תהיות לגבי פאי...

[בגינס]

זה לא מה שהתכוונתי...

השאלה שלי היא כזו: אם תחילה גילו את הרדיאנים, הרי שגילו את העובדה שהיקף מעגל שווה ל- 2pi*r עוד טרם גילו את האינטגרלים, ואז אני שואל כיצד הוכח שהיקף מעגל הוא 2pi*r? אם גילו קודם כל את האינטגלים, ובאמצעותם הוכיחו שהיקף מעגל הוא 2pi*r, האם השתמשו במעלות לגילוי היקף זה? ואם לא, האם הוכיחו זאת ללא פונקציות טריגונומטריות?

 

[1ca1]

קודם כל

היונים ידעו לחשב שטחים בכל מיני שיטות, שיטה אחת מאוד דומה לאינטגרלים (מעין חיסור שטחים של דברים מוכרים למשל כמו שלפעמים במקום לעשות אינטגרל של ישר אתה פשוט מחסר שטח משולש וכו') הקטע הוא שפאי הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו... ככה שלהוכיח בעזרת זה את ההיקף זה קצת מעגלי לטעמי... כיצד הוכח? בזמן העתיק נראה לי לא התייחסו למתמטיקה ברמה כזאת, עשו קירובים (בטח ע"י חוטים ומדידות מדוייקות, הרי הם בטוח לא ידעו על טורי טיילור ופורייה ) ופשוט ראו שכל מעגל שניסו למדוד מתאים בקירוב לנוסחא... (למעשה לא ממש פקפקו למשל בחוקי ניוטון למכניקה עד שגילו את הקטע עם המסלול של כוכב חמה, רק בגלל שזה פשוט מאוד תמיד עבד לאנשים בחישובים, ואז איינשטין הציע את תורת היחסות והכל היסטוריה)

 

[פייד-ראותא]

בקשר לחוקי ניוטון...

החיפוש אחרי תאורייה כוללת יותר ונכונה יותר מאשר זו שהייתה חבוייה בחוקי ניוטון,התחיל לא אחרי שום קטע עם כוכב מרקורי והמסלול שלו,כאם אחרי גילוי הסטירה בין חוקי ניוטון לבין התאורייה של לורנץ לגבי שדות אלקטרו-מגנטיים וכו'. בקשר להיקף המעגל...אני לא מבין מה הבעיה שלכם בדיוק,אבל זה נראה לי די ברור שהגיעו לנוסחאת ההיקף לאחר שגילו כי היחס בין קוטר המעגל להיקפו קבוע וכינו אותו פאי. משלב זה המעבר לנוסחאת ההיקף הוא מיידי לגמרי. איך גילו שהיחס קבוע? זה כבר משהו אחר,בוודאי ע"י חסימת מצולעים משוכללים בעלי מספר צלעות גדול יחסית שאת ההיקף שלו ידעו לחשב בקלות. פייד!

 

[בגינס]

אתה עדיין לא יורד לסוף דעתי...

השאלה שלי היא... החישוב ה"מודרני" של פאי נעשה באמצעות אינטגרלים (נכון???). כשמתארים פונקציה טריגונומטרית מסתמכים על רדיאנים, שהאחרונים מבוסיים על פאי. אני מבין מכך שחישוב פאי באמצעות אינטגרלים אינו כולל שימוש בפונקציות טריגונומטריות, כי אחרת היתה זו הוכחה מעגלית. ולכן אני שואל, כיצד מחשבים פאי? אני מניח שזהו גבול של פונקציה לא טריגונומטרית שאותו מחשבים ע"י טורי חזקות. האם אכן הדבר? אם כן מהי הפונקציה? אם לא, אז כיצד מחשבים פאי?

 

[פייד-ראותא]

אתה שואל מהו...

החישוב המודרני של פאי או איך חישבו אותו לראשונה?! אתה ממש לא ברור!!! אפשר לחשב את פאי כיום ע"י טורי פונקציות טריגונומטריות למיניהן,אבל זו לא מתיימרת להיות הוכחה לשום דבר!!! פאי היום מחושב ע"י מיליון ואחת שיטות שונות,עם העדפה ללשיטות שיתנו לך את הדיוק המקסימלי בכמה שפחות "זמן" חישוב. אני יכול להראות לך אחת כזו,אבל אתה,כמוני,בכל מקרה לא תבין איך הגיעו אליה. אגב,אפשר להגיע לערכו של פאי גם ע"י חישוב גבולות של סדרות שונות פשוטות ומסובכות.החיסרון של אלו הפשוטות הוא שייקח לך "זמן" חישוב רב להגיע לתוצאה מדוייקת יחסית. פייד!

