שרשור שני - 18.10

[1ca1]

איך את מגדירה יחס בריבוע?

כלומר כפל בין זוגות סדורים במערכת שלך?

 

[2 b e]

דוגמא ל-R בריבוע ../images/Emo53.gif

R : (1,2) (2,1) R בריבוע

(1,1),(2,2)
R: (1,2),(3,1),(3,3) R^2: (3,2),(3,3),(3,1)​

כמו צמצום שבר פשוט..

 

[2 b e]

הגדרה רישמית

תהא R רלציה מ-A ל-B ותהא S רלציה מ- B ל-C המכפלה RS של שתי הרלציות R ו-S היא הרלציה מ-A ל-C, המוגדרת כך: | (a,c) } { קיים b שייך ל-B כך ש- (b,c) שייך ל-S ו- (a.b ) שייך ל-R כלומר במכפלה RS קיים הזוג (a,c) ,אם ורק אם קיים b כך שב-R ישנו הזוג (a.b ) וב-S ישנו הזוג (b,c)

 

[cdsw]

משפט השלמות באינפי

האם מוכיחים את משפט השלמות באינפי בעזרת גרסת המסקנה של הלמה של צורן? בברכה, יונתן

 

[avinamal]

משפט השלמות=אקסיומת השלמות?

 

[cdsw]

אכן

 

[1ca1]

מה?

בלמה של צורן לא משתמשים בכלל באינפי (לפחות בשנה א) את אקסיומת השלמות, זה למעשה נובע מכך שR הוא מרחב שלם (= כל סדרת קושי בו מתכנסת), כדי להוכיח את זה, יש צורך בטופולוגיה (הדבר הזה בטח מוכח בקורס בטופולוגיה או אנליזה מודרנית) למשל Q אינו מרחב שלם (כי ניתן לבנות סדרות של רציונאליים שיתכנסו לאי-רציונאלי, למשל לפאי וכו')

 

[amni]

אם הכוונה לשלמות במובן הרגיל של

אינפי לא צריך שום דבר מלבד הגדרות יסודיות של אינפי. בלי שידועות לי ההגדרות של R קשה לנסח אבל הרעיון הוא שאם יש סדרת קושי ב- R ניתן לבנות באמצעותה סדרת קושי ב- Q והגבול שהסדרה הבנויה ב- Q יהיה הגבול של הסדרה המקורית ב- R.

 

[1ca1]

מה?

יש משפט כזה באינפי 1 שאומר שאם סדרה מתכנסת קושי <=> מתכנסת בR (רגיל עם הn והדלתא והכל) ומשמה רואים שיש שקילות בין הגדרת הקושי להתכנסות וכו' אקסיומת השלמות טוענת שאם קבוצה חסומה מלעיל, יש לה חסם עליון יחיד, ולהראות איך זה נובע מהעובדה שכל סדרת קושי מתכנסת בR (שהרי הוא מרחב שלם), זה לא פשוט בכלל (בוא נגיד את זה ככה, לא סתם בשנה א קוראים לזה אקסיומה)

 

[avinamal]

גלבין לא כאן====> אין סדר בבלגאן

"בלי לדעת את ההגדרות היסודיות של R קשה לי לנסח" ולא רק לך "משפט השלימות" נמצא במעמד של אקסיומה בלימודי אינפי, היות R מרחב שלם נראה לי שקול. יש להניח אחד מהם על כל פנים. כל זאת כיון שהתחמקנו מלהגדיר את המרחב R אליבא דגלבין, לאחר ש R מוגדר באיזה אופן יציב (על בסיס הטבעיים אני מניח) ע"י דבר המכונה "חתכי דדקינד", ניתן להוכיח את אקסיומת השלימות (ואז היא אכן משפט). אני מקווה שגלבין יחלוף פה פעם ויסדיר את העניין.

