שתי חידות חביבות

[yak141]

שתי חידות חביבות

למי מביניכם שנוהג להישער ער בשעות האלה של הלילה ועוד מעוניין לעסוק במתמטיקה מצורפות שתי שאלות מאולימפיאדות מתמטיקה שונות. הראשונה, מהאולימפיאדה הבין לאומית שנערכה לפני מספר שנים (לא קטן במיוחד) ולכן איני בטוח שניסוח השאלה הוא בדיוק כפי שהופיע באולימפיאדה עצמה אך אני יודע שלשאלה שאני מציג כאן בפירוש יש פתרון לא מסובך. את השניה מצאתי היום במהלך השוטטות באינטרנט והיא קצת פחות מסובכת. ב ה צ ל ח ה ! --> אמרו לא לשרשר חידות אז... אני לא משרשר!

 

[rainbow15]

2.

(m,0) (0,n)​

וממש אין לי מושג את היתר... הגעתי למשוואה שאני לא יודע לפתור ...

 

[Pelor]

תשובה לשניה

M יכול להיות כל מספר כאשר N=0 וN יכול להיות כל מספר כאשר M=0 ובמקרים אחרים כאשר : 3N-1 ----- = M N-3 המשוואה גם תתקיים... יכול להיות שלא הבנתי את החידה כמו שצריך כי כל מה שעשיתי זה לפשט את המשוואה...

 

[yak141]

בעקרון נכון..

אכן אמרתי שזו שאלה לא מסובכת, אך תוכל למצוא את כל המספרים השלמים המקיימים את התבנית ולהוכיח שמצאת את כולם?

 

[Halfbaked]

התחלה טובה

נסמן

K=N-3​

ואז

M = (3N-1)/(N-3) = (3K+8)/K = 3 + 8/K​

מכיוון שמדובר במספרים שלמים, K חייב להיות מחלק של 8. ישנם שמונה מחלקים, וכך מתקבלים שמונה פתרונות:

K=-8 N=-5 M=2 K=-4 N=-1 M=1 K=-2 N=1 M=-1 K=-1 N=2 M=-5 K=1 N=4 M=11 K=2 N=5 M=7 K=4 N=7 M=5 K=8 N=11 M=4​

ואלו הפתרונות היחידים פרט לאלו בהם N או M הינם אפס.

 

[yak141]

נכון בהחלט!

אכן תשובה נכונה ומלאה! מישהו ניסה לפתור את השאלה הראשונה? היא טיפה יותר מסובכת, אם כי לא בהרבה.

 

[כרומטי]

נסיון לפתרון החידה הראשונה....

למרות שלא בדיוק הבנתי את הסימונים נראה לי שהבנתי את הכוונה...... זה אומר ש a ו- b הם מספרים טבעיים?

k^2=ab-1 k^2/ab=-1/ab ab/k^2=ab/-1​

כלומר k חייב להיות מספר מדומה ומכאן ש ab-1 איו ריבוע של מספר שלם.......אני צודק?.......אני בכלל בכיוון?......או שעשיתי כאן טעות רצינית מאוד ובסיסית מאוד?......בכלל הבנתי את השאלה נכון?

 

[נועם ק]

יש לך טעות

כשמחלקים את k^2=ab-1 בab מקבלים k^2/ab=1-1/ab ולא את מה שאתה רשמת (הורדת את ab)

 

[כרומטי]

../images/Emo3.gif צריך להמשיך לחשוב........

 

[כרומטי]

שאלה.......רק לראות שהבנתי את החידה

a ו- b צריכים להיות 2 מספרים טבעיים ששונים מ- 2 , 5 , 13 .....נכון? האם הם יכולים להתחלק ב- 2, 5 , 13 ? כי יש זוג מספרים 10 ו- 17 כך ש 10*17=170 1-170=169 2^13=169 ..............מן הסתם יש לי טעות.....מישהו יכול להסביר את החידה בשפה פחות פורמלית?.......אולי הכוונה שגם מספר שמועלה בריבוע צריך להיות שונה מ -2 , 5 , 13 ?.....

 

[yak141]

הבהרת החידה

נראה לי שאכן כתבתי את זה קצת יותר מדי פורמלי. לפניכם החידה בניסוח חדש ועם דוגמה למקרה פרטי. אגב, או a או b חייבים להיות 2,5 או 13.

 

[yak141]

../images/Emo7.gifאני מבין שאף אחד לא ניסה לפתור

מפאת הנסיונות המועטים לפתור ארצה לדעת אם מישהו לפחות רוצה לראות את הפתרון כי אם לא אין טעם שאפרסם אותו... אם מישהו יציין שהוא רוצה לראות את הפתרון אז אני אפרסם אתו היום בסביבות חצות.

 

[טיקטי]

לא הבנתי איך d מתקשר?

