תורת המידה

[הרוצה להחכים]

תורת המידה

אשמח לעזרה בשאלה המצורפת.

תודה

 

[1ca1]

תשובה

ראשית לגבי המדידות, לא צריך כאן קומבינות כלשהן, זה נובע מיידית מהמדידות של f.
&nbsp
לגבי המונוטוניות, זה מיידי מההגדרה והעובדה שכל מידה חיובית היא מונוטונית.
&nbsp
עכשיו לגבי רציפות משמאל, צריך להראות שעבור t0 כלשהו, יש דלתא, כך שאם zz t0-t<d zz אז zz p(t0)-p(t)<e zz
לפי הגדרת f, תקבל ש- zz p(t0)-p(t)=lambda {x\in A | t0<=p(x)<f(t)} zz
&nbsp
נגדיר סדרת קבוצות An={x\in A | t>p(x)>t-1/n} zz
אזי אם מראש נניח ש-t0<1 נקבל שהקבוצה שמודדים ב-p(t0)-p(t) מוכלת באחד ה-Anים לאיזשהו n, וכמובן ש-An היא סדרת יורדת של קבוצות. במקרה של מרחב ממידה סופית, יש לנו רציפות של המידה על סדרות יורדות, ולכן
zz lambda (An) -> lambda (A_infinity) zz
עכשיו מה הגבול של הקבוצות An? זה שווה ל-
zz A_inf = {x\in A | t>p(x)>=t} zz
כלומר הקבוצה הריקה, ולכן המידה של A_inf היא אפס וסיימנו.

 

[הרוצה להחכים]

שאלה

ראשית, תודה שענית

לא הבנתי את הנקודה הבאה:

"לפי הגדרת f, תקבל ש- zz p(t0)-p(t)=lambda {x\in A | t0<=p(x)<f(t)} zz", למה?

האם זה לא צריך להיות לפי הגדרת f, תקבל ש- zz p(t0)-p(t)=lambda {x\in A | t<=f(x)<t0} zz ??

 

[1ca1]

נכון, התבלבלו לי הסימונים

התחלתי לכתוב עם f ושיניתי באמצע ל-p ולא הכל.
הכוונה היא "לפי הגדרת p" ,אם כבר אתה מדקדק, אז מקבלים את המשוואה הזו.
&nbsp
ולגבי ההנחה, מדובר על zz t0-t<1 zz

 

[הרוצה להחכים]

אוקיי, ובקשת הבהרה אחרונה

תוכל בבקשה להסביר שוב את הגדרת A_n ?
&nbsp
ולמה לפי הגדרתה אם נניח ש- t0-t<1 נקבל שהקבוצה שמודדים ב-p(t0)-p(t) מוכלת באחד ה-Anים לאיזשהו n ?
&nbsp
נראה שמהקטע הזה ואילך אני מבין...

 

[1ca1]

הכל נובע מהמשוואה

אם לא הבנת את המשוואה, לא הבנת את השאלה (ואת כל הקורס בהסתברות ד"א, השאלה הזאת היא לא אחרת מאשר שאלה על התכונות הבסיסיות של פונקציית הצטברות).
המשוואה שואלת כמה xים יש כך ש- f(x) בין t0 לבין t.
אם t0-t קטן מאחד, הוא קטן מאיזשהו zz t0-1/n zz.
ולכן מספיק להעריך כמה xים יש בין t0 ל-t0-1/n.
מכאן תקבל סדרת קבוצות מונוטונית, ומעריכים את זה בצורה הסטנדרטית.

 

[הרוצה להחכים]

ועוד משהו

למה אפשר להניח מראש ש- t0<1 ?