 

[amni]

המצב כך

נקודת המוצא המקובלת היא שדה הרציונלים Q (עם שלל המשפטים הידועים עליו). בשלב שני מגדירים קבוצת אובייקטים (למשל באמצעות חתכי דדקינד ב- Q ) וקוראים להם R. מתוך ההגדרה של קבוצת האובייקטים מראים שיש ל- R כל התכונות הנידרשות לרבות תכונת השלמות של R . ההוכחה היא על פי הרעיון שציינתי בתשובתי הראשונה. איני יכול לתת משהו יותר קונרקרטי מהרעיון הזה כי זה תלוי בפורמליזם (כלומר באיזו צורה בדיוק הוגדר R כקבוצת אובייקטים). הבדלי פורמליזם לא משנים את הצורך באותו רעיון, כי מדובר באותה גברת בשינוי אדרת. בשלב שלישי , לשם הנוחיות, מזהים את Q כחלק מתוך R . זיהוי כזה אינו מעורר שום בעיות בגללל שהוא "איזומורפי" ולכן כל תכונה שהייתה ידועה על Q המקורי מתקיימת בקבוצה החלקית של R המזוהה כך עם Q. זיהויים אילו שגרתיים ולא צריכים להטריד (זיהויים בעלי אופי דומה: N בתוך Z (הטבעיים בתוך ההשלמים) Z בתוך Q (השלמים בתוך הרציונליים) R בתוך C (הממשיים בתוך המרוכבי). אשר לאקסיומטיקה. בדרך שתיארתי אין שום צורך באקסיומה. השלימות של R היא משפט שנובע מהגדרתו. יתכן שיש קורסים שרוצים לעשות את החיים קלים למרצה ובוחרים בנקודת מוצא את R בלי להתייחס ל- Q ואז סביר שנידרשת אקסיומת השלימות. אבל זו דרך מפוקפקת (אולי אפילו שגויה) מכיוון שהיא מנסה להחביא מתחת לשטיח את הצורך בזיהוי Q עם חלק מ- R. למרות שזו דרך מפוקפקת, בקורסי אינפי הרגילים זה לא מפריע כי בדרך כלל נושא השלמות של R מתקבל כ"מובן מאליו" ומתעסקים בנושאים אחרים.

 

[1ca1]

אתה צודק

אבל לפחות לאינפי של שנה א, ולשני שיעורים הראשונים (אני אולי מגזים פה, לרבע שעה הראשונה) שמדברים על חסמים וקבוצות בR, ומזכירים את זה, חבל להתחיל לסבך עם חתכי דדיקנד והכל (מאחר שלא צריך את השאר ממש לקורס הזה... ההוכחה שהתכנסות קושי מתכנסת גם באופן רגיל עם R ולהיפך + אקסיומת השלמות דיי מסדרים אותנו מבחינת שלמות השדה R באינפי של שנה א...)

 

[amni]

ראה תשובתי למטה ("המצב כך")

 

[גיל14]

שתי הוכחות

A. For every natural a, b that fulfills (a+b)/6 is natural, prove that [a^(3n)+b^(3n)]/6 is also natural. B. Prove that for every natural n, {[(n+1)^n]-1}/(n^2) is also natural.​

 

[טלמון סילבר]

טענה A אינה נכונה.

למשל:

a = 1 b = 5 n = 2 3n = 6 (a + b)/6 = 1 [a^(3n) + b^(3n)]/6 = = (1^6 + 5^6)/6 = = (1 + 15625)/6 = = 15626/6 = = 2604 + 2/6​

 

[טלמון סילבר]

נכונות טענה B נובעת ישירות מבינום

ניוטון ל-(n+1) בחזקת n.

 

[עדידודה]

שאלה..

