0 [ln[(x + h)/x]]/h = lim h->0 1/x * x/h * ln(1 + h/x) = lim h->0 1/x * ln[(1 + h/x)^(x/h)] = lim h->0 1/x * ln(e) = 1/x * 1 = 1/x :לכן [ln(x)]´ = 1/x מ.ש.ל 5 5 5 5 5​

 

[tvfreak]

ואהי, זה היה מפורט !

הרבה תודה. רק דבר אחד לא ממש ברור לי בהסבר. מאיפה זה בא : lim n->oo (1 + 1/n)^n = e

 

[arcsinus]

תשובה.

במילים, הגבול של הביטוי

(1 + 1/n)^n​

כאשר n שואף לאינסוף, הוא המספר e . ההוכחה לקיום הגבול הזה וחישובו, היא לא ממש ברמה של תיכון, אבל אם תרצה אשמח להוכיח זאת. 5 5 5 5 5

 

[yatir]

אפשר להגדיר את e כך...

 

[arcsinus]

אבל רצוי להראות מדוע הגבול קיים

וסופי.

 

[yatir]

צודק...

 

[tvfreak]

אני מאוד אשמח

השאלה היא אני גם אבין משהו מההוכחה, כי אתה הרי אומר שזה לא ברמה של תיכון.

 

[arcsinus]

הוכחה.

5 5 5 5 5

 

[tvfreak]

או.קייי

טוב, כמו שחשבתי, הרבה הבנה לא הייתה לי (חוץ מהחלק הראשון אולי). בכל מקרה, היה קריאה מעניינת. תודה על ההשקעה.

 

[אלוהים1980]

ומכיוון אחר:

y=lan x זה כמו e^y=x גזור את זה כמו שגוזרים פונקציה סתומה ותקבל:

(e^y)*y´=1​

ועכשיו, תציב במקום e^y את x מהפונקציה המקורית ותקבל x*y´=1 חלק ב-x וקיבלת מה שרצית.

 

[arcsinus]

נכון, זו גם דרך.