0.999...=1?

[hananc]

0.999...=1?

ניסו להוכיח לי ש0.999..=1, ההוכחה הולכת ככה: נסמן: x=0.99999999999999999... אזי 10x=9.9999999999999999.... נחסר את המשוואה העליונה מהתחתונה ונקבל 9x=9 -> x=1. מ.ש.ל ואני טוען שמכיוון שכל מספר מייצג כמות אחת, ויש אין סוף כמויות, ואין סוף מספרים, זה לא יכול להיות! מי צודק?

 

[bursting nutshell]

1=0.999999

כן, זה נכון. תבטא את זה בתור גבול ותראה שזה נכון. וגם:

0.99999...=Lim(x->0)1-x=1​

מה שמוכיח את זה שוב.

 

[נבטכהן]

אבל מה לא נכון בהוכחת נגד שלי?

ולא הבנתי את ההוכחה שלך, אבל אמרו לי שיש עשרות הוכחות... מצתער על שם המשתמש השונה פשוט לא שמתי לב שאני מחובר מהמשתמש של אבא שלי.

 

[avinamal]

הבעיה היא שקשה לקשר את המונח

"כמות" עם הייצור המתמטי ...0.9999. הבעיה היא כמובן ב-... קצת סטיה משאלתך המקורית: בכלל קשה לקשר "כמות" לייצוגים כאילו. חשוב על שאלות בסגנון הפסיכומטרי "יואב קנה חבל באורך PI מטר..." או "שירי משתכרת שורש 2 ש"ח לשעה...". כדי להבין מדוע ...0.999=1 יש להבין מה זה השלוש נקודות האילו שם בסוף.

 

[גיל14]

ומה עם 0.9999...8?

 

[גיל14]

ישור

0.9999...8​

 

[inbal76]

פשוט אין משמעות לייצוג הזה

השלוש נקודות אומרות שמוסיפים את הסיפרה 9 שוב ושוב עד אינסוף. אז איפה נמצא ה-8? "במקום שאחרי אינסוף?"

 

[טלמון סילבר]

א. אינך צודק

ו"ההוכחה" שלך אינה נכונה. אם, כדבריך, יש אינסוף מספרים ואינסוף כמויות, זה עדיין אינו אומר שקיימת התאמה חד-משמעית הדדית ביניהם. דוגמה: בבית מלון מסויים יש אינסוף חדרים, הממוספרים: 1, 2, 3, וכו' עד אינסוף. והנה באו אינסוף תיירים, הממוספרים גם הם: 1, 2, 3, וכו' עד אינסוף, והם השתכנו במלון זוגות זוגות: בחדר מס. 1 השתכנו תיירים מס. 1 ו-2; בחדר מס. 2 השתכנו תיירים מס. 3 ו-4; בחדר מס. 3 השתכנו תיירים מס. 5 ו-6; וכו', עד אינסוף. כפי שאנו רואים, יש אינסוף תיירים ואינסוף חדרים, וכל תייר גר בחדר אחד מסויים, אבל זה לא אומר שבכל חדר גר תייר אחד בלבד! כנ"ל "המספרים" שלך! מדוע לא יכולים מספרים שונים לייצג אותה כמות? לא הוכחת את זה! ב. נחזור למספרים. המצב הוא כזה, שהמספר ...0.999 הוא לפי ההגדרה המספר 1. אלו בכלל אינם "שני מספרים שונים", אלא זה אותו המספר. אלו שתי דרכים שונות לכתוב אותו מספר. כנ"ל:

0.4999... = 0.5 0.31999... = 0.32 0.00999... = 0.01​

וכדומה. ג. מה זה, בעצם, שבר עשרוני (אינסופי)? תשובה. נניח שישנה נקודה על ציר x, בין המספרים 0 ו-1. לנקודה הזאת יש מרחק מסויים מנקודת 0 - כפי שהתבטאת נכון: "הכמות". איך אנו כותבים את המספר הזה בשיטת הספירה העשרונית? ובכן, בדרך הבאה. כותבים (משמאל לימין; בהנחה שהמספר בין 0 ו-1): 0, נקודה; מחלקים את הקטע [0,1] ל-10 קטעים שווים. ממספרים את הקטעים משמאל לימין כך: 0, 1, 2, . . ., 9. בודקים באיזה קטע נמצאת הנקודה שלנו, וכותבים את מספרו. עכשיו מחלקים את הקטע הקטן בו נמצאת הנקודה, שוב ל-10 חלקים, וגם אותם ממספרים משמאל לימין מ-0 עד 9, ושוב רושמים את מספר הקטע הקטנטן בו נמצאת הנקודה. וכן הלאה עד אינסוף. מתקבל שבר עשרוני אינסופי. אבל... אבל, מה נעשה אם בשלב כלשהו, הנקודה שלנו תהיה בדיוק על הגבול בין שני קטעים? תשובה: נבחר כל אחד מהם! איזה שאנחנו רוצים!!! אבל, בואו נראה מה יקרה אחרי זה. נניח, שבחרנו בקטע הימני (מבין שני הקטעים שהנקודה שלנו בדיוק מפרידה ביניהם), כלומר, רשמנו סיפרה גדול יותר מבין השתיים האפשריות. והנה, במקרה זה, כמה שנמשיך לחלק ולחלק שוב ושוב את הקטע הנבחר, ניאלץ בהמשך לבחור כל הזמן בקטע מס. 0, כלומר לרשום רק את הספרה 0. כלומר, קיבלנו "000 וכו' עד אינסוף (שלוש נקודות

