תגידו...

[א פ ל ו ל י ת]

תגידו...

יש מצב שיבוא איזה מישהו ויוכיח שאחד מיסודות הבניין של המתמטיקה אינו נכון? וכל (או רוב, או חלק) מהמתמטיקה תיפול בעקבות זה?...

 

[freedom rider]

לא

 

[א פ ל ו ל י ת]

למה...

 

[IP yuval]

כן.

כדאי להתחיל לנסות.

 

[bralon1]

נעשה משהו דומה...

גדל למעשה פירק את חלומו של הילברט לשים את כל המתמטיקה על יסוד אחד המשותף לכל. בעיקרון מקריאה של ספר בשם "השערת גולדבאך והדוד פטרוס" מובא כי כל המתמטיקאים בעצם הניחו כי דרך ההוכחות במתמטיקה אינה מוטלת בספק עד כאשר בא גדל וערער את דרך החשיבה הזו.

 

[the new L]

אה???

לא ממש הבנתי מאיפה הבאת את המשפט האחרון "כל המתמטיקאים בעצם הניחו כי דרך ההוכחות במתמטיקה אינה מוטלת בספק עד כאשר בא גדל וערער את דרך החשיבה הזו.". דרך ההוכחות במתמטיקה היא אכן הדרך היחידה לפתח את המתמטיקה. מה שגדל הוכיח בסך הכל זה שעבור כל קבוצת אקסיומות שמקיימות תנאים מסויימים יש טענות שלא הן ולא היפוכן נובעים מהאקסיומות הללו.

 

[bralon1]

נכון, והמתמטיקאים לפני כן חשבו כי

ביכולת המתמטיקה להוכיח כל טענה שהיא מאותה מערכת של אקסיומות, דבר שגדל הפריך.

 

[1ca1]

לא רק זאת אלא ש

גדל הוכיח שבכל מערכת אקסיומטית שהיא, תמיד יהיו טענות בלתי ניתנות להכרעה... ככה שלעולם לא נשיג את החלום של הילברט...

 

[yuvalmadar]

בכל מערכת?

חשבתי שמדובר רק בסוגים מסוימים של מערכות אקסיומות... מישהו מוכן להעלות מאמר שיישב את כל השאלות והאי-בהירויות בנושא?

 

[עמוס ארליך]

במערכות מסוימות

בכל מערכת שניתן לנסח בה ולהוכיח תכונות בסיסיות של המספרים הטבעיים ניתן לנסח טענה שהיא נכונה אך אי אפשר להוכיחה באותה מערכת.(אם נוסיף אותה כאכסיומה אז תימצא טענה אחרת כנ"ל) לא צריך להתרגש מזה. כשם שאין בן אדם שיודע הכל כך אין תורה פורמלית "שיודעת הכל" .

 

[amni]

בוודאי שהטילו ספק רק שלא

הציגו דוגמא פורמלית. יתכנו עוד ספיקות אבל מכיוון שפורמליזציה שלהם מסובכת מאוד ואין לכך השלכות מעשיות (כנראה) לא משקיעים מאמץ בכיוון.

 

[bralon1]

לפחות לדוד פטרוס מהספר שציינתי

לא היה ספק.

 

[חתולה שחורה בודדה]

לא בהכרח

ישנן מספר תיאוריות לנושאים מסויימים, המתמטיקה איננה דבר מוצק. אנחנו הולכים לפי התיאוריה של אוקלידיס. למשל התיאוריה של קווים מקבילים לא יפגשו לעולם. יש תאוריה נוספת שאומרת שהם נפגשים באינסוף, וכזו שאומרת שההם ילכו ויתרחקו. לכל תיאוריה פיתוח מתמטי שונה. הבסיס הוא זהה, ואנחנו הולכים לפי דרך מסויימת. זכרי שהמתמטיקה היא לא פיתרון, היא ד ר ך, חשיבה מסויימת, בעזרתה נבנים מעגלים אלקטרונים, כלי רכב, מחשבים, ונמדדים נפחים ומידות. גם אם כל המתמטיקה תשתנה, הדרך תישאר בבסיסה אותה דרך, בכל עיר מדינה או כוכב ביקום.

 

[amni]

הוא דיבר עלח קושי מסוג אחר

את מדברת על מערכות אקסימטיות שונות וכאן אין בעיה. השאלה שלו מתייחסת לפגם אפשרי ב"שיטות ההגדרה וההסקה" שבה משתמשת המתמטיקה. יש סיכוי שהן לא מושלמות ושאי אפשר לעשותן מושלמות, אבל הפגמים הללו עד היום לא גרמו צרות בפועל.

 

[חתולה שחורה בודדה]

בדיוק

בגלל שהם לא גרמו צרות זה לא משנה אם יש בהם פגם, כי הן עשו את תפקידן, ורוב המתמטיקה השימושית כבר מפותחת במידה מספקת, ובכלל התפתחה לפני מאות שנים.