 

[yak141]

הסבר

בקבוצה ארבעה איברים: 2,5,13 ו- d. כאשר d יכול להיות כל מספר טבעי שהוא השונה משלושת האיברים האחרים בקבוצה. מה שיש לעשות הוא להוכיח כי תמיד ניתן למצוא בקבוצה שני איברים a,b כך ש: ab-1 לא יהייה ריבוע של מספר שלם. אם ננסח את החידה מחדש ניתן לומר שמה שיש לעשות בפועל הוא להוכיח כי לפחות אחד מהמשפטים הבאים אינו נכון: 13d=m^2 5d=n^2 2d=p^2 כאשר, m,n,p הם שלושה מספרים שלמים. ו-d מספר שלם השונה מ- 2,5,13. אני מקווה שעכשיו הכל יותר ברור. ב ה צ ל ח ה !

 

[yak141]

אויש... אני ממש לא יוצלח

השוויונים שלפחות אחד מהם צריך לא להתקיים הם: 13d-1=m^2 5d-1=n^2 2d-1=p^2 מצטער על ההטעיה... ב ה צ ל ח ה !

 

[כרומטי]

טוב אני מרגיש כאילו אני מציק לך....

אבל אני חייב לשאול..........ואם אני מגלה שאחד השוויונים מתקיים זו סותר את הבעיה? אני מניח שאני טועה..........אבל נה עם:

5d-1=n^2 d=10 n=7 5*10-1=49 7^2=49​

מה לא בסדר כאן?.........מצטער על ההצקה

 

[yak141]

אל תדאג לשאול זה בסדר...../images/Emo9.gif

זה שאחד מהשוויונים מתקיים זה סביר לחלוטין ואפילו אם שניים מתקיימים. הבעיה היא להוכיח ששלושתם בבת אחת עבור אותו d לא יכולים להתקיים. והכוונה עבור כל d שהוא שלם ואינו 5,2,13 אם יש עוד שאלות... שאל! ב ה צ ל ח ה !

 

[aviah]

מכיוון שאין לנו מושג איך ניגשים

לבעיה הזאת, אתה יכול אולי לתת רמז? יש איזו תכונה משותפת ל-2,5,13?

 

[yak141]

רמז והנחיה

הניחו בדרך השלילה כי כל שלושת השוויונים מתקיימים. כעת, חשבו מה זה אומר על הזוגיות/אי זוגיות של m,n,p ו- d. דהיינו, נסו לקבוע אילו מהם זוגיים ואילו לא. אחר כך, בעזרת מה שתקבלו נסו להגיע לסתירה. ב ה צ ל ח ה !

 

[Pelor]

פתרון לראשונה

ובכן אני לא בטוח בזה אז תקנו אותי אם אני טועה... נחלק את המספרים הזוגיים לשני קבוצות: מספרים המתחלקים ב-4 ללא שארית. ומספרים המתחלקים בארבע עם שארית 2. כמו כן נחלק את המספרים האי-זוגגים לשני קבוצות: מספרים המתחלקים ב4 עם שארית 1. ומספרים המתחלקים ב-4 עם שארית 3. נצא מהנחה ששלושת השוואות מתקיימות: 13d - 1 = m^2 5d - 1 = k^2 2d - 1 = p^2 (P K ו-M מספרים שלמים) נתחייס לזה בשני מצבים, כאשר d זוגי וכאשר הוא אי-זוגי. d זוגי: נתייחס למשוואה שלישית... כאשר ניקח מספר זוגי, לא משנה מאיזה סוג ונכפול אותו ב-2 נקבל מספר זוגי המתחלק ב-4 ללא שארית, ואם נחסר ממספר זה אחד, נקבל מספר אי זוגי המתחלק ב-4 עם שארית 3. מספר כזה לא יכול להיות ריבוע של מספר שלם: p אינו מספר זוגי, מכיוון שריבוע של מספר זוגי ייצור מספר זוגי. אם p יהיה אי-זוגי ריבועו יהיה אי-זוגי המתחלק ב-4 בשארית 1. בגלל שהביטוי 2d-1 הוא מספר המתחלק ב4 עם שארית 3 נובע ש-P אינו מספר שלם. d אי-זוגי: במקרה זה נתייחס למשוואה הראשונה... כאשר תכפול מספר אי-זוגי במספר אי-זוגי אחר, תקבל מספר אי-זוגי שמתחלק ב-4 עם שארית 3 (חשוב לזכור שמדובר על מספר אי-זוגי אחר, כי כאשר תכפול בעצמו תקבל מספר אי-זוגי המתחלק ב-4 עם שארית אחד!). מכן ש13d יהיה מספר מקבוצה זו, ו 13d-1 יהיה מספר זוגי אשר מתחלק ב-4 עם שארית 2. מספר כזה לא יכול להיות ריבוע של מספר שלם: m לא יכול להיות אי-זוגי מכיוון שריבוע של מספר אי זוגי יתן מספר אי-זוגי. אם m מספר זוגי אז הוא ישתייך לקבוצת המספרים המתחלקים ב-4 ללא שארית. מכן ש-m אינו מספר שלם. מ.ש.ל