 

[פייד-ראותא]

לסיכום,כי שכחתי...

לא,זה לא נכון שהחישוב המודרני של פאי נעשה ע"י אינטגרלים. אפשר לחשב את פאי גם בשיטה לא יעילה מסויימת שמערבת אינטגרלים(בטח ישנן הרבה,לי כרגע עולה לראש אחת). פייד!

 

[1ca1]

קודם כל

ישנו משפט באינפי האומר, שלכל מספר אי-ראציונאלי ניתן למצוא סדרה מונטונית של מספר ראציונאלים שתתכנס אליו (למעשה הוא הסופרימום של הסדרה וכו', למעשה אולי אין בדיוק "משפט" כזה, אבל זה נובע ממש מיידית מתכונות של סדרות מונוטוניות+משפטים מסויימים עליהן) (דוגמא, e הוא הגבול של הסדרה 1 ועוד 1 חלקי n, כל זה בסוגריים בחזקת n, וכמובן n שואף לאינסוף,כל מספרי הסדרה עצמם הם ראציונאלים בחזקה רציונאלית, ואילו e הוא אי-ראציונאלי (הוא גם טרנסצנדנטי אבל זה משהו אחר)) לכן ניתן לבנות קירוב לפאי בעזרת ראציונאליים.... מספר קירובים שעלו לי לראש ניתן לחשב סכום רימן של חלק ממעגל קנוני עם רדיוס 2 שנמצא ברביע הראשון (ה2 בריבוע בדיוק יבטל את הרבע) ולבצע שורש עוד דבר שדיברנו היום עליו בתירגול באינפי ניתן להוכיח בעזרת טורי פורייה שסיגמא מ1 ועד אינסוף (הגבול של סדרת הסכומים החלקיים) של 1 חלקי n^2 מתכנס (את ההתכנסות ניתן למשל להוכיח בעזרת משפט ההשוואה הראשון), וסכום הטור הוא pi^2 חלקי 6 (את הסכום אפשר למצוא כמו שהזכרתי ע"י שימוש בטורי פורייה וכו')

 

[בגינס]

תודה רבה!!!

זה מה שחיפשתי. אם אתה מכיר שיטה פשוטה מכל מגוון השיטות לחישוב פאי, אשמח אם תראה לי. בכל מקרה עכשיו זה מסתדר לי.

 

[פייד-ראותא]

קבל קישור...

אני חושב שזה יספק אותך... כאן פייד!

 

[vvizard]

התבלבלתם

השאלה המקורית היתה איך גילו את העובדה שיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא מספר קבוע. השיטות לחישוב המספר הזה מתבססות על העובדה הזאת. זה בדיוק מה שהפריע לך, בגינס והם הצליחו לבלבל אותך כי עדיין כול השיטות שהובאו כאן מניחות את הקביעות של היחס הזה, כמו שאמרת. אין שום טעם למדוד זויות ברדיאנים אם לא מתקיים היחס הקבוע בין היקף לקוטר (כי אז לאותה זוית לא היה ערך חד-ערכי, אלא תלוי במעגל שהשתמשו למדידתה). אני אינני יודע את התשובה לשאלה הזאת ובאמת אשמח לקבל קישור לתשובה. (במקרה ואיננו מופיע בהמשך השרשור). דרך אגב, לגבי ההערה ל"יחס למתמטיקה" בעת העתיקה. זה לא נכון. בטוח ליוונים היה מושג של אמיתות מתמטית, ובחיים לא היו מסתפקים במדידה בעזרת חוט של הרבה מעגלים ומסיקים משהו לגבי זה. למעשה, זה מנוגד לכול הפילוסופיה שלהם, אשר בזה לניסוי כאל משהו נחות. ולהיפך, היום זה דווקא הרבה יותר מקובל, ראה את כול ההשערות שקיימות היום במתמטיקה ללא הוכחה ומשתמשים בהם כי "זה תמיד יוצא נכון". הדוגמא לגבי חוקי ניוטון לא רלוונטית בכלל. זה פיסיקה.