צריך להוכיח בגאומטריה אנליטית שהגובה ליתר במשולש ישר זווית שווה לממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.. תודה

 

[טלמון סילבר]

פתרון פשטני

נמקם את המשולש ישר-הזוית בנקודות הבאות:

A (0, a) B (0, 0) C (b, 0)​

משוואת היתר AC היא:

x/b + y/a = 1 :או ax + by = ab :או y = -(a/b)x + a -(a/b) עם שיפוע​

ומשוואת הגובה ליתר:

y = kx k = -1/[-(a/b)] = b/a y = (b/a)x​

נמצא את נקודת המפגש (D(x,y של היתר עם הגובה אליו:

:מערכת משוואות y = -(a/b)x + a y = (b/a)x (b/a)x = -(a/b)x + a [(b/a) + (a/b)]x = a [(a² + b²)/ab]x = a (a² + b²)x = a²b x = a²b/(a² + b²) y = (b/a)x y = (b/a)a²b/(a² + b²) y = ab²/(a² + b²) D ( a²b/(a² + b²), ab²/(a² + b²) )​

נחשב את אורכי שלושת הקטעים: AD - היטל הניצב AB על היתר AC; CD - היטל הניצב BC על היתר AC; BD - הגובה BD ליתר AC. ואז נבדוק אם אכן מתקיים: AD * CD = BD²

AD² = [a²b/(a² + b²) - 0]² + [ab²/(a² + b²) - a]² = = [a²b/(a² + b²)]² + [ab²/(a² + b²)]² - 2a²b²/(a² + b²) + a² = = (ab)²(a² + b²)/(a² + b²)² - 2a²b²/(a² + b²) + a² = = a²b²/(a² + b²) - 2a²b²/(a² + b²) + a² = = - a²b²/(a² + b²) + a² = = - a²b²/(a² + b²) + a²(a² + b²)/(a² + b²) = = a²( -b² + a² + b²)/(a² + b²) = = a²a²/(a² + b²) = = (a^4)/(a² + b²) AD = a²/sqrt(a² + b²) CD² = [a²b/(a² + b²) - b]² + [ab²/(a² + b²) - 0]² = = [a²b/(a² + b²)]² + [ab²/(a² + b²)]² - 2a²b²/(a² + b²) + b² = = (ab)²(a² + b²)/(a² + b²)² - 2a²b²/(a² + b²) + b² = = a²b²/(a² + b²) - 2a²b²/(a² + b²) + b² = = - a²b²/(a² + b²) + b² = = - a²b²/(a² + b²) + b²(a² + b²)/(a² + b²) = = b²( -a² + a² + b²)/(a² + b²) = = b²b²/(a² + b²) = = (b^4)/(a² + b²) CD = b²/sqrt(a² + b²) BD² = [a²b/(a² + b²) - 0]² + [ab²/(a² + b²) - 0]² = = [a²b/(a² + b²)]² + [ab²/(a² + b²)]² = = (ab)²(a² + b²)/(a² + b²)² = = a²b²/(a² + b²)​

ומכאן אנו רואים שהשוויון אכן מתקיים. מ.ש.ל. הערה. הפתרון שהוצג מתבסס כולו על גאומטריה אנליטית בלבד, ללא כל שימוש בתכונותיו של משולש ישר זווית הידועות לנו מגאומטריה "רגילה". שימוש בתכונות אלו היה יכול לקצר בהרבה את ההוכחה, כאשר ההוכחה הפשוטה ביותר היא... בכלל ללא שימוש בגאומטריה אנליטית!

 

[אולורין האפור]

שאלונת...

בקבוצה A- {x-} x מוכל ב A צ"ל ש-A חסומה מלעיל אם ורק אם A- חסומה מלרע.. וזו הוכחה מהסוג שעושים מ-2 הכיוונים אני חושב.... THANX

 

[1ca1]

זה קל

ואכן אמ"ם אומר שיש גרירה משני הכיוונים נניח A חסומה מלעיל לכן קיים M כך ש x<=M לכל x בA נכפול במינוס אחד ונקבל

-x>=-M לכל x שייך לA => לכל -x שייך ל -A ולכן זה חסום מלרע באופן דומה נוכיח את הכיוון השני אם M<=-x -x שייך ל -A אז בכפילה של מינוס אחד x<=-M ומכאן דומה​