)". מאידך, אם נבחר בקטע השמאלי מבין השניים האפשריים, כלומר נרשום את הסיפרה הקטנה מתוך השתיים האפשריות, אזי בהמשך ניאלץ כל הזמן לבחור רק בקטע הימני ביותר, מס. 9, וניאלץ לכתוב בהמשך רק את הספרה 9 "וכו' עד אינסוף (שלוש נקודות)". אפשר לומר, שבשני המקרים אנו מקבלים שבר עשרוני אינסופי - כי אם השבר סופי, זה אותו דבר כמו להוסיף לו מימין אינסוף אפסים:

0.4999... = 0.5000... 0.31999... = 0.32000... 0.00999... = 0.01000...​

אך כפי שציינתי ב-ב', אלו אינם שני מספרים שונים המייצגים אותה כמות, אלא שתי צורות שונות, חוקיות, לכתיבת אותו המספר.

 

[1ca1]

אפשר גם לעשות משהו כזה

a1=0 an+1=an+9*(10^-n) ברור שהסדרה מונוטונית עולה חסומה ע"י 1 ואף קל להוכיח שהוא הסופרימום שלה ולכן הסדרה מתכנסת אליו​

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo13.gif "אפשר לעשות" הרבה דברים,

תלוי מה המטרה. לדעתי, במקרה שלנו המטרה היא המחשה פשוטה ככל האפשר.

 

[avinamal]

../images/Emo45.gif טלמון: הסבר מעולה.

חבל שאתה לא מורה למתמטיקה!

 

[ירון כהן טל]

עוד הוכחה ש- 0.999...=1

ואוכיח זאת בדרך השלילה. אם הם שונים, אז תוכל לספר לי למה שווה ההפרש בניהם? בטח לא ל- 0

 

[inbal76]

גם אני התעצבנתי כשאמרו לי

שזה = 1. האינטואיציה אומרת שיש הבדל, אבל האינטואיציה לא תמיד עובדת כשמדברים על דברים אינסופיים. וזה מקרה קלאסי לדוגמה.

 

[whdragon]

יש לי הוכחה נחמדה לזה ^^

0.99999999999999999...​

אומר שיש לנו 0 ואחריו אין סוף אפסים נחסיר את זה מ1

1- 0.9999999999....​

עכשיו אנחנו יודעים שיש לנו 0 ואחריו אין סוף אפסים ואחרי זה אחד , זה אומר שאף פעם לא נגיע ל1 הזה ולכן הוא לא קיים

 

[נשיקת מוות]

הממממ CUTE

אבל אני כנראה תמיד אתקשה להאמין לדברים כמו זה וכמו שאר הדברים שאמורים להציב בנוסחה של הסדרה האינסופית המתכנסת... זה פשוט לא נראה הגיוני...

 

[frangelico]

אבל כשמכפילים ב 10 אז כל המספר

זז שמאלה כמו שעשית אבל הספרה האחרונה עכשיו היא אפס ולא 9. ולכן החיסור הזה לא נכון

 

[bursting nutshell]

ממש לא

המספר נמשך עד אינסוף, ולכן (כמו שמציגה ההמחשה המבריקה של 'המלון של הילברט') הספרה 'האחרונה' (למרות שבפועל לא קיימת ספרה כזו) עדיין תהיה 9. האינסוף הוא דבר מוזר, ולמרות שקשה להבין אותו מערך פשוט של אקסיומות יכול להבהיר הרבה מהדברים שאינטואיטיבית נכונים ולהוכיח שמבחינה הגיונית הם הפתרון הנכון היחיד.

 

[inbal76]

אין ספרה אחרונה

יש מימין 3 נקודות (בהודעה הן קפצו לשמאל אמנם) שאומרות שהספרות 9 נמשכות עד אינסוף.

 

[DarkCrystal]

אבל

יש אינסוף 9

אז מה תהיה הספרה האחרונה

אין דבר כזה כאן "הספרה האחרונה" כי יש אינסוף ספרות.