תרגיל במכניקה

[buzle]

תרגיל במכניקה

טוב, יש לי תרגיל שאני חושש שבשביל לפתור אותו אני אצטרך לפתור משוואה דיפרנציאלית, ואני יודע שזה גדול עלי

אולי למישהו יש רעיון יותר סימפטי איך פותרים את התרגיל הבא? האנרגיה הפוטנציאלית (ביחידות ג'ול) של מסה (M = 6 kg) המחוברת לקפיץ נתונה ע"י: U(x) = 5x^2 - 10x + 12 מצאו את זמן המחזור של תנודות קטנות סביב נקודת שיווי משקל. (תנו תשובה בשניות) שימו לב כי ניתן לחשב את הכח מתוך הפוטנציאל.

 

[buzle]

ועוד תרגיל קטנטן על נדנד הרמוני

נתונים שני אוסילטורים מרוסנים, הנבדלים אך ורק במסה של הכדור m1 = 2*m2. אם לאוסילטור מספר 1 לוקח 10 שניות לאבד 50% מהאנרגיה, כמה זמן ייקח לאוסילטור מספר 2 לאבד 90% מהאנרגיה?

16.61 sec 10.11 sec 18.01 sec 23.17 sec |27.50 sec​

 

[AnarchistPhilosopher]

בשביל זה לא צריך אפילו לגזור...

נקודת השיווי משקל היא נקודת המינימום של הפוטנציאל. תמצא את x עבורו U מינימלי (כלומר קדקוד הפרבולה). בנקודת שיווי המשקל יש רק אנרגיה קינטית שהיא שווה ל-Mw^2x^2/2, והיא שווה לאנרגיה הפוטנציאלית בהתחלה ששווה ל- U(x) (כאשר מציבים את ה-x המינימלי הנ"ל), מציבים ומוצאים את w כאשר T=2pi/w. T זמן המחזור של הגוף.

 

[סוס כסוף]

קושיה ../images/Emo35.gif

אנרגיה פוטנציאלית מבוטאת בדרך כלל לפי 0.5kx². כאן יש X בחזקה 1 ואיבר חופשי. מנין לי שאלה נוצרו גם כן ע"י הכוח של הקפיץ? אולי הם תוצאה של משהו ליניארי כמו כבידה למשל? האפשרות האחרת היא שנקודת שיווי המשקל היא לא ב X=0. אז מה המשמעות של האיבר החופשי במקרה זה? תודה.

 

[סוס כסוף]

ועוד משהו שמטריד אותי ...

אם בביטוי של האנרגיה הפוטנציאלית יש איבר חופשי אני מבין שבנקודת מינימום יש אנרגיה פוטנציאלית שאיננה אפס. אז איך אפשר לייחס את כולה לאנרגיה הקינטית?

 

[montag26]

איפ]ה אתה רואה

x בחזקת 1? האנרגיה הפוטנציאלית כאן היא ריבועית (נתון בהתחלה). אחרת התנועה גם לא היתה הרמונית. נקודת שיווי המשקל כאן היא באמת x=1 ולא x=0. יחסית לנקודה זו הפוטנציאל הוא U(x)=5(x-1)^2+7. האיבר החופשי 7 הוא חסר משמעות כיוון שמה שמשנה זה ההפרש באנרגיה הפוטנציאלית בין 2 נקודות

 

[montag26]

המשך

זו אנרגיה של קפיץ מהצורה U(x)=0.5*k*x^2+const (x יחסית לש"מ) כאשר k=10

 

[סוס כסוף]

תודה. הקושיות התייחסו לפתרון שהוצע.

הפתרון שלך נראה טוב מאוד.

 

[buzle]

אתה בטוח שזה יעבוד?

יוצא w=1 וזה נראה לי ממש פשוט מדי מכדי להיות אמיתי

אני מפחד לעשות טעות ולהגיש תוצאה לא נכונה לגולם הממוחשב שבודק.

 

[montag26]

הפתרון שלך לא ברור

Mw^2x^2/2 זו אנרגיה פוטנציאלית, במרחק x כלשהו. אם מציבים x=1 (ש"מ) אז U=0. התכוונת שהאנרגיה הקינטית בהתחלה שווה לאנרגיה הפוטנציאלית בקצה התנועה? אז האנרגיה הפוטנציאלית היא Mw^2A^2/2 כאשר A היא האמפליטודה, ולא ניתן למצוא אותה כי לא ידוע A.

 

[AnarchistPhilosopher]

../images/Emo128.gif רוב הזמן שטויות... ../images/Emo4.gif

 

[montag26]

פתרון

הכוח הוא F=-(dU/dx)=-10x+10=-10(x-1) זה מתאים לכוח של קפיץ F=-kx יחסית לנק' שיווי משקל, כאשר k=10. כעת תדירות התנודות היא w=sqrt(k/m) וזמן המחזור T=2*pi*sqrt(m/k) כאשר: k=10, m=6