 

[fibonachi]

לא בדיוק משפט

יותר הגדרה - ההגדרה הבסיסית של הממשים היא קבוצה של הקציונלים והסגור של לפועלת הגבולות לכן יוצא מכך שכל איבר רצינלי או אי רציונלי בR קיימת סידרה ששואפת עליו...

 

[1ca1]

בסדר זה חתכי דדקינד

אבל זה רק במרחב שמקיים את תנאי קושי להתכנסות, בוא נשאיר את זה פשוט בסדר...

 

[aviah]

אם כבר תותחנים

אופן החישוב הנהוג בתותחנים נגזר מהגדרת הרדיאן. יחידת המידה בה משתמשים התותחנים נקראת "אלפית" והיא מוגדרת כקשת באורך מטר אחד בטווח 1000 מטר. עד לפני כמה עשרות שנים נהגו למדוד בעזרתה טווחים. למשל, אם טנק שרוחבו שלושה מטרים מכסה אלפית אחת על פני המשקפת שלך, הרי שהוא נמצא במרחק 3000 מטר ממך. כמה אלפיות יש במעגל? חישוב פשוט מראה שישנן 6280 אלפיות כאלה (2 פאי כפול 1000). המספר 6280 אינו נוח לחישובים מעל פה להם נדרש מפקד טנק/תותח בעל השכלה תיכונית ועוד קורס ארטילריה קצרצר. בארצות הברית עוגל המספר ל-6400 אלפיות; בברית המועצות ז"ל - ל-6000.

 

[טלמון סילבר]

חוק ידוע נוסף הוא: הזמן הדרוש

לביצוע עבודת תִכנות כלשהי, שווה לזמן לפי אומדן המְּבַצֵּעַ, כפול π. הערה קטנה. לפני שנים רבות, למספר הזה קראו בארץ פִּי, כפי שהוא נקרא ביוונית. עכשיו הוא "תורגם" לאנגלית

 

[בגינס]

לא מסתדר לי...

כאשר חישבו רדיאן, הניחו כי ישנם אינסוף רדיאנים במעגל??? הרי רדיאן הוא קשת באורך רדיוס וישנן 2 פאי קשתות כאלה על מעגל, לא? זה כמו להגיד שתחילה הניחו כי ישנן אינסוף מעלות על מעגל ורק לאחר מכן נתגלה כי יש 360. תוכל להסביר באופן היררכי את טענותיך?

 

[1ca1]

שטויות

ראדיאן=הזווית המרכזית ככה שאורך הקשת הכלואה בין 2 הרדיוסים שווה לרדיוס זה שמצאו קשר שבעזרתו ניתן להוכיח כי pi/6=30 מעלות למשל, זה מסתמך על הנוסחא להיקף מעגל בגדול...

 

[בגינס]

אבל החשבון האינטגרלי מסתמך על פאי..

לפי מה שלמדתי (ויכול מאוד להיות שאני טועה!!!) החשבון האינטגרלי מסתמך על פאי, כלומר פונקציות טריגונומטריות מחושבות ע"י רדיאנים, ורדיאנים, בניגוד למעלות, מבוססים על פאי. לכן הוכחה באמצעות חשבון אינטגרלי היא מעגלית.

 

[c li me]

תהייה נוספת לגבי פאי../images/Emo163.gif

הראו לי הוכחה - שנראית לי משום מה נכונה - שפאי שואף ל2. מישהו מכיר אותה? (אני מניח שכן) בכל אופן - אם כן - אולי מישהו יכול להסביר לי איפה הפנצ'ר בהוכחה. ואם לא - אז אני כבר אכתוב את ההוכחה ואולי אז תוכלו לעזור לי להבין תודה.

 

[פייד-ראותא]

תכתוב...

את ה"הוכחה" ונראה. פייד!

 

[c li me]

מצורפת ה"הוכחה"../images/Emo163.gif

קצת התעצלתי בכתיבה אבל אני מקווה שבכל אופן היא ברורה.