שתי חידות מעניינות

[יניב בתפוז]

שתי חידות מעניינות

1. מבניין בעל 100 קומות זורקים כדור בדולח מהקומה ה-X. ידוע כי מקומה Y מסוימת נשבר הכדור, ומתחת לקומה זו, הכדור נשאר שלם. בעזרת 2 כדורי בדולח זהים כאלה, כיצד ניתן למצוא במספר מינימלי של זריקות מהי אותה קומה Y (אם כדור נשבר, לא ניתן להשתמש בו שוב) 2. בחידה הזו נתקלתי לאחרונה, ולאחר הרבה מחשבה, אני עדיין שואל את עצמי איך ניתן לפותרה (בניגוד לחידה הראשונה, שלה אוכל לתת את התשובה שהגעתי אליה): בחצר מעגלית שמוקפת ע"י גדר, יש עשב. אחלה עשב. נער צעיר קשר את סוסו בחבל להיקף החצר (לגדר) והשאירו לבדו יומיים, בטעות. נתון ועובדה שהסוס הרעב אכל את כל העשב שאליו הצליח להגיע וכמו כן נתון ועובדה שהשטח של העשב שנאכל היווה חצי משטח החצר המעגלית. הסוס הצליח להרחיק עד K מרחק מנקודת קשירתו. רדיוס החצר המעגלית - גודלו R. בקשת השאלה היא לבטא את Kבאמצעות R. בהצלחה!

 

[איייייל]

אתה בטוח שיש לזה פתרון?

אני קיבלתי משוואה שנראית לא פתירה... מצד שני אולי אני מחמיץ משהו...

 

[יניב בתפוז]

אני בטוח

נתקלתי בחידה הזאת בפורום אתר תלפיות (הגאונים של הצבא), וכמה שישבתי עליה לא הצלחתי. לא הבנתי את החלק הראשון של המשוואה שלך. אני מניח שיש פתרון יותר אלגנטי, אבל השאלה היא איך. אולי תנסה לפתור את החידה הראשונה, היא די חמודה.

 

[איייייל]

הראשונה מוכרת מאוד

בקשר לשניה, המשוואה הראשונה היא (עד כדי טעות) חישוב ראש-בקיר של השטח שהסוס הגיע אליו (בעזרת הנוסחה לשטח משולש ושטח של גזרה מעגלית).

 

[טלמון סילבר]

את השאלה הראשונה ראיתי בפורום

בדיוק כשגיליתי אותו לראשונה (הודות לאיגור). אח"כ ראיתי אותה בספר "מספר חזק", כולל הפתרון הנכון, אשר אכן הוצג ע"י אחד ממשתתפי הפורום.

 

[איייייל]

פתרון נומרי

K = 1.1587 R theta = 0.9528 = 0.3033 pi​

 

[איייייל]

אני לא לבד...

http://mathforum.org/library/drmath/view/54837.html

 

[yatir]

אפשר להפוך חלק מהחלקים במשוואה

שלך לפונקציות טריגונומטריות, אך עדיין לא נראה לי שאפשר לפתור את זה. אפשר להשיג קירוב ע"י שיאת ניוטון רפסון. אבל יש לי עוד דרך נחמדה להגיע לשטח שהחמור (או סוס, או כבשה, יש כל מיני גרסאות

) מכסה. גודל הקשת שהחמור מכסה ברדיוס r הוא (2r*acos(r/2, אפשר לקחת אינטגרל, מ-0 ל-r, ולקבל את השטח. יתיר

 

[Fingertip]

מאיפה הגיע ה-a?

דרך נוספת: מחשבים את נקודת החיתוך, מוצאים את הזוית, מאסכמים באסכמת כפולה במערכת צירים קטבית, ומשווים למחצית/רבע השטח. כמובן שהרבה יותר קל לדבר מאשר לעשות... אהד.

 

[yatir]

arcCos

 

[יניב בתפוז]

מה לגביי החידה הראשונה?

לאף אחד אין רעיון?

 

[pallidfool]

בבקשה

פתרתי לכל מספר טבעי של ביצים וגם לאינסוף ביצים. http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/archive/Viewmsg.asp?id=631&msgid=10066781&place=702

 

[pallidfool]

ביצה שקולה לכדור-בדולח שקול לכדור

 

[טלמון סילבר]

נהדר ../images/Emo45.gif !

חבל שלא הבאת את זה גם בפורום מתימטיקה, לכן לא ראיתי את זה בכלל (בפורום חידות בדר"כ אין כל כך הרבה מתימטיקה, וכמו שראית, החבר'ה שם התקשו אפילו לחשב גובה חרוט, שנפחו 7/8 מנפח חרוט דומה נתון). בפורום מתימטיקה היתה מזמן-מזמן, כשרק גיליתי במקרה (הודות לאיגור) את הפורום, החידה על שתי הביצים, והפיתרון 14 התקבל כחלק השלם העליון של פתרון משוואה ריבועית, בדיוק כמו בספר "מספר חזק", אבל לא היתה ההכללה למספר ביצים כלשהו (עד כמה שאני זוכר). אולי מישהו יעזור למצוא אותה בארכיון לשם השוואה?

 

[הנשר הנובח]

לטלמון ../images/Emo107.gif

האם כונתך לקישור הזה ? או שמא לקישור שכאן ?

 

[טלמון סילבר]

נדמה לי שהיה קודם, ל-2 ביצים בלבד,

פתרון מלא תוך כדי דיון-שרשור ארוך בבעיה. אז היתה גם חידת השבוע על "הטרומינו" עם הפתרון של SHARC. אולי זה היה בספטמבר?

 

[טלמון סילבר]

נכון! בניצוחו של ידידנו pallidfool.

 

[pallidfool]

../images/Emo13.gif

 

[Escova]

אני חושב שיש לי פתרון קצת אחר...

אני לא יודע מה זה נומרולגיה וכול שאר השמות הכבדים, אבל נראה שיש לי רעיון... מתחילים מהקומה השלישית וזורקים משם כדור ראשון. אם הכדור התנפץ, יורדים קומה מתחת וזורקים את הכדור השני, אם השני התנפץ, הקומה מתחת היא קומת הY אם לא התנפץ, הקומה ממנה זרקנו היא קומת הY . ככה ממשיכים בצורה של סדרה חשבונית (D=3, A1=3 ו AN=100 או 99 לאחר אומדן, וגם אם בכול הקומות הכדורים ישארו שלמים עד 99 , זה יהפוך את קומת מאה לקומת הY כיוון שאין מעליה עוד קומה) מכן נובע, שהכמות המקסימלית של זריקות היא 33. קיימת גם אפשרות אחרת, במקרה שקיימת אספקה בלתי מוגבלת של כדורים, ניתן ללכת לפי הדפוס הבא: להתחיל מהקומה החמישים, לזרוק כדור, התנפץ, עוברים לקומה 25, לא התנפץ , עוברים לקומה 75, וכך מצמצמים טווח עד שמגיעים לקומה המבוקשת (במקרה של שבר בחלוקה, כמו ½12 בקומה 25, נאלץ לזרוק כדורים מ2 הקומות, 12 ו13) אבל ראיתי איפשהו כאן מישהו שהגיע ל14, אני רוצה לדעת איך...

 

[Escova]

יא איזה פדיחה !!!

נכנסתי עכשיו לקישור עם הפתרון וכול מה שכתבתי כתוב שם !!! ואני עוד השקעתי בזה... חחחחח... נו טוב, יש עוד חידות ?